新編高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專(zhuān)題 數(shù)列教師版

20xx年高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列三 數(shù)列 教師版一、高考預(yù)測(cè)數(shù)列是歷年高考的重點(diǎn)與難點(diǎn)，以等差數(shù)列與等比數(shù)列為基礎(chǔ)考查數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和的問(wèn)題是數(shù)列中的中低檔難度問(wèn)題，一般只要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)即可正確得出結(jié)果.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中階段學(xué)習(xí)的兩種最基本的數(shù)列，也是高考中經(jīng)?？疾椴⑶抑攸c(diǎn)考查的內(nèi)容之一，這類(lèi)問(wèn)題多從數(shù)列的本質(zhì)入手，考查這兩種基本數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡(jiǎn)單運(yùn)算、通項(xiàng)公式、求和公式等本講內(nèi)容在高考中多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題解題時(shí)應(yīng)從基礎(chǔ)處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)及公式，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運(yùn)算量，既準(zhǔn)又快地解決問(wèn)題.除此以外，數(shù)列與其他知識(shí)的綜合考查也是高考中常考的內(nèi)容，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它能與很多知識(shí)進(jìn)行綜合，如方程、函數(shù)、不等式、極限，數(shù)學(xué)歸納法（理）等為主要綜合對(duì)象，概率、向量、解析幾何等為點(diǎn)綴.數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題在高考中大多屬于中高檔難度問(wèn)題.數(shù)列是新課程的必修內(nèi)容，從課程定位上說(shuō)，其考查難度不應(yīng)該太大，數(shù)列試題傾向考查基礎(chǔ)是基本方向從課標(biāo)區(qū)的高考試題看，試卷中的數(shù)列試題最多是一道選擇題或者填空題，一道解答題由此我們可以預(yù)測(cè)20xx年的高考中，數(shù)列試題會(huì)以考查基本問(wèn)題為主，在數(shù)列的解答題中可能會(huì)出現(xiàn)與不等式的綜合、與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合等，但難度會(huì)得到控制二、知識(shí)導(dǎo)學(xué)要點(diǎn)1：有關(guān)等差數(shù)列的基本問(wèn)題1涉及等差數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題往往用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式“知三求二”解決問(wèn)題；2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題；有時(shí)利用數(shù)列的單調(diào)性（d0,遞增；d0，遞減）；3證明數(shù)列為等差數(shù)列有如下方法：定義法；證明（與n值無(wú)關(guān)的常數(shù)）；等差中項(xiàng)法：證明。要點(diǎn)2：有關(guān)等比數(shù)列的基本問(wèn)題1證明數(shù)列為等比數(shù)列有如下方法：定義法：證明。等比中項(xiàng)法：。2求一般數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)常用構(gòu)造數(shù)列法、待定系數(shù)法等。要點(diǎn)向3：等差、等比數(shù)列綜合問(wèn)題1.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。2數(shù)列求通項(xiàng)的常見(jiàn)類(lèi)型與方法：公式法、由遞推公式求通項(xiàng)，由求通項(xiàng)，累加法、累乘法等3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組法、倒序相加法等。4解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略要點(diǎn)4：可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和問(wèn)題某些遞推數(shù)列可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列解決，其轉(zhuǎn)化途徑有：1湊配、消項(xiàng)變換如將遞推公式（為常數(shù)，0，1）。通過(guò)湊配變成；或消常數(shù)轉(zhuǎn)化為2取倒數(shù)法如將遞推公式遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有令則可歸為型。3對(duì)數(shù)變換如將遞推公式取對(duì)數(shù)得4換元變換（其中p，q均為常數(shù)，（或,其中p，q, r均為常數(shù)）。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：則轉(zhuǎn)化為的形式。要點(diǎn)5：數(shù)列求和的常用方法：1、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注意對(duì)公比的討論.2、錯(cuò)位相減法：主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.3、分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.4、裂項(xiàng)相消法：主要用于通項(xiàng)為分式的形式，通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)項(xiàng)相消剩下首尾若干項(xiàng)，注意一般情況下剩下正負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)相同.5、倒序相加法：把數(shù)列正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)相加(即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣).三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛命題角度1 數(shù)列的概念1已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,(n2)，則an的通項(xiàng)an=_. 考場(chǎng)錯(cuò)解 an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，兩式相減得an-an-1=(n-1)an-1，an=nan-1.