新版新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7篇 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用二學(xué)案 理
1 1第四十七課時(shí) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 (二) 課前預(yù)習(xí)案考綱要求1.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題2.體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用?;A(chǔ)知識(shí)梳理1、二面角的定義(1)平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分,其中的每一部分都叫做_。(2)二面角的定義:_,_叫做二面角的棱,_叫做二面角的面。(3)二面角的記法:棱為,兩個(gè)面分別為的二面角,記作_。(4)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一點(diǎn),在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線,則 是二面角的平面角. (5)直二面角:_。2、二面角的平面角的求法(1)如圖,分別在二面角的面內(nèi),作向量,則等于二面角的平面角.(2)若分別為平面的法向量,二面角的大小為,則預(yù)習(xí)自測1 若平面的一個(gè)法向量為n(4,1,1),直線l的一個(gè)方向向量為a(2,3,3),則l與所成角的正弦值為_2 若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120°,則直線l與平面所成的角_.3 從空間一點(diǎn)P向二面角l的兩個(gè)面,分別作垂線PE,PF,垂足分別為E,F(xiàn),若二面角l的大小為60°,則EPF的大小為_4 如圖所示,在空間直角坐標(biāo)系中,有一棱長為a的正方體ABCOABCD,AC的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F的距離為_課堂探究案典型例題【典例1】(20xx年遼寧)如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).(1)求證:平面平面; (2)若,求二面角的余弦值 【變式1】(20xx廣東)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,點(diǎn) E在線段PC上,PC平面BDE(1)證明:BD平面PAC;(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值;【典例2】【20xx山東】在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,平面.()求證:平面;()求二面角的余弦值.【變式2】(20xx年重慶理)如圖,四棱錐中,為的中點(diǎn),.(1)求的長;(2)求二面角的正弦值.【典例3】(20xx年天津理)如圖, 四棱柱中, 側(cè)棱底面, ,,,為棱的中點(diǎn). (1) 證明;(2) 求二面角的正弦值. (3) 設(shè)點(diǎn)在線段上, 且直線與平面所成角的正弦值為, 求線段的長. 當(dāng)堂檢測1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,平面OAB的一個(gè)法向量為n(2,2,1),已知點(diǎn)P(1,3,2),則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于()A4 B2 C3 D12 在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A. B. C. D.3 設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是_4.如圖,在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中,ADBC,ABC90°,PA平面ABCD,PA3,AD2,AB2,BC6.(1)求證:BD平面PAC;(2)求二面角PBDA的大小課后拓展案 A組全員必做題1、如圖,在圓錐PO中,已知,O的直徑,C是的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn)(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值。2、【20xx新課標(biāo)】如圖,直三棱柱中,是棱的中點(diǎn),(1)證明:(2)求二面角的大小.B組提高選做題如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一點(diǎn),PE=2EC.()證明:PC平面BED;()設(shè)二面角A-PB-C為90°,求PD與平面PBC所成角的大小.參考答案預(yù)習(xí)自測1.【答案】【解析】n·a8338,|n|3,|a|,cosn,a.又l與所成角記為,則sin |cosn,a|.2.【答案】30°【解析】由題意得直線l與平面的法向量所在直線的夾角為60°,直線l與平面所成的角為90°60°30°.3.【答案】60°或120°4.【答案】a【解析】由圖易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A(a,0,a)F,E.EFa.典型例題【典例1】(1)(略);(2)【變式1】(1)(略);(2)3【典例2】(1)(略);(2)【變式2】(1);(2)【典例3】(1)(略);(2);(3)當(dāng)堂檢測1.【答案】B【解析】P點(diǎn)到平面OAB的距離為d2,故選B.2.【答案】B【解析】以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)棱長為1,則A1(0,0,1),E,D(0,1,0),(0,1,1),設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1(1,y,z),則n1(1,2,2)平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1),cosn1,n2.即所成的銳二面角的余弦值為.3.【答案】【解析】建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),(2,0,0),(2,0,2),(2,2,0),設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量n(x,y,z),則.令x1,則n(1,1,1),點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d.4.(1)證明如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3),(0,0,3),(2,6,0),(2,2,0)·0,·0.BDAP,BDAC.又PAACA,BD面PAC.(2)解平面ABD的一個(gè)法向量為m(0,0,1),設(shè)平面PBD的法向量為n(x,y,z),則n·0,n·0.(2,0,3),解得令x,則n(,3,2),cosm,n.二面角PBDA的大小為60°. A組全員必做題1.(1)(略);(2)2.(1)(略);(2)B組提高選做題(1)(略) (2)