全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版6

1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試1選擇題(本題滿分42分，每小題7分，每小題答對得7分，答錯(cuò)得0分不答得1分) 設(shè)1<a<0，=arcsina，那么不等式sinx<a的解集為( ) Ax|2n+<x<(2n+1)，nZ Bx|2n<x<(2n+1)+，nZ Cx|(2n1)+<x<2n，nZ Dx|2n+<x<(2n+1)，nZ 設(shè)x為復(fù)數(shù)，M=z|(z1)2=|z1|2，那么( ) AM=純虛數(shù) BM=實(shí)數(shù) C實(shí)數(shù) M 復(fù)數(shù) DM=復(fù)數(shù) 設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足 那么，a的取值范圍是( ) A(，+) B(，19，+) C(0，7) D1，9 如果四面體的每一個(gè)面都不是等腰三角形，那么其長度不等的棱的條數(shù)最少為( ) A3 B4 C5 D6 平面上有一個(gè)點(diǎn)集和七個(gè)不同的圓C1，C2，C7，其中圓C7恰好經(jīng)過M中的7個(gè)點(diǎn)，圓C6恰好經(jīng)過M中的6個(gè)點(diǎn)，圓C1恰好經(jīng)過M中的1個(gè)點(diǎn)，那么M中的點(diǎn)數(shù)最少為( ) A11 B12 C21 D28 邊長為a、b、c的三角形，其面積等于，而外接圓半徑為1，若 s=+，t=+，則s與t的大小關(guān)系是 As>t Bs=t Cs<t D不確定2填空題(本題滿分28分，每小題7分)： 本題共有4個(gè)小題，每小題的答案都是000到999的某一個(gè)整數(shù)，請把你認(rèn)為正確的答案填在 上 在底面半徑為6的圓柱內(nèi)，有兩個(gè)半徑也為6的球面，其球心距為13，若作一平面與這二球面相切，且與圓柱面交成一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的長軸長與短軸長之和是 已知f(x)=|12x|，x0，1，那么方程 f(f(f(x)=x的解的個(gè)數(shù)是 設(shè)f(x)=，那么和式f()+f()+f()+f()的值等于 ； 設(shè)x、y、z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足方程468´2+256=0，那么x+y+z的最大值與最小值的乘積等于 第二試1(本題滿分17分)已知實(shí)數(shù)列a0，a1，a2，滿足 ai1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，)求證：對于任何自然數(shù)n， P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn是一次多項(xiàng)式(本題應(yīng)增加條件：a0a1)2(本題滿分17分)已知銳角三角形ABC的外接圓半徑為R，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，求證：AD，BE，CF是ABC的三條高的充要條件是S=(EF+FD+DE）式中S是三角形ABC的面積 3平面直角坐標(biāo)系中，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請?jiān)O(shè)計(jì)一種染色方法將所有的整點(diǎn)都染色，每一個(gè)整點(diǎn)染成白色、紅色或黑色中的一種顏色，使得 每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)在無窮多條平行于橫軸的直線上； 對任意白色A、紅點(diǎn)B和黑點(diǎn)C，總可以找到一個(gè)紅點(diǎn)D，使得ABCD為一平行四邊形證明你設(shè)計(jì)的方法符合上述要求1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試1選擇題(本題滿分42分，每小題7分，每小題答對得7分，答錯(cuò)得0分不答得1分) 設(shè)1<a<0，=arcsina，那么不等式sinx<a的解集為( ) Ax|2n+<x<(2n+1)，nZ Bx|2n<x<(2n+1)+，nZ Cx|(2n1)+<x<2n，nZ Dx|(2n1)<x<2n+，nZ 解：<<0，在(，0)內(nèi)滿足sinx<a的角為<x<，由單位圓易得解為D 設(shè)x為復(fù)數(shù)，M=z|(z1)2=|z1|2，那么( ) AM=純虛數(shù) BM=實(shí)數(shù) C實(shí)數(shù) M 復(fù)數(shù) DM=復(fù)數(shù) 解：即(z1)2(z1)(1)=0，Þ(z1)(z)=0，Þz=1或z=，總之，z為實(shí)數(shù)選B 設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足 那么，a的取值范圍是( ) A(，+) B(，19，+) C(0，7) D1，9 解：×3+：b2+c22bc+3a230a+27=0，Þ(bc)2+3(a1)(a9)=0，Þ1a9選Db2+c2+2bca2+2a1=0，(b+c)2=(a1)2，Þb+c=a1，或b+c=a+1 如果四面體的每一個(gè)面都不是等腰三角形，那么其長度不等的棱的條數(shù)最少為( ) A3 B4 C5 D6 解：取等腰四面體，其棱長至多2種長度棱長少于3時(shí)，必出現(xiàn)等腰三角形選A 平面上有一個(gè)點(diǎn)集和七個(gè)不同的圓C1，C2，C7，其中圓C7恰好經(jīng)過M中的7個(gè)點(diǎn)，圓C6恰好經(jīng)過M中的6個(gè)點(diǎn)，圓C1恰好經(jīng)過M中的1個(gè)點(diǎn)，那么M中的點(diǎn)數(shù)最少為( ) A11 B12 C21 D28 解：首先，C7經(jīng)過M中7個(gè)點(diǎn)，C6與C7至多2個(gè)公共點(diǎn)，故C6中至少另有4個(gè)M中的點(diǎn)，C5至少經(jīng)過M中另外1個(gè)點(diǎn)，共有至少7+4+1=12個(gè)點(diǎn) 