由此類(lèi)推： an-1=(n-1)an-2，a2=2a1，由疊乘法可得an= 專(zhuān)家把脈 在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)向前遞推一項(xiàng)時(shí)應(yīng)考慮n的范圍當(dāng)n=1時(shí)，a1=與已知a1=1，矛盾 對(duì)癥下藥 n2時(shí)，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 當(dāng)n3時(shí)，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)·an-2 -得 an-an-1=(n-1)·an-1當(dāng)n3時(shí)，=n，an=···=n··4·3×a2=a2，a2=a1=1當(dāng)n2時(shí)，an= . 當(dāng)n=1時(shí)，a1=1故an= 2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(對(duì)于所有n1)，且a4=54，則a1的數(shù)值是_.考場(chǎng)錯(cuò)解Sn=,此數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)是a1，公比是3，由a4=a1·34-1，a1=2 專(zhuān)家把脈 此題不知數(shù)列an的類(lèi)型，并不能套用等比數(shù)列的公式而答案一致是巧合對(duì)癥下藥a4=S4-S3=(34-1)-(33-1)=54，解得a1=2 3.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1，an=3n-1+an-1(n2) (1)求a2，a3； (2)求通項(xiàng)an的表達(dá)式考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)a1=1，a2=3+1=4，a3=32+4=13 (2)由已知an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1 即an成等差數(shù)列，公差d=3n-1故an=1+(n-1)·3n-1 專(zhuān)家把脈 (2)問(wèn)中an-an-1=3n-1，3n-1不是常數(shù)，它是一個(gè)變量，故不符合等差數(shù)列的定義 對(duì)癥下藥 (1)a1=1，a2=4，a3=32+4=13(2)由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=. 4等差數(shù)列an中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于 ( ) A.160 B180 C. 200 D220 考場(chǎng)錯(cuò)解 由通項(xiàng)公式an=a1+(n+1)d.將a2,a3，a18，a19，a20都表示成a1和d.求a1、d，再利用等差數(shù)列求和，選C 專(zhuān)家把脈 此方法同樣可求得解但解法大繁，花費(fèi)時(shí)間多，計(jì)算量大故而出錯(cuò)，應(yīng)運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)求解就簡(jiǎn)易得多對(duì)癥下藥 B 由公式m+n=2Pam+an=2ap?(只適用等差數(shù)列)即可求解由a1+a2+a3=-24，可得：3a2=-24 由a18+a19+a20=78，可得：3a19=78 即 a2=-8，a19=26又S20=10(a2+a19)=180 2若an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10，a2003+a2004>0，a2003·a20040，則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是 ( ) A.4005 B4006 C.4007 D.4008 考場(chǎng)錯(cuò)解 a2004+a2003>0，即2a1+2002d+2003d>0，(a1+2002d)(a1+2003d)<0，要使Sn>0即使na1+d0這樣很難求出a1，d.從而求出最大的自然數(shù) n.故而判斷a2003>0，a2004<0，所以前2003項(xiàng)為正，從第2004項(xiàng)起為負(fù)，由等差數(shù)列的n項(xiàng)和的對(duì)稱(chēng)性使Sn0故而取n=4005使Sn>0 專(zhuān)家把脈 此題運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)及圖象中應(yīng)注意a2003>0，a2004<0 且忽視了這兩項(xiàng)的大小對(duì)癥下藥 B a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a20040，且an為等差數(shù)列 an表示首項(xiàng)為正數(shù)，公差為負(fù)數(shù)的單調(diào)遞減等差數(shù)列，且a2003是絕對(duì)值最小的正數(shù)，a2004是絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)(第一個(gè)負(fù)數(shù))，且|a2003|a2004|在等差數(shù)列an中，a2003+a2004=a1+a4006>0，S4006=0 使Sn0成立的最大自然數(shù)n是4006 3設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.()若首項(xiàng)a1=，公差d=1，求滿(mǎn)足Sk2=(Sk)2的正整數(shù)k; ()求所有的無(wú)窮等差數(shù)列an；使得對(duì)于一切正整數(shù)中k都有Sk2=(Sk)2成立 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)當(dāng)a1=,d=1時(shí)，Sn=n2+n，由Sk2=(Sk)2得k4+k2=，即k=0或k=4 k0故k=4()由對(duì)一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk)2成立 即k2a1+d=(ka1+)2即(a1-)k2-adk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0對(duì)切正整數(shù)k恒成立故 求得a1=0或1，d=0 等差數(shù)列an=0,0,0,，或an=1，1，1， 專(zhuān)家把脈 ()中解法定對(duì)一切正整數(shù)k都成立而不是一切實(shí)數(shù)故而考慮取k的特值也均成立 對(duì)癥下藥 ()當(dāng)a1=,d=1時(shí)，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2，即k3=0.又k0，所以k=4 ()設(shè)數(shù)列an的公差為d，則在Sk2=(Sk)2中分別取k=1,2,得由（1）得a1=0或a1=1. 當(dāng)a1=0時(shí)，代入（2）得d=0或d=6.若a1=0,d=0,則an=0,sn=0,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=0,d=6,則an=6(n-1),由S3=18，（S3）2=324,S9=216知S9(S3)2，故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)a1=1時(shí),代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,則an=1,Sn=n,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=1,d=2,則an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n2,從而Sk2=(Sk)2成立.