新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第11章學(xué)案1

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料排列與組合導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解排列、組合的概念.2.能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能解決簡單的實(shí)際問題自主梳理1排列的定義：_.排列數(shù)的定義：_，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號A表示說明：n！_，叫做n的階乘；規(guī)定0！_；當(dāng)mn時的排列叫做全排列，全排列數(shù)A_.2排列數(shù)公式的兩種形式：(1)An(n1)(nm1)，(2)A，其中公式(1)(不帶階乘的)主要用于計算；公式(2)(階乘形式)適用于化簡、證明、解方程3組合的定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素并成一組，叫做_從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的_，用_表示4組合數(shù)公式的兩種形式：(1)C；(2)C，其中公式(1)主要用于計算，尤其適用于上標(biāo)是具體數(shù)且m的情況，公式(2)適用于化簡、證明、解方程等5CC_，m、kN，nN*.6組合數(shù)的兩個性質(zhì)：(1)C_，(2)C_.自我檢測1(2010·北京改編)8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為_(用式子表示)2(2010·廣州期末七區(qū)聯(lián)考)2010年上海世博會某國展出5件藝術(shù)作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標(biāo)志性建筑設(shè)計1件，在展臺上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必須相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該國展出這5件作品的不同方案有_種32008年9月25日晚上4點(diǎn)30分，“神舟七號”載人飛船發(fā)射升空，某校全體師生集體觀看了電視實(shí)況轉(zhuǎn)播，觀看后組織全體學(xué)生進(jìn)行關(guān)于“神舟七號”的論文評選，若三年級文科共4個班，每班評出2名優(yōu)秀論文(其中男女生各1名)依次排成一列進(jìn)行展覽，若規(guī)定男女生所寫論文分別放在一起，則不同的展覽順序有_種4(2010·全國改編)將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1,2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有_種5(2010·重慶改編)某單位擬安排6位員工在6月14日至16日(端午節(jié)假期)值班，每天安排2人，每人值班1天若6位員工中的甲不值14日，乙不值16日，則不同的安排方法共有_種.探究點(diǎn)一含排列數(shù)、組合數(shù)的方程或不等式例1(1)求等式3中的n值；(2)求不等式<中n的解集變式遷移1(1)解方程：A140A；(2)解不等式：A>6A.探究點(diǎn)二排列應(yīng)用題例2六人按下列要求站一排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站兩端；(2)甲、乙必須相鄰；(3)甲、乙不相鄰； (4)甲、乙之間恰間隔兩人；(5)甲、乙站在兩端； (6)甲不站左端，乙不站右端變式遷移2用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字)，要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，求這樣的六位數(shù)的種數(shù)探究點(diǎn)三組合應(yīng)用題例3男運(yùn)動員6名，女運(yùn)動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動員3名，女運(yùn)動員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動員；(3)隊長中至少有1人參加；(4)既要有隊長，又要有女運(yùn)動員變式遷移312名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法總數(shù)是_1解排列、組合應(yīng)用題應(yīng)遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步2對于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；(3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)3關(guān)于排列、組合問題的求解，應(yīng)掌握以下基本方法與技巧：(1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準(zhǔn)確分步；(3)排列組合綜合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難則反，等價轉(zhuǎn)化(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1在數(shù)字7,8,9與符號“”，“”五個元素的所有全排列中，任意兩個數(shù)字不相鄰的全排列個數(shù)是_2(2009·湖南改編)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為_3(2010·全國改編)