新版新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7篇 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用二學(xué)案 理

1 1第四十七課時(shí) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 (二) 課前預(yù)習(xí)案考綱要求1.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題2.體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用?；A(chǔ)知識(shí)梳理1、二面角的定義(1)平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做_。(2)二面角的定義：_，_叫做二面角的棱，_叫做二面角的面。(3)二面角的記法：棱為，兩個(gè)面分別為的二面角，記作_。(4)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線,則 是二面角的平面角. (5)直二面角：_。2、二面角的平面角的求法(1)如圖，分別在二面角的面內(nèi)，作向量，則等于二面角的平面角.(2)若分別為平面的法向量，二面角的大小為，則預(yù)習(xí)自測1 若平面的一個(gè)法向量為n(4,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a(2，3,3)，則l與所成角的正弦值為_2 若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面所成的角_.3 從空間一點(diǎn)P向二面角l的兩個(gè)面，分別作垂線PE，PF，垂足分別為E，F(xiàn)，若二面角l的大小為60°，則EPF的大小為_4 如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為a的正方體ABCOABCD，AC的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F的距離為_課堂探究案典型例題【典例1】（20xx年遼寧）如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).(1)求證:平面平面； (2)若，求二面角的余弦值 【變式1】（20xx廣東）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，點(diǎn) E在線段PC上，PC平面BDE（1）證明：BD平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；【典例2】【20xx山東】在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，平面.（）求證：平面；（）求二面角的余弦值.【變式2】（20xx年重慶理）如圖,四棱錐中,為的中點(diǎn),.(1)求的長；(2)求二面角的正弦值.【典例3】（20xx年天津理）如圖, 四棱柱中, 側(cè)棱底面, ,，,為棱的中點(diǎn). (1) 證明；(2) 求二面角的正弦值. (3) 設(shè)點(diǎn)在線段上, 且直線與平面所成角的正弦值為, 求線段的長. 當(dāng)堂檢測1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，平面OAB的一個(gè)法向量為n(2，2,1)，已知點(diǎn)P(1,3,2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于()A4 B2 C3 D12 在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A. B. C. D.3 設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是_4.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求證：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小課后拓展案 A組全員必做題1、如圖，在圓錐PO中，已知，O的直徑,C是的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)（1）證明：平面平面;（2）求二面角的余弦值。2、【20xx新課標(biāo)】如圖，直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，（1）證明：（2）求二面角的大小.B組提高選做題如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC.（）證明：PC平面BED；（）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小.參考答案預(yù)習(xí)自測1.【答案】【解析】n·a8338，|n|3，|a|，cosn，a.又l與所成角記為，則sin |cosn，a|.2.【答案】30°【解析】由題意得直線l與平面的法向量所在直線的夾角為60°，直線l與平面所成的角為90°60°30°.3.【答案】60°或120°4.【答案】a【解析】由圖易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A(a,0，a)F，E.EFa.典型例題【典例1】（1）（略）；（2）【變式1】（1）（略）；（2）3【典例2】（1）（略）；（2）【變式2】（1）；（2）【典例3】（1）（略）；(2)；(3)當(dāng)堂檢測1.【答案】B【解析】P點(diǎn)到平面OAB的距離為d2，故選B.2.【答案】B【解析】以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1(1，y，z)，則n1(1,2,2)平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)，cosn1，n2.即所成的銳二面角的余弦值為.3.【答案】【解析】建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則.令x1，則n(1，1，1)，點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d.4.(1)證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0)·0，·0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD面PAC.(2)解平面ABD的一個(gè)法向量為m(0,0,1)，設(shè)平面PBD的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0.(2，0,3)，解得令x，則n(，3,2)，cosm，n.二面角PBDA的大小為60°. A組全員必做題1.（1）（略）；（2）2.（1）（略）；（2）B組提高選做題(1)（略） (2)