綜上,共有3個(gè)滿(mǎn)足條件的無(wú)窮等差數(shù)列:an：an=0,即0，0，0，；an:an=1,即1，1，1，；an:an=2n-1,即1，3，5，.4.已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù),且滿(mǎn)足:a0=1,an+1=an·(4-an),nN.(1)證明anan+12,nN.(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.考場(chǎng)錯(cuò)解 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）1°當(dāng)n=1時(shí)，a0=1,a1=a0（4-a0）=,a0a12,命題正確.2°假設(shè)n=k時(shí)有ak-1ak2.則n=k+1時(shí)，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0. 4-ak-1-ak0,ak-ak-10.又ak-1=ak(4-ak)=4-(ak-2)22.n=k+1時(shí)命題正確.由1°、2°知對(duì)一切nN時(shí)有anan+12.(2)an+1=an(4-an)=-(an-2)2+4.2(an+1-2)=-(an-2)2an+1-2=(an-2)2令bn=an-2,bn=-()1+2+2n-1·又b1=a1-2=-.bn=-()2n+2n-1.即an=2-()2n+2n-1.專(zhuān)家把脈 在（）問(wèn)中求bn的通項(xiàng)時(shí)，運(yùn)用疊代法.最后到b0而不是b1.對(duì)癥下藥（）同上，方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，a0=1,a1=a0(4-a0)=,0a0a12;2°假設(shè)n=k時(shí)有ak-1ak2成立，令f(x)= x(4-x),f(x)在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：f(ak-1)f(ak)f(2),即ak-1(4-ak-1)ak(4-ak) ×2(4-2),也即當(dāng)x=k+1時(shí) akak+12成立，所以對(duì)一切nN,有akak+12(2)下面來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)：an+1=an(4-an)=-(an-2)2+4,所以2（an+1-2）=-(an-2)2令bn=an-2,則bn=-=-(-)2=-·()2=-（）1+2+2n-1b2n，又bn=-1,所以bn=-()2n-1,即an=2+bn=2-()2n-1專(zhuān)家會(huì)診1.要善于運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)：“若m+n=p+q,則am+an=ap+aq”；等差數(shù)列前n項(xiàng)和符合二次函數(shù)特征.借助二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合法解等差數(shù)列問(wèn)題.2.會(huì)運(yùn)用一般與特殊的邏輯思維,利用滿(mǎn)足條件的特值求相關(guān)參數(shù)的值,學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.命題角度3 等比數(shù)列1數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,aa+1=(n=1,2,3).證明:()數(shù)列是等比數(shù)列；()Sn+1=4an.考場(chǎng)錯(cuò)解 ()已知a1=1,an+1=,a2=3S1=3,S2=4 a3=·S2=2×4=8.S3=1+3+8=12.即.故是公比為2的等比數(shù)列.()由()知=4·于是Sn+1=4(n+1)·=4an.又a2=3.S2=a1+a2=4,因此對(duì)于任意正整數(shù)n1,都有Sn+1=4an.專(zhuān)家把脈 ()中利用有限項(xiàng)判斷數(shù)列類(lèi)型是運(yùn)用不完全歸納法,應(yīng)給予證明. ()中運(yùn)用前推一項(xiàng)必須使 n2.對(duì)癥下藥 () an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得nSn+1=2(n+1)=Sn,所以=2故是以2為公比的等比數(shù)列.()由()知=4·(n2).于是Sn+1=4(n+1)·=4an(n2).又a2=3S1=3, 故S1=a1+a2=4.因此對(duì)于任意整數(shù)n1,都有Sn+1=4an.2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(an-1)(nN*).() 求a1,a2;()求證數(shù)列an是等比數(shù)列.考場(chǎng)錯(cuò)解 ()S1=(a1-1),得a1=-,S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.()an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得,所以an是首項(xiàng)為-，公比為-的等比數(shù)列.專(zhuān)家把脈 在利用an=Sn-Sn-1公式時(shí),應(yīng)考慮n2時(shí)才能成立.對(duì)癥下藥 ()由S1=(a1-1), 得a1=(a1-1),a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. ()當(dāng) n1時(shí),an=SnSn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,所以an是首項(xiàng)為-,公比為-的等比數(shù)列.3.等比數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為16,中間兩個(gè)數(shù)之和為5,則該數(shù)列的公比q的取值為 ( )A. 或4 B. 或 C. 4或- D. 4或或或考場(chǎng)錯(cuò)解 設(shè)這四個(gè)數(shù)為,aq,aq3.由題意得由得a=,代入得q=或q2=2.q2=或q2=4,故所求的公比為或4.故應(yīng)選A.專(zhuān)家把脈 上述解答設(shè)等比數(shù)列的公比為q2是不合理的.這相當(dāng)于增加了四個(gè)數(shù)同號(hào)這個(gè)條件,而題設(shè)中的四個(gè)數(shù)不一定同號(hào).因此,產(chǎn)生了漏解現(xiàn)象.對(duì)癥下藥設(shè)這四個(gè)數(shù)為a,aq,aq2,aq3,則或-.因此,應(yīng)選D.4.設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=a,且an+1=()求a2,a3;()判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;()求(b1+b2+b3+bn).考場(chǎng)錯(cuò)解 ()a2=a1+=a+,a3=a2=a;()bn+1=a2n+1-.()求(b1+b2+b3+bn)= =.專(zhuān)家把脈在求證bn是等比數(shù)列是時(shí)，式子中，an中n為偶數(shù)時(shí)， 是連續(xù)兩項(xiàng)，并不能得出.對(duì)癥下藥 ()a2=a1+=a+,a3=a2=a+;()a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-),猜想:bn是公比為的等比數(shù)列.