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有_種4(2010·重慶改編)某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有_種56條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別為1,1,2,2,3,4，現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使這三條網(wǎng)線通過最大信息量的和大于等于6的方法共有_種6(2011·北京)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(用數(shù)字作答)78名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐3、4名，則大師賽共有_場比賽8參加海地地震救援的中國救援隊一小組共有8人，其中男同志5人，女同志3人現(xiàn)從這8人中選出3人參加災(zāi)后防疫工作，要求在選出的3人中男、女同志都有，則不同的選法共有_種(用數(shù)字作答)二、解答題(共42分)9(14分)(1)計算CC199200；(2)求CC的值；(3)求證：CCC.10(14分)有5個男生和3個女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語文課代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任語文課代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表11(14分)從1,3,5,7,9五個數(shù)字中選2個，0,2,4,6,8五個數(shù)字中選3個，能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？學(xué)案61排列與組合答案自主梳理1從n個不同的元素中取出m (mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列從n個不同元素中取出m (mn)個元素的所有排列的個數(shù)n·(n1)··2·11n！3.從n個不同元素中取出m個元素的一個組合組合數(shù)C5mk或mkn6.(1)C(2)CC自我檢測1AA解析不相鄰問題用插空法，先排學(xué)生有A種排法，老師插空有A種方法，所以共有AA種排法224解析2件書法作品看作一個元素和標(biāo)志性建筑設(shè)計進(jìn)行排列有A種不同排法，讓2件繪畫作品插空有A種插法，2件書法作品之間的順序也可交換，因此共有2AA24(種)31 152解析女生論文有A種展覽順序，男生論文也有A種展覽順序，男生與女生論文可以交換順序，有A種方法，故總的展覽順序有AAA1 152(種)418解析先將1,2捆綁后放入信封中，有C種方法，再將剩余的4張卡片放入另外兩個信封中，有CC種方法，所以共有CCC18(種)方法542解析若甲在16日值班，在除乙外的4人中任選1人在16日值班有C種選法，然后14日、15日有CC種安排方法，共有CCC24(種)安排方法；若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人共有CCC12(種)安排方法；若甲、乙都在15日值班，則共有CC6(種)安排方法所以總共有2412642(種)安排方法課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)在解有關(guān)A、C的方程或不等式時要注意運(yùn)用nm且m、nN*的條件；(2)凡遇到解排列、組合的方程式、不等式問題時，應(yīng)首先應(yīng)用性質(zhì)和排列、組合的意義化簡，然后再根據(jù)公式進(jìn)行計算注意最后結(jié)果都需要檢驗(yàn)解(1)原方程可變形為1，CC，即·，化簡整理得n23n540，解得n9或n6(不合題意，舍去)，n9.(2)由<，可得n211n12<0，解得1<n<12.又nN*且n5，n5,6,7,8,9,10,11變式遷移1解(1)根據(jù)原方程，x (xN*)應(yīng)滿足解得x3.根據(jù)排列數(shù)公式，原方程化為(2x1)·2x·(2x1)·(2x2)140x·(x1)·(x2)，因?yàn)閤3，兩邊同除以4x(x1)，得(2x1)(2x1)35(x2)，即4x235x690，解得x3或x (xN*，應(yīng)舍去)所以原方程的解為x3.(2)根據(jù)原不等式，x (xN*)應(yīng)滿足故2<x8.又由A>6A，得>6×，所以>1，所以75<x<9.故2<x8，所以x3,4,5,6,7,8例2解題導(dǎo)引(1)求排列應(yīng)用題最基本的方法有直接法：把符合條件的從正面考慮解決，直接列式計算；間接法：根據(jù)正難則反的解題原則，如果問題從正面考慮情況比較多，容易重或漏，那么從整體中去掉不符合題意的情況，就得到滿足題意的排列種數(shù)(2)相鄰問題，一般用捆綁處理的方法(3)不相鄰問題，一般用插空處理的方法(4)分排問題，一般用直排處理的方法(5)“小集團(tuán)”排列問題中，先整體后局部的處理方法解(1)方法一要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1個，有A種站法，然后其余5人在另外5個位置上作全排列，有A種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有A·A480(種)站法方法二若對甲沒有限制條件共有A種站法，甲在兩端共有2A種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)即得所求的站法數(shù)，共有A2A480(種)站法(2)先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，有A種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有A種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有A·A240(種)站法(3)因?yàn)榧住⒁也幌噜?