2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.1 第1課時 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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第1課時　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 　1.通過實(shí)例，能總結(jié)出分類加法計數(shù)原理，分步乘法計數(shù)原理．　2.正確地理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”．　3.能利用兩個原理解決一些簡單的實(shí)際問題． 1．分類加法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法． 分類加法計數(shù)原理的理解 分類加法計數(shù)原理中的“完成一件事有兩個不同方案”，是指完成這件事的所有方法可以分為兩類，即任何一類中的任何一種方法都可以完成任務(wù)，兩類中沒有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類中．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝mn種不同的方法． 分步乘法計數(shù)原理的理解 分步乘法計數(shù)原理中的“完成一件事需要兩個步驟”，是指完成這件事的任何一種方法，都需要分成兩個步驟．在每一個步驟中任取一種方法，然后相繼完成這兩個步驟就能完成這件事，即各個步驟是相互依存的，每個步驟都要做完才能完成這件事．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．(　　) (3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　　) (4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成．(　　) 答案：(1)　(2)√　(3)√　(4)√ 某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，若要求從兩類課程中選一門，則不同的選法共有(　　) A．3種　　　　　　　　 B．4種 C．7種 D．12種 答案：C 已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，則(x，y)可表示不同的點(diǎn)的個數(shù)是(　　) A．1 B．3 C．6 D．9 答案：D 某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有________種． 答案：3 加工某個零件分三道工序，第一道工序有5人可以選擇，第二道工序有6人可以選擇，第三道工序有4人可以選擇，每兩道工序中可供選擇的人各不相同，如果從中選3人每人做一道工序，則選法有________種． 答案：120  探究點(diǎn)1　分類加法計數(shù)原理[學(xué)生用書P2] 　在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？ 【解】　法一：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個．由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)． 法二：按個位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個)． [變問法]在本例條件下，個位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)的兩位數(shù)有多少個？ 解：當(dāng)個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個． 當(dāng)個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個． 當(dāng)個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5，6，7，8，9，共5個． 同理可知，當(dāng)個位數(shù)字是2時，共7個， 當(dāng)個位數(shù)字是0時，共9個． 由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個). 利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程 　 　某校高三共有三個班，各班人數(shù)如下表： 男生人數(shù) 女生人數(shù) 總?cè)藬?shù) 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)從三個班中選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？ (2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，有多少種不同的選法？ 解：(1)從每個班選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，共有3類不同的方案： 第1類，從高三(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法； 第2類，從高三(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法； 第3類，從高三(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從三個班中選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，共有50＋60＋55＝165(種)不同的選法． (2)從高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有3類不同的方案： 第1類，從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法； 第2類，從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法； 第3類，從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有30＋30＋20＝80(種)不同的選法． 