證明如下:因?yàn)閎n+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn,(nN*)所以bn是首項(xiàng)為a-,公比為的等比數(shù)列.()求(b1+b2+b3+bn)= 專(zhuān)家會(huì)診1.證明等比數(shù)列時(shí)應(yīng)運(yùn)用定義證為非0常數(shù),而不能(此時(shí)n2).2.等比數(shù)列中q可以取負(fù)值.不能設(shè)公比為q2.3.會(huì)運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì),“若m+n=p+k,則am·an=ap·ak”.命題角度 4 等差與等比數(shù)列的綜合1.(典型例題)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=a2-()n-1-b2-(n+1)()n-1(n=1,2,),其中a,b是非零常數(shù),則存在數(shù)列xn、yn使得（ ）A.an=xn+yn,其中xn為等差數(shù)列，yn為等比數(shù)列 Ban=xn+yn,其中xn和yn都為等差數(shù)列Can=xn·yn,其中xn為等差數(shù)列，yn為等比數(shù)列Dan=xn·yn,其中xn和yn都為等比數(shù)列考場(chǎng)錯(cuò)解a2-()n-1=xn，b2-(n-1)()n-1=yn,又xn,yn成等比數(shù)列，故選D.專(zhuān)家把脈應(yīng)從數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式入手，而不能從形式上主觀(guān)判斷.對(duì)癥下藥 C. a1=S1=3a an=Sn-Sn-1=a2+()n-1-b2-(n+1)·()n+1-a2+()n-2+b2-n()n-2=(bn-b-a)·()n-1 ()n-1為等比數(shù)列,bn-a-b為等差數(shù)列.2.已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a且公比q不等于1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.() 證明12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列; ()求和Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2.考場(chǎng)錯(cuò)解 ()由a1,2a7,3a4 成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,4aq6=a+3aq3.從而可求q3=-,或q3=1.當(dāng)q3=-時(shí)，=，=q6=.故12S3，S6，S12-S6成等比數(shù)列.當(dāng)q3=1時(shí),=，=q6=1.故12S3,S6,S12-S6不成等比數(shù)列.專(zhuān)家把脈本題條件中已規(guī)定q1.故應(yīng)將q=1時(shí)舍去.對(duì)癥下藥()證明:由a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,即4aq6=a+3aq3.變形得(4q3+1)(q3-1)=0,所以q3=-或q3=1(舍去)由=1+q6-1=q6=,得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列. ()解法:Tn=a1+2a4+3a7+na3a-2=a+2aq3+3aq6+naq3(n-2),即Tn=a+2·(-)a+3·(-)2a+n·(-)n-1a. ×(-)3a得:-Tn=-a+2·(-)2a+3·(-)3a+n·(-)na -有：Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)3a+(-)n-1a-n·(-)na=-n·(-)na=a-(+n)·(-)na.所以Tn=·(-)na.3.如圖，OBC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0）、（1，0）、（0，2），設(shè)P1為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，P2為線(xiàn)段CO的中點(diǎn)，P3為線(xiàn)段OP1的中點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,Pn+3為線(xiàn)段PnPn+1的中點(diǎn)，令Pn的坐標(biāo)為（xn,yn）,an=yn+yn+1+yn+2.()求a1,a2,a3及an;()證明yn+4=1-,nN*,()若記bn=y4n+4-y4n,nN*,證明bn是等比數(shù)列.考場(chǎng)錯(cuò)解（1）y1=y2=y4=1,y3=,y5=,可求得a1=a2=a3=2,由此類(lèi)推可求得an=2()將yn+yn+1+yn+2=2同除以2，得yn+4=yn+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-(y4n+4-y4n)=- bn.=-.故bn是等比數(shù)列.專(zhuān)家把脈第()問(wèn)題運(yùn)用不完全歸納法求出an的通項(xiàng).理由不充分,第()問(wèn)中=-.要考慮b1是否為0.即有意義才更完整.對(duì)癥下藥 ()因?yàn)閥1=y2=y4=1,y3= ,y5=,所以a1=a2=a3=2.又由題意可知yn+3=.an+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an,an為常數(shù)列.an=a1=2,nN*.()將等式y(tǒng)n+yn+1+yn+2=2兩邊除以2,得yn+=1,又yn+4=,yn+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-=-(y4n+4-y4n)=- bn,又b1=y8-y4=-0,bn是公比為- 的等比數(shù)列.4.在等差數(shù)列an中,公差d0,a2是a1與a4的等比中項(xiàng).已知數(shù)列a1,a3,akn,成等比數(shù)列,求數(shù)列kn的通項(xiàng)kn.考場(chǎng)錯(cuò)解an=a1+(n-1)d,=a1·a4(a1+d)2=a1(a1+3d).d=a1,an=nd.a1=d.a3=3d.=3=q.=q=3.kn是公比為3的等比數(shù)列.kn=1·3n-1=3n-1.專(zhuān)家把脈錯(cuò)因在把k1當(dāng)作數(shù)列an的首項(xiàng).k1=1.而實(shí)際上k1=9.對(duì)癥下藥依題設(shè)得an=a1+(n-1)d,=a1a4,(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1d, d0,d=a1,得an=nd,所以,由已知得d,3d,k1d,k2d,kndn是等比數(shù)列.由d0,所以數(shù)列1,3,k1,k2,kn, 也是等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為q=3,由此得k1=9.等比數(shù)列kn的首項(xiàng)k1=9,公比q=3,所以kn=9×qn-1=3n+1(n=1,2,3,),即得到數(shù)列kn的通項(xiàng)kn=3n+1.專(zhuān)家會(huì)診1.賦值法在解等差、等比數(shù)列問(wèn)題中是常用方法.從而求出系數(shù)的值及從中找出規(guī)律.2.等比數(shù)列中應(yīng)注意考慮公比等于1的特殊情況,等比數(shù)列中的公差為0的特殊情況在解題時(shí)往往被忽視.3在等差數(shù)列與等比數(shù)列中,經(jīng)常要根據(jù)條件列方程(組)求解.