全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版6

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1、1986年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試1選擇題(本題滿分42分，每小題7分，每小題答對(duì)得7分，答錯(cuò)得0分不答得1分) 設(shè)1a0，=arcsina，那么不等式sinxa的解集為( ) Ax|2n+x(2n+1)，nZ Bx|2nx(2n+1)+，nZ Cx|(2n1)+x2n，nZ Dx|2n+xt Bs=t Cst D不確定2填空題(本題滿分28分，每小題7分)： 本題共有4個(gè)小題，每小題的答案都是000到999的某一個(gè)整數(shù)，請(qǐng)把你認(rèn)為正確的答案填在 上 在底面半徑為6的圓柱內(nèi)，有兩個(gè)半徑也為6的球面，其球心距為13，若作一平面與這二球面相切，且與圓柱面交成一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之

2、和是 已知f(x)=|12x|，x0，1，那么方程 f(f(f(x)=x的解的個(gè)數(shù)是 設(shè)f(x)=，那么和式f()+f()+f()+f()的值等于 ； 設(shè)x、y、z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足方程4682+256=0，那么x+y+z的最大值與最小值的乘積等于 第二試1(本題滿分17分)已知實(shí)數(shù)列a0，a1，a2，滿足 ai1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，)求證：對(duì)于任何自然數(shù)n， P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn是一次多項(xiàng)式(本題應(yīng)增加條件：a0a1)2(本題滿分17分)已知銳角三角形ABC的外接圓半徑為

3、R，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，求證：AD，BE，CF是ABC的三條高的充要條件是S=(EF+FD+DE）式中S是三角形ABC的面積 3平面直角坐標(biāo)系中，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種染色方法將所有的整點(diǎn)都染色，每一個(gè)整點(diǎn)染成白色、紅色或黑色中的一種顏色，使得 每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)在無窮多條平行于橫軸的直線上； 對(duì)任意白色A、紅點(diǎn)B和黑點(diǎn)C，總可以找到一個(gè)紅點(diǎn)D，使得ABCD為一平行四邊形證明你設(shè)計(jì)的方法符合上述要求1986年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試1選擇題(本題滿分42分，每小題7分，每小題答對(duì)得7分，答錯(cuò)得0分不答得1分) 設(shè)1a0，=arcsina，那么不等式sin

4、xa的解集為( ) Ax|2n+x(2n+1)，nZ Bx|2nx(2n+1)+，nZ Cx|(2n1)+x2n，nZ Dx|(2n1)x2n+，nZ 解：0，在(，0)內(nèi)滿足sinxa的角為xt Bs=t Cst D不確定 解：=absinC=，由R=1，=，知abc=1且三角形不是等邊三角形 +=+(等號(hào)不成立)選C2填空題(本題滿分28分，每小題7分)： 本題共有4個(gè)小題，每小題的答案都是000到999的某一個(gè)整數(shù)，請(qǐng)把你認(rèn)為正確的答案填在 上 在底面半徑為6的圓柱內(nèi)，有兩個(gè)半徑也為6的球面，其球心距為13，若作一平面與這二球面相切，且與圓柱面交成一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之和

5、是 解：易得cos=，于是橢圓長(zhǎng)軸=13，短軸=12所求和=25 已知f(x)=|12x|，x0，1，那么方程 f(f(f(x)=x的解的個(gè)數(shù)是 解：f(f(x)=|12|12x|=同樣f(f(f(x)的圖象為8條線段，其斜率分別為8，夾在y=0與y=1，x=0，x=1之內(nèi)它們各與線段y=x (0x1)有1個(gè)交點(diǎn)故本題共計(jì)8解 設(shè)f(x)=，那么和式f()+f()+f()+f()的值等于 ；解 f(x)+f(1x)= +=+=1 以x=，代入式，即得所求和=500 設(shè)x、y、z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足方程4682+256=0，那么x+y+z的最大值與最小值的乘積等于 ； 解：令2=t，則得，t268