探究點(diǎn)2　分步乘法計數(shù)原理[學(xué)生用書P2] 　從－2，－1，0，1，2，3這六個數(shù)字中任選3個不重復(fù)的數(shù)字作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a，b，c，則可以組成拋物線的條數(shù)為多少？ 【解】　由題意知a不能為0，故a的值有5種選法； b的值也有5種選法；c的值有4種選法． 由分步乘法計數(shù)原理得：554＝100(條)． 1．[變問法]若本例中的二次函數(shù)圖象開口向下，則可以組成多少條拋物線？ 解：需分三步完成，第一步確定a有2種方法，第二步確定b有5種方法，第三步確定c有4種方法，故可組成254＝40條拋物線． 2．[變條件、變問法]若從本例的六個數(shù)字中選2個作為橢圓＋＝1的參數(shù)m，n，則可以組成橢圓的個數(shù)是多少？ 解：據(jù)條件知m>0，n>0，且m≠n，故需分兩步完成，第一步確定m，有3種方法，第二步確定n，有2種方法，故確定橢圓的個數(shù)為32＝6(個)． 利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程 　 　從1，2，3，4中選三個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，則滿足下列條件的數(shù)有多少個？ (1)三位數(shù)； (2)三位偶數(shù)． 解：(1)分三步： 第1步，排個位，有4種方法； 第2步，排十位，從剩下的3個數(shù)字中選1個，有3種方法； 第3步，排百位，從剩下的2個數(shù)字中選1個，有2種方法． 故共有432＝24個滿足要求的三位數(shù)． (2)第1步，排個位，只能從2，4中選1個，有2種方法； 第2步，排十位，從剩下的3個數(shù)中選1個，有3種方法； 第3步，排百位，只能從剩下的2個數(shù)字中選1個，有2種方法． 故共有232＝12個滿足要求的三位偶數(shù)． 探究點(diǎn)3　兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用[學(xué)生用書P3] 　甲同學(xué)有5本不同的數(shù)學(xué)書、4本不同的物理書、3本不同的化學(xué)書，現(xiàn)在乙同學(xué)向甲同學(xué)借書， (1)若借1本書，則有多少種借法？ (2)若每科各借1本書，則有多少種借法？ (3)若任借2本不同學(xué)科的書，則有多少種借法？ 【解】　(1)需完成的事情是“借1本書”，所以借給乙數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)書中的任何1本，都可以完成這件事情．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5＋4＋3＝12種借法． (2)需完成的事情是“每科各借1本書”，意味著要借給乙3本書，只有從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科中各借1本，才能完成這件事情．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有543＝60種借法． (3)需完成的事情是“從三種學(xué)科的書中借2本不同學(xué)科的書”，可分三類： 第1類，借1本數(shù)學(xué)書和1本物理書，只有2本書都借，事情才能完成，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有54＝20種借法； 第2類，借1本數(shù)學(xué)書和1本化學(xué)書，有53＝15種借法； 第3類，借1本物理書和1本化學(xué)書，有43＝12種借法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有20＋15＋12＝47種借法． 利用兩個計數(shù)原理的解題策略 用兩個計數(shù)原理解決具體問題時，首先，要分清是“分類”還是“分步”，區(qū)分分類還是分步的關(guān)鍵是看這種方法能否完成這件事情．其次，要清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在“分類”時要遵循“不重不漏”的原則，在“分步”時要正確設(shè)計“分步”的程序，注意步與步之間的連續(xù)性；有些題目中“分類”與“分步”同時進(jìn)行，即“先分類后分步”或“先分步后分類”．　 　現(xiàn)有3名醫(yī)生、5名護(hù)士、2名麻醉師． (1)從中選派1名去參加外出學(xué)習(xí)，有多少種不同的選法？ (2)從這些人中選出1名醫(yī)生、1名護(hù)士和1名麻醉師組成1個醫(yī)療小組，有多少種不同的選法？ 解：(1)分三類： 第一類，選出的是醫(yī)生，有3種選法； 第二類，選出的是護(hù)士，有5種選法； 第三類，選出的是麻醉師，有2種選法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3＋5＋2＝10(種)選法． (2)分三步： 第一步，選1名醫(yī)生，有3種選法； 第二步，選1名護(hù)士，有5種選法； 第三步，選1名麻醉師，有2種選法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有352＝30(種)選法． 1．某一數(shù)學(xué)問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5名同學(xué)只會用綜合法證明，有3名同學(xué)只會用分析法證明，現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1名同學(xué)證明這個問題，不同的選法種數(shù)為(　　) A．8　　　　　　　　　　 B．15 C．18 D．30 解析：選A.共有5＋3＝8種不同的選法． 2．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，從集合A、B中先后各取一個元素構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則可確定的不同點(diǎn)的個數(shù)為(　　) A．5 B．6 C．10 D．12 解析：選B.完成這件事可分兩步：第一步，從集合A中任選一個元素，有2種不同的方法；第二步，從集合B中任選一個元素，有3種不同的方法．由分步乘法計數(shù)原理得，一共有23＝6種不同的方法． 3．體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，某人到該體育場晨練，則他進(jìn)、出門的方案有(　　) A．12種 B．7種 C．14種 D．49種 解析：選D.