要注意常兩種情形的不同之處.命題角度5 數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合1已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列an滿(mǎn)足下列條件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).()令bn=aa+1-an(nN*),證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；()當(dāng)|k|1時(shí)，求考場(chǎng)錯(cuò)解()證明:由b1=a2-a10,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)0.由數(shù)學(xué)歸納法可證bn=an+1-an0(nN*).由題設(shè)條件，當(dāng)n2時(shí)=k故數(shù)列bn是公比為k的等比數(shù)列.()由()知bn=kn-1(a2-a1)(nN*)b1+b2+bn-1=(a2-a1). (n2) 而b1+b2+bn-1=a2-a1+a3-a2+an-an-1=an-a1(n2)an-a1=(a2-a1)(n2)故an=af(a)-a (nN*)an=a+(n-1)f(a)-a(nN*)()當(dāng)|k|1時(shí)=a+2.如圖，直線(xiàn)l1:y=kx+1-k(k0，k)與l2相交于點(diǎn)P.直線(xiàn)l1與x軸交于點(diǎn)P1,過(guò)點(diǎn)P1作x軸的垂線(xiàn)交于直線(xiàn)l2于點(diǎn)Q1,過(guò)點(diǎn)Q1作y軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)l1于點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)P2作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)l2于點(diǎn)Q2，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P1，Q1，P2，Q2，點(diǎn)Pn(n=1,2,)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列xn.()證明xn+1-1=(xn-1)，(nN*);（）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；（）比較2|PPn|2與4k2|PP1|2+5的大小.考場(chǎng)錯(cuò)解證明：設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是（xn,yn）,由已知條件得點(diǎn)Qn、Pn+1的坐標(biāo)分別是：.由Pn+1在直線(xiàn)l1上，得= kxn+1+1-k.所以（xn-1）=k(xn+1-1).即xn+1-1=（xn-1）,nN*.()由（）知，故xn-1是等比數(shù)列，且首項(xiàng)x1-1=-，公比為.從而求得xn=1-2×()n,nN*.專(zhuān)家把脈 （）問(wèn)中對(duì)于xn+1-1=(xn-1)先應(yīng)考慮xn-1能否為0，繼而可求.對(duì)癥下藥（）同錯(cuò)解中（）.（）解法：由題設(shè)知x1=1-,x1-1=-0,又由（）知xn+1-1=(xn-1), 所以數(shù)列xn-1是首項(xiàng)為x1-1,公比為的等比數(shù)列.從而xn-1=-×()n-1,即xn=1-2×()n,nN*.（）解法：由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）.所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8×()2n+2(2)2n-2,4k2|PP1|254k2(1-1)2(0-1)2+5=4k2+9.（i）當(dāng)|k|，即k-或k時(shí)，4k2 |PP1|2+51+9=10.D而此時(shí)0|1，所以2|PPn|28×1+2=10,故2|PPn|24k2|PP1|2+5.(ii)當(dāng)0|k|，即k（-，0）（0，）時(shí)，4k2|PP1|2+51+9=10.而此時(shí)|1，所以2|PPN|28×1+2=10.故2|PPn|24k2|PP1|2+5.3.已知函數(shù)f(x)=設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,an+1=f(an),數(shù)列bn滿(mǎn)足bn=|an-|，Sn=b1+b2+bn(nN*).（）用數(shù)學(xué)歸納法證明bn；（）證明Sn.考場(chǎng)錯(cuò)解()bn=|an-|,又an=1+，an+1=(n2),a2=2,a3=,a4=2.an1.bn=由疊代法.bn.（）Sn=b1+b2+bn(-1)+.專(zhuān)家把脈運(yùn)用疊代法時(shí)并不能化簡(jiǎn)成.對(duì)癥下藥()證明：當(dāng)x0時(shí),f(x)=1+1.因?yàn)閍1=1,所以an1(nN*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式bn.(1)當(dāng)n=1時(shí)，b1=-1,不等式成立，（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即bk.那么bk-1=|ak+1-|=.所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.根據(jù)（1）和（2），可知不等式對(duì)任意nN*都成立.()證明：由（）知，bn.所以Sn=b1+b2+bn(-1)+ （-1）·.故對(duì)任意nN*,Sn專(zhuān)家會(huì)診函數(shù)、數(shù)列、解析幾何三者的綜合，展示了知識(shí)的交匯性，方法的靈活性.因此解此類(lèi)題目應(yīng)充分運(yùn)用函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，即數(shù)列是一種特殊函數(shù)，以及解析幾何中方程與函數(shù)、數(shù)列的關(guān)系來(lái)解題.而數(shù)列與不等式的綜合更顯出問(wèn)題的綜合性.命題角度6 數(shù)列的應(yīng)用1.某企業(yè)20典型例題)若an=n2+An,且數(shù)列an為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.考場(chǎng)錯(cuò)解 （n,an）(nN+)是函數(shù)f(x)=x2+x圖象上的點(diǎn)，且數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需-1，即-2，的取值范圍是-2，+ 專(zhuān)家把脈 忽視了數(shù)列的離散型特征數(shù)列an為遞增數(shù)列，只要求滿(mǎn)足a1<a2<<an< 對(duì)癥下藥 數(shù)列an是遞增數(shù)列，且an=n2+n，其對(duì)稱(chēng)軸x=-既可以不超過(guò)直線(xiàn)x=1，也可以在 1<x<之間，故-<，即>-3 的取值范圍是(-3，+)(答案不唯一，>-3的所有實(shí)數(shù)均可) 4(典型例題)自然狀態(tài)下的魚(yú)類(lèi)是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀(guān)上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響用xn表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，nN+,且x1>0不考慮其他因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與Xn成正比，死亡量與x2n成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，C，()求xn+1與xn的關(guān)系式；()猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1,a，b，c滿(mǎn)足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變?