新版新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第11節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理

1 1【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第11節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1、5、7、9、11導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值2、4、8、14導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值3、6、11導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際應(yīng)用問題12綜合問題10、13、15、16基礎(chǔ)過關(guān)一、選擇題1.函數(shù)y=(3-x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(D)(A)(-,0)(B)(0,+)(C)(-,-3)和(1,+)(D)(-3,1)解析:y=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y>0x2+2x-3<0-3<x<1,函數(shù)y=(3-x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(-3,1).故選D.2.(20xx天津模擬)若函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(D)(A)(0,1)(B)(-,1)(C)(0,+)(D)(0,12)解析:f(x)=3x2-6b,令f(x)=0得x2=2b,由題意知,0<2b<1,所以0<b<12.3.(20xx青島模擬)函數(shù)y=ln x-x在x(0,e上的最大值為(C)(A)e(B)1(C)-1(D)-e解析:函數(shù)y=ln x-x的定義域?yàn)?0,+),又y=1x-1=1-xx,令y=0得x=1,當(dāng)x(0,1)時(shí),y>0,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)x(1,e)時(shí),y<0,函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得最大值-1.4.若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d有極值,則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象不可能是(D)解析:若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d有極值,則此函數(shù)在某點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性相反,也就是說導(dǎo)函數(shù)f(x)在此點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)相反,所以導(dǎo)函數(shù)的圖象要穿過x軸,觀察四個(gè)選項(xiàng)中的圖象只有D項(xiàng)是不符合要求的,即f(x)的圖象不可能是D.5.(20xx洛陽調(diào)研)若f(x)=-12(x-2)2+bln x在(1,+)上是減函數(shù),則b的取值范圍是(C)(A)-1,+)(B)(-1,+)(C)(-,-1(D)(-,-1)解析:由題意可知f(x)=-(x-2)+bx0,在x(1,+)上恒成立,即bx(x-2)在x(1,+)上恒成立,由于 (x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+)上的值域是(-1,+),故只要b-1即可.6.(20xx福建廈門質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)=x3-3x在(a,6-a2)上有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)(A)(-5,1)(B)-5,1)(C)-2,1)(D)(-5,-2解析:f(x)=3x2-3=0,得x=±1,且x=1為函數(shù)的極小值點(diǎn),x=-1為函數(shù)的極大值點(diǎn).函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,6-a2)上,則函數(shù)f(x)極小值點(diǎn)必在區(qū)間(a,6-a2)內(nèi),即實(shí)數(shù)a滿足a<1<6-a2且f(a)=a3-3af(1)=-2.解a<1<6-a2,得-5<a<1,不等式a3-3af(1)=-2,即a3-3a+20,即a3-1-3(a-1)0,即(a-1)(a2+a-2)0,即(a-1)2(a+2)0,即a-2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2,1).故選C.二、填空題7.已知向量a=(ex+x22,-x),b=(1,t),若函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間(-1,1)上存在增區(qū)間,則t的取值范圍為. 解析:f(x)=ex+x22-tx,x(-1,1),f(x)=ex+x-t,函數(shù)在(-1,1)上存在增區(qū)間,故ex+xt,x(-1,1)時(shí)有解,故e+1t.答案:(-,e+18.直線y=a與函數(shù)f(x)=x3-3x的圖象有相異的三個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是. 解析:令f(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得極大值為f(-1)=2,極小值為f(1)=-2,如圖,觀察得-2<a<2時(shí)恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn).答案:(-2,2)9.已知函數(shù)f(x)=-12x2+4x-3ln x在t,t+1上不單調(diào),則t的取值范圍是. 解析:由題意知f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x,由f(x)=0得函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為1,3,則只要這兩個(gè)極值點(diǎn)有一個(gè)在區(qū)間(t,t+1)內(nèi),函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t+1上就不單調(diào),由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.答案:(0,1)(2,3)10.(20xx鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m,n-1,1,則f(m)+f(n)的最小值是. 解析:f(x)=-3x2+2ax,根據(jù)已知2a3=2,得a=3,即f(x)=-x3+3x2-4.