要完成進(jìn)、出門這件事，需要分兩步， 第一步進(jìn)體育場，第二步出體育場， 第一步進(jìn)門有4＋3＝7種方法； 第二步出門也有4＋3＝7種方法， 由分步乘法計數(shù)原理知進(jìn)、出門的方案有77＝49種． 4．現(xiàn)有高一學(xué)生50人，高二學(xué)生42人，高三學(xué)生30人，組成冬令營． (1)若從中選1人作總負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？ (2)若每年級各選1名負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？ (3)若從中推選兩人作為中心發(fā)言人，要求這兩人要來自不同的年級，則有多少種選法？ 解：(1)從高一選1人作總負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選1人作總負(fù)責(zé)人有42種選法；從高三選1人作總負(fù)責(zé)人有30種選法．由分類加法計數(shù)原理，可知共有50＋42＋30＝122種選法． (2)從高一選1名負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選1名負(fù)責(zé)人有42種選法；從高三選1名負(fù)責(zé)人有30種選法．由分步乘法計數(shù)原理，可知共有504230＝63 000種選法． (3)①高一和高二各選1人作中心發(fā)言人，有5042＝2 100 種選法；②高二和高三各選1人作中心發(fā)言人，有4230＝1 260種選法；③高一和高三各選1人作中心發(fā)言人，有5030＝1 500種選法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860種選法． 　　　　　　　 知識結(jié)構(gòu) 深化拓展 兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別 加法計數(shù)原理 乘法計數(shù)原理 共同點(diǎn) 兩個原理都是計算完成某項工作的方法種數(shù)，最后的目的都必須完成某件事 區(qū)別一 完成一件事，共有n類辦法，關(guān)鍵詞是“分類” 完成一件事，共分n個步驟，關(guān)鍵詞是“分步” 區(qū)別二 每類辦法都能獨(dú)立地完成這件事，每一種辦法都是獨(dú)立的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事 每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事 區(qū)別三 各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的 各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨(dú)立”確保不重復(fù) ,　　　　　　　 [A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．(2018西安一中高二檢測)完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會用第二種方法，從這9個人中選1人完成這項工作，不同的選法種數(shù)是(　　) A．5 B．4 C．9 D．20 解析：選C.由分類加法計數(shù)原理求解，5＋4＝9(種)．故選C. 2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直角坐標(biāo)系中第一、二象限不同點(diǎn)的個數(shù)是(　　) A．18 B．16 C．14 D．10 解析：選C.分兩類：第一類M中取橫坐標(biāo)，N中取縱坐標(biāo)，共有32＝6(個)第一、二象限的點(diǎn)；第二類M中取縱坐標(biāo)，N中取橫坐標(biāo)，共有24＝8(個)第一、二象限的點(diǎn)．綜上可知，共有6＋8＝14(個)不同的點(diǎn)． 3．現(xiàn)有4名同學(xué)去聽同時進(jìn)行的3個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是(　　) A．81 B．64 C．48 D．24 解析：選A.每個同學(xué)都有3種選擇，所以不同選法共有34＝81(種)，故選A. 4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么滿足條件的不同的有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)是(　　) A．15 B．12 C．5 D．4 解析：選A.分情況討論：①當(dāng)x＝1時，y＝0，1，2，3，4，5，有6種情況； ②當(dāng)x＝2時，y＝0，1，2，3，4，有5種情況； ③當(dāng)x＝3時，y＝0，1，2，3，有4種情況．由分類加法計數(shù)原理可得，滿足條件的有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)是6＋5＋4＝15. 5．十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，則不同的行車路線有(　　) A．24種 B．16種 C．12種 D．10種 解析：選C.完成該任務(wù)可分為四類，從每一個方向的入口進(jìn)入都可作為一類，如圖，從第1個入口進(jìn)入時，有3種行車路線；同理，從第2個，第3個，第4個入口進(jìn)入時，都分別有3種行車路線，由分類加法計數(shù)原理可得共有3＋3＋3＋3＝12種不同的行車路線，故選C. 6．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，則當(dāng)集合C中有且只有一個元素時，C的情況有________種． 解析：分兩種情況：當(dāng)集合C中的元素屬于集合A時，有3種；當(dāng)集合C中的元素屬于集合B時，有4種．因為集合A與集合B無公共元素，所以集合C的情況共有3＋4＝7(種)． 答案：7 7．某班小張等4位同學(xué)報名參加A，B，C三個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中一個小組，且小張不能報A小組，則不同的報名方法有________種． 解析：小張的報名方法有2種，其他3位同學(xué)各有3種，所以由分步乘法計數(shù)原理知共有2333＝54種不同的報名方法． 答案：54 8．直線方程Ax＋By＝0，若從0，1，2，3，5，7這6個數(shù)字中每次取兩個不同的數(shù)作為A，B的值，則可表示________條不同的直線． 