(不要求證明) ()設(shè)a=2，c=1，為保證對(duì)任意x1(0，2)，都有xn>0，nN+，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少?證明你的結(jié)論 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分別為繁殖量、捕撈量，死亡量) ()xn=x1(nN+)由()式得xn(a-b-cxn)=0 x1= ()x1 (0，2)a=2c=10<2-b<2 0<b<2 故b最大值為2 專(zhuān)家把脈 ()問(wèn)中使用了第()問(wèn)的結(jié)論，而第()中并不一定每年年初魚(yú)群的總量不變 對(duì)癥下藥 (1)從第n年初到第n+1年初，魚(yú)群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為cx2n，因此xx+1- xn=axn-bxn-cx2n，nN*(*) 即xn+1=xn(a-b+1- cxn)，nN*(答案：)()若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則xn恒等于x1，nN*，從而由(*)式得xn(a-b-cxn)恒等于0，n N*，所以a-b-cx1=0即x1=因?yàn)閤1>0，所以a>b猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且x1=時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變 ()若b的值使得xn>0，nN*，由xn+1=xn(3-b-xn)，nN*，知0<xn<3-b，nN*，特別地，有0<x1<3 -b即0<b<3-x1.而x1(0，2)，所以b(0，1，由此猜測(cè)b的最大允許值是1下證，當(dāng)x1(0，2)，b=1時(shí)，都有xn(0，2)，nN* 當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即xk(0，2)，則當(dāng)n =k+1時(shí)，xk+1=xk(2-xk)>0又因?yàn)閤k+1=xk(2- xk)=-(xk-1)2+l1<2，所以xk+1(0，2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立由、可知，對(duì)于任意的nN*，都有xn(0，2)綜上所述，為保證對(duì)任意x1(0，2)，都有xn>0，nN*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1 5假設(shè)某市：2004年新建住房400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米那么，到哪一年底，(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2004年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬(wàn)平方米?(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85?考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)an是等差數(shù)列 an是中低價(jià)房面積a1=250，d=50Sn=25n2+225n由25n2+ 225n4750即n10(2)設(shè)幾年后新建住房面積S為：400(1+8)n 85<25n2+225n 專(zhuān)家把脈 (2)問(wèn)中應(yīng)是第幾年的中低價(jià)房的面積而不是累計(jì)面積 對(duì)癥下藥 (1)設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列an，由題意可知an是等差數(shù)列，其中a1=250，d=50，則Sn= 250n+×50=25n2+225n， 令25n2+225n4750，即n2+9n-1900，而n是正整數(shù)，n10到 底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米設(shè)新建住房面積形成數(shù)列bn，由題意可知 bn是等比數(shù)列，其中b1=400，q=108，則bn=400·(108)n-1·085由題意可知an>085bn，有250+ (n-1)·50>400·(108)n-1·085由計(jì)算器解得滿(mǎn)足上述不等式的最小正整數(shù)n=6到2009年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85四、典型習(xí)題導(dǎo)練1、各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和。【解析】（）由可知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，又，則 （）2、已知數(shù)列滿(mǎn)足：，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為（）求數(shù)列的通項(xiàng)（）求證：【解析】（）（）數(shù)列的前項(xiàng)和為：因?yàn)槭钦麛?shù)，所以故3、已知是公比大于的等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和為， 若，成等差數(shù)列，且，（）（）求；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（）依，成等差數(shù)列，得 -（2分）從而 得 故.-（4分）（）當(dāng)時(shí)， 則-（1分）令，得故.-（3分）于是.-（2分）4、已知數(shù)列滿(mǎn)足,（）證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切，都有 成立，求.【解析】（）由可得所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 3分故有 6分（） 由 可知當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 8分 設(shè)，11分綜上12分5、已知函數(shù)（x0），各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中,.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）在數(shù)列中,對(duì)任意的正整數(shù), 都成立，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和試比較與的大小.【解析】（）由題意知,是以1為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列 ., , .6分（）, 13分6、已知數(shù)列滿(mǎn)足：且（）（）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：（）?！