根據(jù)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),可得函數(shù)f(m)在-1,1上的最小值為f(0)=-4,f(n)=-3n2+6n在-1,1上單調(diào)遞增,所以f(n)的最小值為f(-1)=-9.f(m)+f(n)min=f(m)min+f(n)min=-4-9=-13.答案:-13三、解答題11.(20xx太原模擬)設(shè)f(x)=-13x3+12x2+2ax.(1)若f(x)在(23,+)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍;(2)當(dāng)0<a<2時(shí),f(x)在1,4上的最小值為-163,求f(x)在該區(qū)間上的最大值.解:(1)由f(x)=-x2+x+2a=-(x-12)2+14+2a,當(dāng)x23,+)時(shí),f(x)的最大值為f(23)=29+2a.令29+2a>0,得a>-19,所以當(dāng)a>-19時(shí),f(x)在(23,+)上存在單調(diào)遞增區(qū)間.(2)令f(x)=0,得兩根x1=1-1+8a2,x2=1+1+8a2.所以f(x)在(-,x1),(x2,+)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增.當(dāng)0<a<2時(shí),有x1<1<x2<4,所以f(x)在1,4上的最大值為f(x2).又f(4)-f(1)=-272+6a<0,即f(4)<f(1),所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)=8a-403=-163,得a=1,x2=2,從而f(x)在1,4上的最大值為f(2)=103.12.(20xx泰安模擬)某種產(chǎn)品每件成本為6元,每件售價(jià)為x元(6<x<11),年銷售為u萬件,若已知5858-u與(x-214)2成正比,且售價(jià)為10元時(shí),年銷量為28萬件.(1)求年銷售利潤y關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;(2)求售價(jià)為多少時(shí),年利潤最大,并求出最大年利潤.解:(1)設(shè)5858-u=k(x-214)2,售價(jià)為10元時(shí),年銷量為28萬件,5858-28=k(10-214)2,解得k=2.u=-2(x-214)2+5858=-2x2+21x+18.y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6<x<11).(2)y=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).令y=0,得x=2(舍去)或x=9,顯然,當(dāng)x(6,9)時(shí),y>0;當(dāng)x(9,11)時(shí),y<0.函數(shù)y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是遞增的,在(9,11)上是遞減的.當(dāng)x=9時(shí),y取最大值,且ymax=135,售價(jià)為9元時(shí),年利潤最大,最大年利潤為135萬元.能力提升13.(20xx宜昌模擬)已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)=ln x-ax(a>12),當(dāng)x(-2,0)時(shí),f(x)的最小值為1,則a的值等于(D)(A)14(B)13(C)12(D)1解析:由題意知,當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)的最大值為-1.令f(x)=1x-a=0,得x=1a,當(dāng)0<x<1a時(shí),f(x)>0;當(dāng)x>1a時(shí),f(x)<0.f(x)max=f(1a)=-ln a-1=-1,解得a=1.14.函數(shù)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則a的取值范圍是. 解析:f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,即函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),即f(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根.f(x)=ax3+x,f(x)=3ax2+1.要使f(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根,則a<0.答案:(-,0)15.(20xx廣東六校聯(lián)考)已知f(x)=3x2-x+m(xR),g(x)=ln x.(1)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在x=x0處的切線平行,求x0的值;(2)求當(dāng)曲線y=f(x)與y=g(x)有公共切線時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)在(2)的條件下,求函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間13,1上的最值(用m表示).解:(1)f(x)=6x-1,g(x)=1x(x>0),由題意知6x0-1=1x0(x0>0),即6x02-x0-1=0,解得x0=12或x0=-13,又x0>0,x0=12.(2)若曲線y=f(x)與y=g(x)相切且在交點(diǎn)處有公共切線,由(1)得切點(diǎn)橫坐標(biāo)為12,f(12)=g(12),34-12+m=ln 12,即m=-14-ln 2,數(shù)形結(jié)合可知,m>-14-ln 2時(shí),f(x)與g(x)有公共切線,故m的取值范圍是(-14-ln 2,+).(3)F(x)=f(x)-g(x)=3x2-x+m-ln x,故F(x)=6x-1-1x=6x2-x-1x=(3x+1)(2x-1)x,當(dāng)x變化時(shí),F(x)與F(x)在區(qū)間13,1上的變化情況如表:x13,12)12(12,1F(x)-0+F(x)極小值又F(13)=m+ln 3,F(1)=2+m>F(13),當(dāng)x13,1時(shí),F(x)min=F(12)=m+14+ln 2(m>-14-ln 2),F(x)max=F(1)=m+2(m>-14-ln 2).探究創(chuàng)新16.(20xx天津模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax-ln x.(1)若a=1,試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f(x)的切線,證明:切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.(1)解:a=1時(shí),f(x)=x2+x-ln x(x>0),所以f(x)=2x+1-1x=(2x-1)(x+1)x,x(0,12),f(x)<0,x(12,+),f(x)>0,所以f(x)的減區(qū)間為(0,12),增區(qū)間為(12,+).(2)證明:設(shè)切點(diǎn)為M(t,f(t),f(x)=2x+a-1x,切線的斜率k=2t+a-1t,又切線過原點(diǎn)k=f(t)t,f(t)t=2t+a-1t,即t2+at-ln t=2t2+at-1,所以t2-1+ln t=0,t=1滿足方程t2-1+ln t=0,由y=1-x2,y=ln x圖象可知x2-1+ln x=0有唯一解x=1,切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.