邊長為a、b、c的三角形，其面積等于，而外接圓半徑為1，若 s=+，t=+，則s與t的大小關(guān)系是 As>t Bs=t Cs<t D不確定 解：=absinC=，由R=1，=，知abc=1且三角形不是等邊三角形 +=+(等號不成立)選C2填空題(本題滿分28分，每小題7分)： 本題共有4個(gè)小題，每小題的答案都是000到999的某一個(gè)整數(shù)，請把你認(rèn)為正確的答案填在 上 在底面半徑為6的圓柱內(nèi)，有兩個(gè)半徑也為6的球面，其球心距為13，若作一平面與這二球面相切，且與圓柱面交成一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的長軸長與短軸長之和是 解：易得cos=，于是橢圓長軸=13，短軸=12所求和=25 已知f(x)=|12x|，x0，1，那么方程 f(f(f(x)=x的解的個(gè)數(shù)是 解：f(f(x)=|12|12x|=同樣f(f(f(x)的圖象為8條線段，其斜率分別為±8，夾在y=0與y=1，x=0，x=1之內(nèi)它們各與線段y=x (0x1)有1個(gè)交點(diǎn)故本題共計(jì)8解 設(shè)f(x)=，那么和式f()+f()+f()+f()的值等于 ；解 f(x)+f(1x)= +=+=1 以x=，代入式，即得所求和=500 設(shè)x、y、z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足方程468´2+256=0，那么x+y+z的最大值與最小值的乘積等于 ； 解：令2=t，則得，t268t+256=0，Þ(t64)(t4)=0，Þt=4，t=64=2Þ5x+9y+4z=4，Þ9(x+y+z)=4+4x+5z4，x+y+z；4(x+y+z)=4x5y4，x+y+z1Þx+y+z，1；=6Þ5x+9y+4z=36，Þ9(x+y+z)=36+4x+5z36，Þx+y+z4； 4(x+y+z)=36x5y36，Þx+y+z9故，所求最大值與最小值的乘積=´9=4第二試1(本題滿分17分)已知實(shí)數(shù)列a0，a1，a2，滿足 ai1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，)求證：對于任何自然數(shù)n， P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn是一次多項(xiàng)式(本題應(yīng)增加條件：a0a1)證明：由已知，得ai+1ai=aiai1，Þ故ai是等差數(shù)列設(shè)aiai1=d0則ak=a0+kd于是P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn = a0C(1-x)n+(a0+d)Cx(1-x)n-1+(a0+2d)Cx2(1-x)n-2+(a0+(n1)d)Cxn-1(1-x)+(a0+nd)Cxn =a0C(1-x)n+Cx(1-x)n-1+Cx2(1-x)n-2+Cxn-1(1-x)+Cxn +dCx(1-x)n-1+2Cx2(1-x)n-2+(n1)Cxn-1(1-x)+nCxn (由kC=nC) =a0(1x+x)n+ndxC(1-x)n-1+Cx(1-x)n-2+Cxn-2(1-x)+Cxn1 =a0+ndx(1x+x)n1=a0+ndx=a0+(ana0)x此為一次多項(xiàng)式證畢2(本題滿分17分)已知銳角三角形ABC的外接圓半徑為R，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，求證：AD，BE，CF是ABC的三條高的充要條件是S=(EF+FD+DE)式中S是三角形ABC的面積 證明 連OA，則由C、E、F、B四點(diǎn)共圓，得ÐAFE=ÐC，又在OAB中，ÐOAF=(180°-2ÐC)/2=90°-ÐC，OAEF SOEAF=EF·=·EF，同理，SOFBD=·DF，SODCE=·DE，故得S=(EF+FD+DE)反之，由S=(EF+FD+DE）得OAEF，OBFD，OCED，否則S<(EF+FD+DE）過A作O的切線AT，則AFE=TAF=ACB，ÞB、F、E、D共圓，同理，A、F、D、C共圓，A、E、D、B共圓ÞAFC=ADC，AEB=ADB AFC+AEB=ADC+ADB=180°但BFC=BEC，即AFC=AEB=90°，于是F、E為垂足，同理D為垂足故證3(本題16分)平面直角坐標(biāo)系中，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請?jiān)O(shè)計(jì)一種染色方法將所有的整點(diǎn)都染色，每一個(gè)整點(diǎn)染成白色、紅色或黑色中的一種顏色，使得 每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)在無窮多條平行于橫軸的直線上； 對任意白色A、紅點(diǎn)B和黑點(diǎn)C，總可以找到一個(gè)紅點(diǎn)D，使得ABCD為一平行四邊形證明你設(shè)計(jì)的方法符合上述要求證明：設(shè)任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，把x+y1(mod 4)的點(diǎn)染白，x+y3(mod 4)的點(diǎn)染黑，x+y0或2(mod4)的點(diǎn)染紅 顯然，這樣染色的點(diǎn)滿足要求首先，每條平行于x軸的直線上都有三種顏色的點(diǎn)即每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)在無窮多條平行于橫軸的直線上；其次，對于任一白點(diǎn)A(x1，y1)，任一紅點(diǎn)B(x2，y2)，與任一黑點(diǎn)C(x3，y3)，當(dāng)點(diǎn)D(x4，y4)與之組成平行四邊形時(shí)，有x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4而x1+y1+x3+y30(mod 4)，于是x2+y2+x4+y40(mod 4)，故x4+y30(當(dāng)x2+y20時(shí))或2(當(dāng)x2+y22時(shí))(mod 4)即點(diǎn)D為紅點(diǎn)