6、t+256=0，(t64)(t4)=0，t=4，t=64=25x+9y+4z=4，9(x+y+z)=4+4x+5z4，x+y+z；4(x+y+z)=4x5y4，x+y+z1x+y+z，1；=65x+9y+4z=36，9(x+y+z)=36+4x+5z36，x+y+z4； 4(x+y+z)=36x5y36，x+y+z9故，所求最大值與最小值的乘積=9=4第二試1(本題滿分17分)已知實(shí)數(shù)列a0，a1，a2，滿足 ai1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，)求證：對(duì)于任何自然數(shù)n， P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+

7、anCxn是一次多項(xiàng)式(本題應(yīng)增加條件：a0a1)證明：由已知，得ai+1ai=aiai1，故ai是等差數(shù)列設(shè)aiai1=d0則ak=a0+kd于是P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn = a0C(1-x)n+(a0+d)Cx(1-x)n-1+(a0+2d)Cx2(1-x)n-2+(a0+(n1)d)Cxn-1(1-x)+(a0+nd)Cxn =a0C(1-x)n+Cx(1-x)n-1+Cx2(1-x)n-2+Cxn-1(1-x)+Cxn +dCx(1-x)n-1+2Cx2(1-x)n-2+(n1)Cxn-

8、1(1-x)+nCxn (由kC=nC) =a0(1x+x)n+ndxC(1-x)n-1+Cx(1-x)n-2+Cxn-2(1-x)+Cxn1 =a0+ndx(1x+x)n1=a0+ndx=a0+(ana0)x此為一次多項(xiàng)式證畢2(本題滿分17分)已知銳角三角形ABC的外接圓半徑為R，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，求證：AD，BE，CF是ABC的三條高的充要條件是S=(EF+FD+DE)式中S是三角形ABC的面積 證明 連OA，則由C、E、F、B四點(diǎn)共圓，得AFE=C，又在OAB中，OAF=(180-2C)/2=90-C，OAEF SOEAF=EF=EF，同理，SOFBD=DF，SO

9、DCE=DE，故得S=(EF+FD+DE)反之，由S=(EF+FD+DE）得OAEF，OBFD，OCED，否則S(EF+FD+DE）過A作O的切線AT，則AFE=TAF=ACB，B、F、E、D共圓，同理，A、F、D、C共圓，A、E、D、B共圓AFC=ADC，AEB=ADB AFC+AEB=ADC+ADB=180但BFC=BEC，即AFC=AEB=90，于是F、E為垂足，同理D為垂足故證3(本題16分)平面直角坐標(biāo)系中，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種染色方法將所有的整點(diǎn)都染色，每一個(gè)整點(diǎn)染成白色、紅色或黑色中的一種顏色，使得 每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)在無窮多條平行于橫軸的直線上； 對(duì)任意白色

10、A、紅點(diǎn)B和黑點(diǎn)C，總可以找到一個(gè)紅點(diǎn)D，使得ABCD為一平行四邊形證明你設(shè)計(jì)的方法符合上述要求證明：設(shè)任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，把x+y1(mod 4)的點(diǎn)染白，x+y3(mod 4)的點(diǎn)染黑，x+y0或2(mod4)的點(diǎn)染紅 顯然，這樣染色的點(diǎn)滿足要求首先，每條平行于x軸的直線上都有三種顏色的點(diǎn)即每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)在無窮多條平行于橫軸的直線上；其次，對(duì)于任一白點(diǎn)A(x1，y1)，任一紅點(diǎn)B(x2，y2)，與任一黑點(diǎn)C(x3，y3)，當(dāng)點(diǎn)D(x4，y4)與之組成平行四邊形時(shí)，有x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4而x1+y1+x3+y30(mod 4)，于是x2+y2+x4+y40(mod 4)，故x4+y30(當(dāng)x2+y20時(shí))或2(當(dāng)x2+y22時(shí))(mod 4)即點(diǎn)D為紅點(diǎn)