新編高考數(shù)學理一輪資源庫 第2章學案8

新編高考數(shù)學復習資料學案8對數(shù)與對數(shù)函數(shù)導學目標： 1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)，了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點，知道指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)(a>0，a1)，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型自主梳理1對數(shù)的定義如果_，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作_，其中_叫做對數(shù)的底數(shù)，_叫做真數(shù)2對數(shù)的性質(zhì)與運算法則(1)對數(shù)的性質(zhì)(a>0且a1)alogaN_；loga1_；logaaN_； logaa_.(2)對數(shù)的重要公式換底公式：logaN_(a，c均大于零且不等于1)；logab，推廣logab·logbc·logcd_.(3)對數(shù)的運算法則如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)_；loga_；logaMn_(nR)；logamMnlogaM.3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：_(2)值域：_(3)過點_，即x_時，y_(4)當x>1時，_；當0<x<1時，_(5)當x>1時，_；當0<x<1時，_(6)是(0，)上的_函數(shù)(7)是(0，)上的_函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)_互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線_對稱自我檢測1(2010·四川改編)2log510log50.25的值為_2(2010·遼寧改編)設2a5bm，且2，則m的值為_3(2009·遼寧改編)已知函數(shù)f(x)滿足：當x4時，f(x)x；當x<4時，f(x)f(x1)則f(2log23)的值為_4(2010·宿遷模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0，)上遞增，f()0，則滿足f(logx)>0的x的取值范圍是_5(2009·臺州期末)已知0<a<b<1<c，mlogac，nlogbc，則m與n的大小關系為_探究點一對數(shù)式的化簡與求值例1計算：(1)log(2)(2)；(2)lglglg；(3)已知2lglg xlg y，求log(32).變式遷移1計算：(1)log2log212log2421；(2)(lg 2)2lg 2·lg 50lg 25.探究點二含對數(shù)式的大小比較例2比較下列各組數(shù)的大小(1)log3與log5；(2)log1.10.7與log1.20.7；(3)已知，比較2b,2a,2c的大小關系變式遷移2(1)(2009·全國改編)設alog3，blog2，clog3，則a、b、c的大小關系為_(2)設a，b，c均為正數(shù)，且2aloga，()blogb，()clog2c，則a，b，c的大小關系為_探究點三對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)例3已知f(x)logax(a>0且a1)，如果對于任意的x，2都有|f(x)|1成立，試求a的取值范圍變式遷移3(1)(2010·全國改編)已知函數(shù)f(x)|lg x|，若0<a<b，且f(a)f(b)，則a2b的取值范圍為_(2)已知函數(shù)f(x)loga|x|在(0，)上單調(diào)遞增，則f(2)_f(a1)(填寫“<”“”“>”)轉(zhuǎn)化化歸與分類討論思想例(16分)已知函數(shù)f(x)loga(1ax)及g(x)loga(ax1)(a>0，a1)(1)解關于x的不等式：loga(1ax)>f(1)；(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是f(x)圖象上的兩點，求證：直線AB的斜率小于0.【答題模板】(1)解f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a)1a>0.0<a<1.不等式可化為loga(1ax)>loga(1a)4分，即0<x<1.不等式的解集為(0,1)8分(2)證明設x1<x2，則f(x2)f(x1)loga(1ax2)loga(1ax1)loga.1ax>0，ax<1.a>1時，f(x)的定義域為(，0)；0<a<1時，f(x)的定義域為(0，)12分當0<a<1時，x2>x1>0，ax2<ax1.>1.loga<0.f(x2)<f(x1)，即y2<y1.同理可證，當a>1時，也有y2<y1.綜上：y2<y1，即y2y1<0.kAB<0.直線AB的斜率小于0.16分【突破思維障礙】解決含參數(shù)的對數(shù)問題，不可忽視對底數(shù)a的分類討論，即a>1或0<a<1，其次要看定義域，如果將函數(shù)變換，務必保證等價性1用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小(1)同底數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較例如，比較logaf(x)與logag(x)的大小，其中a>0且a1.