解析：若A或B中有一個為零時，有2條；當(dāng)AB≠0時，有54＝20條，則共有20＋2＝22(條)， 即所求的不同的直線共有22條． 答案：22 9．(2018云南麗江測試)現(xiàn)有高二四個班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組． (1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選二人作中心發(fā)言，這二人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？ 解：(1)分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法； 第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法； 第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法； 第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法． 所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)． (2)分四步，第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長，所以共有不同的選法N＝78910＝5 040(種)． (3)分六類，每類又分兩步，從一、二班學(xué)生中各選1人，有78種不同的選法； 從一、三班學(xué)生中各選1人，有79種不同的選法； 從一、四班學(xué)生中各選1人，有710種不同的選法； 從二、三班學(xué)生中各選1人，有89種不同的選法； 從二、四班學(xué)生中各選1人，有810種不同的選法； 從三、四班學(xué)生中各選1人，有910種不同的選法． 所以共有不同的選法N＝78＋79＋710＋89＋810＋910＝431(種)． 10．(1)如圖，在由電鍵組A與B所組成的并聯(lián)電路中，要接通電源且僅閉合其中一個電鍵，使電燈C發(fā)光的方法有多少種？ (2)如圖，由電鍵組A，B組成的電路中，要閉合兩個電鍵接通電源，使電燈C發(fā)光的方法有幾種？ 解：(1)只要閉合圖中的任一電鍵，電燈即發(fā)光．由于在電鍵組A中有2個電鍵，電鍵組B中有3個電鍵，且分別并聯(lián)，應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，所以共有2＋3＝5(種)接通電源使電燈發(fā)光的方法． (2)只有在閉合A組中2個電鍵中的一個之后，再閉合B組中3個電鍵中的一個，才能使電燈的電源接通，電燈才能發(fā)光．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有23＝6(種)不同的接通方法使電燈發(fā)光． [B　能力提升] 11．(2018鄭州高二檢測)從集合{1，2，3，…，10}中任意選出3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：選D.以1為首項的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9.以2為首項的等比數(shù)列為2，4，8.以4為首項的等比數(shù)列為4，6，9.把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到4個數(shù)列，所以所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8(個)． 12．(2018長沙高二檢測)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 解析：選B.對a進(jìn)行討論，為0與不為0，當(dāng)a不為0時還需考慮判別式與0的大?。? 若a＝0，則b＝－1，0，1，2，此時(a，b)的取值有4個； 若a≠0，則方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1， 此時(a，b)的取值為(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9個． 所以(a，b)的個數(shù)為4＋9＝13.故選B. 13．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，點(diǎn)P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，b∈M)． (1)點(diǎn)P可以表示平面上的多少個不同點(diǎn)？ (2)點(diǎn)P可以表示平面上的多少個第二象限的點(diǎn)？ (3)點(diǎn)P可以表示多少個不在直線y＝x上的點(diǎn)？ 解：(1)完成這件事分為兩個步驟：a的取法有6種，b的取法有6種．由分步乘法計數(shù)原理知，點(diǎn)P可以表示平面上66＝36(個)不同點(diǎn)． (2)根據(jù)條件，需滿足a＜0，b＞0. 完成這件事分兩個步驟：a的取法有3種，b的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知，點(diǎn)P可以表示平面上32＝6(個)第二象限的點(diǎn)． (3)因為點(diǎn)P不在直線y＝x上，所以第一步a的取法有6種，第二步b的取法有5種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，點(diǎn)P可以表示65＝30(個)不在直線y＝x上的點(diǎn)． 14．(選做題)某節(jié)目中準(zhǔn)備了兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運(yùn)觀眾，若先確定一名幸運(yùn)之星，再從兩信箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴，有多少種不同的結(jié)果？ 解：抽獎過程分三步完成，考慮到幸運(yùn)之星可分別出現(xiàn)在兩個信箱中，故可分兩種情形考慮，分兩大類： (1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽，先定幸運(yùn)之星，再在兩箱中各定一名幸運(yùn)伙伴有302920＝17 400種結(jié)果． (2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽，同理有201930＝11 400種結(jié)果． 因此共有不同結(jié)果17 400＋11 400＝28 800種．