窘馕觥浚ǎ┯深}得：an+1（an+n）=2（n+1）an ， 即故 又 所以數(shù)列為等比數(shù)列， 3分， 6分（）由上知8分所以（）。 12分7、已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為.求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；解不等式.【解析】考查等差數(shù)列、等比數(shù)列，考查探究能力和邏輯思維能力.設(shè)數(shù)列的公差為，由，得，.由數(shù)列的前項(xiàng)和為可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，該式對(duì)也成立.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為.由得時(shí)，時(shí)，又單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.不等式的解集為.8、數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，點(diǎn)在曲線(xiàn)上（）. （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的值.【解析】（）由點(diǎn)在曲線(xiàn)上（）知, （1分） 當(dāng)時(shí)；（4分）當(dāng)時(shí)， ，滿(mǎn)足上式；（5分）數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （6分）（）由得（7分）（8分）上式兩邊乘以2，得 （9分）得 10分，即.12分9、在等差數(shù)列an中，滿(mǎn)足3a55a8，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和（）若a10，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，求n的值；（）若a146，記bn，求bn的最小值【解析】（）設(shè)an的公差為d，則由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，da1Snna1×(a1)a1n2a1na1(n12)2a1a10，當(dāng)n12時(shí)，Sn取得最大值（6分）（）由（）及a146，得d×(46)4，an46(n1)×44n50，Sn46n×42n248nbn2n5225232，當(dāng)且僅當(dāng)2n，即n5時(shí)，等號(hào)成立故bn的最小值為32（12分）10、數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，點(diǎn)（Sn，）在直線(xiàn)上，nN*（）若數(shù)列是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值；（）設(shè)，在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（）設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列中，所有滿(mǎn)足的整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的“積異號(hào)數(shù)”，令（），在（2）的條件下，求數(shù)列的“積異號(hào)數(shù)”【解析】（）由題意，當(dāng)時(shí)，有 （1分）兩式相減，得，（2分）所以，當(dāng)時(shí)是等比數(shù)列，要使時(shí)是等比數(shù)列，則只需從而得出（4分）（）由（）得，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比， （5分） （6分） （7分）上式兩邊乘以3得 （8分）得（9分） （10分）（） 由（）知，（11分），數(shù)列遞增.（12分）由，得當(dāng)時(shí)，cn>0. （13分）數(shù)列的“積異號(hào)數(shù)”為1.（14分）11、定義數(shù)列： ，且對(duì)任意正整數(shù)，有.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（）問(wèn)是否存在正整數(shù)，使得？若存在，則求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，則加以證明.【解析】考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，數(shù)列的分組求和等知識(shí)，考查了學(xué)生變形的能力，推理能力，探究問(wèn)題的能力，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想以及創(chuàng)新意識(shí)（）對(duì)任意正整數(shù)， ，.1分 所以數(shù)列是首項(xiàng),公差為等差數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列2分對(duì)任意正整數(shù),.3分所以數(shù)列的通項(xiàng)公式或 4分對(duì)任意正整數(shù),. 5分 6分所以數(shù)列的前項(xiàng)和為. 或 7分 （）,從而,由知 8分當(dāng)時(shí), ,即；9分當(dāng)時(shí), ,即；10分當(dāng)時(shí), ,則存在,使得從而,得,，得,即. 13分綜上可知,符合條件的正整數(shù)對(duì)只有兩對(duì)：與14分12、在數(shù)列中，已知，且（）記,求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（）求的通項(xiàng)公式；（）對(duì), 是否總使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘馕觥浚ǎ┯深}意得 又，故是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列； 4分（）由（）得 8分（）設(shè)對(duì)任意存在,使得,即整理得，而總為偶數(shù)且非負(fù)，故 13分13、設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：對(duì)于一切正整數(shù)，【解析】：（）由令，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，7分（）當(dāng)時(shí)，要證，只需證只需證因?yàn)?當(dāng)綜上所述14分14、已知在數(shù)列中，（且（）若是等比數(shù)列，求與滿(mǎn)足的條件；（）當(dāng)，時(shí)，某點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，第1次向右（沿軸正向）移動(dòng)，第2次向上（軸正向）移動(dòng)，第3次向左移動(dòng)，第4次向下移動(dòng)，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向移動(dòng)，設(shè)第次移動(dòng)的位移是，設(shè)第次移動(dòng)后，該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求數(shù)列的前項(xiàng)和 【解析】（），由于是等比數(shù)列所以即：所以 或（）當(dāng)，時(shí)，依題意得：， . . . 