若a>1，則logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0.若0<a<1，則logaf(x)>logag(x)0<f(x)<g(x)(2)同真數(shù)的對數(shù)值大小關系如圖：圖象在x軸上方的部分自左向右底逐漸增大，即0<c<d<1<a<b.2(1)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，a1)互為反函數(shù)，應從概念、圖象和性質(zhì)三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別(2)明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過研究函數(shù)的性質(zhì)，要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象因此要掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010·北京市豐臺區(qū)高三一調(diào))設My|y()x，x0，)，Ny|ylog2x，x(0,1，則集合MN_.2(2010·全國改編)設alog32，bln 2，c，則a，b，c大小關系為_32lg 5lg 8lg 5·lg 20lg22_.4函數(shù)f(x)ln(a2)為奇函數(shù)，則實數(shù)a等于_5(2010·青島二模)已知函數(shù)f(x)axlogax(a>0，a1)在1,2上的最大值與最小值之和為loga26，則a的值為_6(2010·天津改編)若函數(shù)f(x)若f(a)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍為_7(2011·宿遷模擬)已知f(3x)4xlog23233，則f(2)f(4)f(8)f(28)_.8下列命題：若函數(shù)ylg(x)為奇函數(shù)，則a1；若a>0，則方程|lg x|a0有兩個不相等的實根；方程lg xsin x有且只有三個實數(shù)根；對于函數(shù)f(x)lg x，若0<x1<x2，則f()<.以上命題為真命題的是_(將所有真命題的序號填在橫線上)二、解答題(共42分)9(14分)已知f(x)2log3x，x1,9，求yf(x)2f(x2)的最大值及y取最大值時x的值10(14分)(2010·北京東城檢測)已知函數(shù)f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)若a>1時，求使f(x)>0的x的解集11(14分)已知函數(shù)f(x)lg(axbx)(a>1>b>0)(1)求yf(x)的定義域；(2)在函數(shù)yf(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使得過這兩點的直線平行于x軸；(3)當a，b滿足什么條件時，f(x)在(1，)上恒取正值答案 自主梳理1abN(a>0，且a1)blogaNaN2.(1)N0N1(2)logad(3)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaM3.(1)(0，)(2)R(3)(1,0)10(4)y>0y<0(5)y<0y>0(6)增(7)減4.ylogaxyx自我檢測122.3.4.(0，)(2，)5.m>n課堂活動區(qū)例1解題導引在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運用對數(shù)運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底和指數(shù)與對數(shù)互化解(1)方法一利用對數(shù)定義求值：設log(2)(2)x，則(2)x2(2)1，x1.方法二利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解：log(2)(2)log(2)log(2)(2)11.(2)原式(lg 32lg 49)lg 245(5lg 22lg 7)×lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5lg 2lg 5lg (2×5)lg 10.(3)由已知得lg()2lg xy，()2xy，即x26xyy20.()26()10.3±2.>1，32，log(32)log(32)(32)log1.變式遷移1解(1)原式log2log212log2log22log2log2.(2)原式lg 2·(lg 2lg 50)lg 2521g 2lg 25lg 1002.例2解題導引比較對數(shù)式的大小或證明等式問題是對數(shù)中常見題型，解決此類問題的方法很多，當?shù)讛?shù)相同時，可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；若底數(shù)不同，真數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為同底(利用換底公式)或利用對數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進行比較解(1)log3<log310，而log5>log510，log3<log5.(2)方法一0<0.7<1,1.1<1.2，0>log0.71.1>log0.71.2.<，由換底公式可得log1.10.7<log1.20.7.