，所以可用“插空法”第一步，先讓甲、乙以外?個人站隊，有A種站法；第二步，再將甲、乙排在4人形成的5個空檔(含兩端)中，有A種站法，故共有A·A480(種)站法(4)先從甲、乙以外的4個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有A種；然后把甲、乙及中間2人看作一個“大”元素與余下2人作全排列，有A種站法；最后對甲、乙進(jìn)行排列，有A種站法，故共有A·A·A144(種)站法(5)首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有A種站法，再讓其他4人在中間位置作全排列，有A種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有A·A48(種)站法(6)甲在左端的站法有A種站法，乙在右端的站法有A種，且甲在左端而乙在右端的站法有A種站法，共有A2AA504(種)站法變式遷移2解依題意先排列除1和2外的剩余4個元素有2A·A8(種)方案，再向這排好的4個元素中選1空位插入1和2捆綁的整體，有A種插法，不同的安排方案共有2A·A·A40(種)例3解題導(dǎo)引(1)區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志是“有序”與“無序”，無序的問題，用組合解答，有序的問題屬排列問題(2)解組合問題時，常遇到“至多”、“至少”問題，解決的方法常常用間接法比較簡單，計算量也較小；用直接法也可以解決，但分類要恰當(dāng)，特別對限制條件比較多的問題解(1)第一步：選3名男運(yùn)動員，有C種選法第二步：選2名女運(yùn)動員，有C種選法共有C·C120(種)選法(2)“至少1名女運(yùn)動員”的反面為“全是男運(yùn)動員”從10人中任選5人，有C種選法，其中全是男運(yùn)動員的選法有C種所以“至少有1名女運(yùn)動員”的選法有CC246(種)(3)從10人中任選5人，有C種選法其中不選隊長的方法有C種所以“至少1名隊長”的選法有CC196(種)(4)當(dāng)有女隊長時，其他人選法任意，共有C種選法不選女隊長時，必選男隊長，共有C種選法其中不含女運(yùn)動員的選法有C種，所以不選女隊長時共有CC種選法故既要有隊長，又要有女運(yùn)動員的選法有CCC191(種)變式遷移3840解析從后排8人中選2人有C種，這2人插入前排4人中且前排人的順序不變，則先從4人中的5個空位插一人有5種；余下的一人則要插入前排5人的空檔有6種，故為A.所求總數(shù)為CA840.課后練習(xí)區(qū)112解析在數(shù)字7,8,9與符號“”，“”五個元素的所有排列中，先排“”，“”兩個符號，有A2(種)方法；“”，“”這兩個符號排好后就產(chǎn)生三個空位，再將7,8,9插入這三個空位中，有A6(種)排法，共有A·A12(種)方法249解析丙不入選的選法有C84(種)，甲乙丙都不入選的選法有C35(種)所以甲、乙至少有一人入選，而丙不入選的選法有843549(種)330解析方法一可分兩種情況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類選1門，共有CCCC181230(種)選法方法二總共有C35(種)選法，減去只選A類的C1(種)，再減去只選B類的C4(種)，故有30種選法41 008解析不考慮丙、丁的情況共有AA1 440(種)排法在甲、乙相鄰的條件下，丙排10月1日有AA240(種)排法，同理，丁排10月7日也有240種排法丙排10月1日，丁排10月7日也有AA48(種)排法，則滿足條件的排法有AA2AAAA1 008(種)515解析當(dāng)選用信息量為4的網(wǎng)線時有C種；當(dāng)選用信息量為3的網(wǎng)線時有CC1種，共CCC115(種)614解析數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C4(個)四位數(shù)“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C6(個)四位數(shù)“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C4(個)四位數(shù)綜上所述，共可組成14個這樣的四位數(shù)716解析每組有C場比賽，兩組共有2C場，每組的第一名與另一組的第二名比賽有2場，決出冠軍和第3名各1場，所以共有2C21116(場)845解析從3名女同志和5名男同志中選出3人，分別參加災(zāi)后防疫工作，若這3人中男、女同志都有，則從全部方案中減去只選派女同志的方案數(shù)C，再減去只選派男同志的方案數(shù)C，合理的選派方案共有CCC45(種)9(1)解CCCC2004 9502005 150.(4分)(2)解即又nN*，n7，CC2.(9分)(3)證明C·C；(11分)C·C，(13分)CCC.(14分)10解(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CCCC種，后排有A種，共有(CCCC)·A5 400(種)(3分)(2)除去該女生后，先取后排C·A840(種)(6分)(3)先取后排，但先安排該男生，有C·C·A3 360(種)(10分)(4)先從除去該男生和該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種，其余3人全排有A種，共有C·C·A360(種)(14分)11解從1,3,5,7,9五個奇數(shù)中選出2個，再從2、4、6、8四個偶數(shù)中再選出3個，排成五位數(shù)，有CCA10×4×1204 800個(6分)從5個奇數(shù)中選出2個，再從2、4、6、8四個偶數(shù)中再選出2個，將選出的4個數(shù)再選一個做萬位數(shù)余下的3個數(shù)加上0排在后4個數(shù)位上，有CCCA10×6×4×245 760個(12分)由分類計數(shù)原理可知這樣的五位數(shù)共有CCACCCA10 560個. (14分)