令-得.15、在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，記?nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為.（）求出的值（不要求寫(xiě)過(guò)程）；（）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（）令=（nN*），求【解析】（） 3分（）由 4分所以平面區(qū)域?yàn)閮?nèi)的整點(diǎn)為點(diǎn)（3,0）與在直線(xiàn)上5分直線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為6分內(nèi)在直線(xiàn)上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為4n+1和2n+1,7分 8分?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列. 9分（）bn=10分14分16、已知數(shù)列、滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（）設(shè)，求證：；（）求證：對(duì)任意的都有成立【解析】（）由得代入得整理得，否則，與矛盾從而得, -3分 數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列-4分（），則-6分證法1：-8分證法2： -8分（）用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)，不等式成立；-9分假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)，不等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)-12分當(dāng)時(shí)，不等式成立由知對(duì)任意的,不等式成立-14分17、在數(shù)列中，已知， （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若（為非零常數(shù)），問(wèn)是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意都有？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘馕觥浚ǎ┯傻茫?得，即有,數(shù)列是從第二項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列即， 而滿(mǎn)足該式， （） ， 要使恒成立恒成立即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，而的最小值為 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，而的最大值為 或所以，存在，使得對(duì)任意都有 18、數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù),點(diǎn)在直線(xiàn)上. () 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，則說(shuō)明理由.（）已知數(shù)列，求證：.【解析】()由題意可得：時(shí), 得， 是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 4分（） 欲使成等差數(shù)列,只須即便可. 故存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列. 9分（） 又函數(shù)在上為增函數(shù)， ， 14分19、已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于，總有成等差數(shù)列.（）求數(shù)列an的通項(xiàng)an（）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n,數(shù)列Tn的前n項(xiàng)和為Rn,求證：時(shí)，；（）對(duì)任意，試比較與的大小【解析】（）由題意，得（nN*）于是，兩式相減，得，即an+1+an=(an+1+an)(an+1-an)，由題，an>0，an+1+an0，得an+1-an=1，即an為公差為1的等差數(shù)列又由，得a1=1或a1=0（舍去） an=1+(n-1)·1=n (nN*)5分（）證法一：由（I）知，于是，于是當(dāng)n2時(shí)，=n(Tn-1).10分法二：當(dāng)n=2時(shí)，R1=T1=1，2(T2-1)=2(=1， n=2時(shí)，等式成立假設(shè)n=k（k2）時(shí)，等式成立，即，當(dāng)n=k+1時(shí)， = = = = 當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立綜合知，原等式對(duì)n2，nN*均成立 10分（）由（I）知，由分析法易知，當(dāng)k2時(shí)， 即14分20、已知點(diǎn)列，順次為一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，點(diǎn)列，順次為軸正半軸上的點(diǎn)，其中.對(duì)于任意，點(diǎn)、構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形. （）求的通項(xiàng)公式，并證明是等差數(shù)列；（）試判斷是否為同一常數(shù)（不必證明），并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）在上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若有，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（），.是首項(xiàng)為，公差為等差數(shù)列；.3分（）為常數(shù)，及都是公差為2的等差數(shù)列.4分.6分.7分（）要使為直角三角形，則,.8分當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，取.10分當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，取，得.12分綜上可知，存在滿(mǎn)足題意的直角三角形，此時(shí)的值為.13分21、設(shè)曲線(xiàn)：上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為,若,（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求證:；（）是否存在常數(shù),使得對(duì),都有不等式:成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（）設(shè)點(diǎn),則,所以,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),取得最小值,且,又,所以,即 將代入得兩邊平方得,又, 故數(shù)列是首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列,所以, 因?yàn)?所以.6分 （）因?yàn)?所以 所以,所以 所以,所以 以上個(gè)不等式相加得.10分 （）因?yàn)?當(dāng)時(shí), , 因?yàn)? 所以 所以, 所以. 故存在常數(shù),對(duì),都有不等式:成立. 14分