方法二作出ylog1.1x與ylog1.2x的圖象，如圖所示，兩圖象與x0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.(3)y為減函數(shù)，且，b>a>c.而y2x是增函數(shù)，2b>2a>2c.變式遷移2(1)a>b>c解析alog3>1，blog23，則<b<1，clog32<，a>b>c.(2)a<b<c解析a，b，c均為正，2a>1，()b(0,1)，log2c()c(0,1)0<a<，<b<1,1<c<2.故a<b<c.例3解題導引本題屬于函數(shù)恒成立問題，即對于x，2時，|f(x)|恒小于等于1，恒成立問題一般有兩種思路：一是利用圖象轉(zhuǎn)化為最值問題；二是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問題由于本題底數(shù)a為參數(shù)，需對a分類討論解f(x)logax，則y|f(x)|的圖象如圖由圖示，要使x，2時恒有|f(x)|1，只需|f()|1，即1loga1，即logaa1logalogaa，亦當a>1時，得a1a，即a3；當0<a<1時，得a1a，得0<a.綜上所述，a的取值范圍是(0，3，)變式遷移3(1)(3，)(2)<解析(1)畫出函數(shù)f(x)|lg x|的圖象如圖所示0<a<b，f(a)f(b)，0<a<1，b>1，lg a<0，lg b>0.又f(a)f(b)，lg alg b ，ab1.a2ba，易證a在(0,1)上單調(diào)遞減，>3.即a2b>3.(2)f(x)loga|x|在(0，)上單調(diào)遞增，a>1.a1>2.f(x)是偶函數(shù)，f(2)f(2)<f(a1)課后練習區(qū)1(，1解析x0，y()x(0,1，M(0,1當0<x1時，ylog2x(，0，即N(，0MN(，12c<a<b解析log23>1，log2e>1，log23>log2e.>>1，0<a<b<1.alog32>log3，a>.bln 2>ln ，b>.c5<，c<a<b.3342解析依題意有f(x)f(x)lnln0，即·1，故1a2x214x2，所以a24，又a2，故a2.52解析當x>0時，函數(shù)ax，logax的單調(diào)性相同，因此函數(shù)f(x)axlogax是(0，)上的單調(diào)函數(shù)，f(x)在1,2上的最大值與最小值之和為f(1)f(2)a2aloga2，由題意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去)6(1,0)(1，)解析當a>0時，f(a)log2a，f(a)，f(a)>f(a)，即log2a>log2，a>，解得a>1.當a<0時，f(a)，f(a)log2(a)，f(a)>f(a)，即>log2(a)，a<，解得1<a<0，由得1<a<0或a>1.72 008解析令3xt，f(t)4log2t233，f(2)f(4)f(8)f(28)4×(128)8×2334×361 8642 008.8解析f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)0.lg(x)lg(x)lg(x2a)x2lg a0，a1.|lg x|a0，|lg x|a.作出y|lg x|，ya的圖象可知，當a>0時有兩個交點方程有兩個不等實根作出ylg x，ysin x的圖象，可知在y軸右側(cè)有三個交點故方程有三個實根對于f(x)lg x，如圖，當0<x1<x2時，應有yA>yB，即f()>.9解f(x)2log3x，yf(x)2f(x2)(2log3x)22log3x2logx6log3x6(log3x3)23.(5分)函數(shù)f(x)的定義域為1,9，要使函數(shù)yf(x)2f(x2)有意義，必須1x3，0log3x1，(10分)6(log3x3)2313.當log3x1，即x3時，ymax13.當x3時，函數(shù)yf(x)2f(x2)取最大值13.(14分)10解(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，則解得1<x<1.故所求函數(shù)f(x)的定義域為x|1<x<1(4分)(2)由(1)知f(x)的定義域為x|1<x<1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)為奇函數(shù)(9分)(3)因為當a>1時，f(x)在定義域x|1<x<1內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)>0>1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的解集是x|0<x<1(14分)11解(1)由axbx>0，得()x>1，且a>1>b>0，得>1，所以x>0，即f(x)的定義域為(0，)(4分)(2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，則ax1>ax2>0，bx1<bx2，所以ax1bx1>ax2bx2>0，即lg(ax1bx1)>lg(ax2bx2)故f(x1)>f(x2)所以f(x)在(0，)上為增函數(shù)(8分)假設函數(shù)yf(x)的圖象上存在不同的兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直線平行于x軸，則x1x2，y1y2，這與f(x)是增函數(shù)矛盾故函數(shù)yf(x)的圖象上不存在不同的兩點使過兩點的直線平行于x軸(10分)(3)因為f(x)是增函數(shù)，所以當x(1，)時，f(x)>f(1)這樣只需f(1)lg(ab)0，即當ab1時，f(x)在(1，)上恒取正值(14分)