新版新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4篇 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用課時訓(xùn)練 理

1 1【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4篇 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用課時訓(xùn)練 理【選題明細(xì)表】知識點、方法題號平面向量的數(shù)量積3、4、8平面向量的夾角及垂直問題2、5、9平面向量的模1、6、7平面向量數(shù)量積的綜合問題10、11、12平面向量與其他知識交匯問題13、14、15、16基礎(chǔ)過關(guān)一、選擇題1.(20xx高考遼寧卷)已知點A(1,3),B(4,-1),則與向量AB同方向的單位向量為(A)(A)(35,-45) (B)（45,-35）(C)（-35,45）(D)（-45,35）解析:AB=(3,-4),則與AB同方向的單位向量為AB|AB|=15(3,-4)=（35,-45）.故選A.2.(20xx高考四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m等于(D)(A)-2(B)-1(C)1(D)2解析:法一由已知得c=(m+4,2m+2),因為cos<c,a>=c·a|c|a|,cos<c,b>=c·b|c|b|,所以c·a|c|a|=c·b|c|b|,又由已知得|b|=2|a|,所以2c·a=c·b,即2(m+4)+2(2m+2)=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.故選D.法二易知c是以ma,b為鄰邊的平行四邊形的對角線向量,因為c與a的夾角等于c與b的夾角,則m>0,所以該平行四邊形為菱形,又由已知得|b|=2|a|,故m=2.故選D.3.已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若ab,則a·b等于(A)(A)-10(B)-6(C)0(D)6解析:由ab得2x=-4,x=-2,故a·b=(1,2)·(-2,-4)=-10.故選A.4.若向量a,b滿足:|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,則|b|等于(B)(A)2(B)2(C)1(D)22解析:利用向量的運算列式求解.由題意知(a+b)·a=0,(2a+b)·b=0,即a2+b·a=0,2a·b+b2=0,將×2-得,2a2-b2=0,b2=|b|2=2a2=2|a|2=2,故|b|=2.故選B.5.在ABC中,AB=(cos 18°,cos 72°),BC=(2cos 63°,2cos 27°),則角B等于(B)(A)4(B)34(C)3(D)23解析:AB·BC=2cos 18°cos 63°+2cos 72°cos 27°=2sin 27°cos 18°+2cos 27°sin 18°=2sin(27°+18°)=2sin 45°=2.而|AB|=1,|BC|=2,cos B=-AB·BC|AB|BC|=-22,又B(0,),B=34.故選B.二、填空題6.(20xx四川成都石室模擬)已知向量a、b滿足a=(1,0),b=(2,4),則|a+b|=. 解析:|a+b|=|(3,4)|=32+42=5.答案:57.(20xx高考江西卷)已知單位向量e1與e2的夾角為,且cos =13,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為,則cos =. 解析:a·b=(3e1-2e2) ·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×13=8,|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×13=9.|a|=3.同理,|b|=22.cos =a·b|a|b|=83×22=223.答案:2238. 正三角形ABC中,D是邊BC上的點,AB=3,BD=1,則AB·AD=. 解析:法一AB·AC=3×3×cos 60°=92,AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC,AB·AD=AB·（23AB+13AC）=23AB2+13AB·AC=152.法二以B為原點,BC所在的直線為x軸,建立坐標(biāo)系,則B(0,0),A（32,332）,D(1,0).所以AB=（-32,-332）,AD=（-12,-332）,所以AB·AD=（-32）×（-12）+（-332）2=152.答案:1529.(20xx安徽巢湖模擬)已知a=(,2),b=(3,2),如果a與b的夾角為銳角,則的取值范圍是. 解析:由題意知,a·b>0且a與b不共線,所以32+4>0,2-620,解得<-43或0<<13或>13,所以的取值范圍是（-,-43）（0,13）（13,+）.答案:（-,-43）（0,13）（13,+）10.關(guān)于平面向量a,b,c,有以下命題:若a·b=a·c,則b=c.若a=(1,k),b=(-2,6),ab,則k=13.非零向量a和b,滿足|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角為60°非零向量a和b,滿足|a+b|=|a-b|,則ab其中真命題的序號為. 解析:命題明顯不正確;對于向量垂直的充要條件易得k=13,命題正確;對于,可結(jié)合平行四邊形法則,得a與a+b的夾角為30°,命題不正確;對于,由|a+b|=|a-b|得(a+b)2=(a-b)2,a·b=0,ab,命題正確.答案:三、解答題11.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xR).(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|a-b|.解:(1)由ab,得a·b=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因為ab,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.當(dāng)x=0時,a-b=(-2,0),|a-b|=(-2)2+02=2.當(dāng)x=-2時,a-b=(2,-4),|a-b|=22+(-4)2=25.綜上,|a-b|為2或25.12.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,(1)求a與b的夾角;(2)求|a+b|;(3)若AB=a,BC=b,求ABC的面積.解:(1)(2a-3b)·(2a+b)=61,4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,64-4a·b-27=61,a·b=-6.cos =a·b|a|b|=-64×3=-12.又0,=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,|a+b|=13.(3)AB與BC的夾角=23,ABC=-23=3.又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,SABC=12|AB|BC|sinABC=12×4×3×32=33.能力提升13.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x軸上存在一點P使AP·BP有最小值,則P點的坐標(biāo)是(C)(A)(-3,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(4,0)解析:設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,0),則AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).AP·BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.當(dāng)x=3時,AP·BP有最小值1.點P坐標(biāo)為(3,0).故選C.14.(20xx河南鄭州模擬)如圖,RtABC中,C=90°,其內(nèi)切圓切AC邊于D點,O為圓心.若|AD|=2|CD|=2,則BO·AC=. 解析:以CA所在的直線為x軸,CB所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則C(0,0)、O(1,1)、A(3,0).設(shè)直角三角形內(nèi)切圓與AB邊交于點E,與CB邊交于點F,則由圓的切線長定理可得BE=BF,AD=AE=2,設(shè)BE=BF=x,在RtABC中,可得CB2+CA2=AB2,即(x+1)2+9=(x+2)2,解得x=3,故B(0,4).BO·AC=(1,-3)·(-3,0)=-3.答案:-315.(20xx西安模擬)在ABC中,設(shè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=(cos A,sin A),向量n=(2-sin A,cos A),若|m+n|=2.(1)求角A的大小;(2)若b=42,且c=2a,求ABC的面積.解:(1)|m+n|=(cosA+2-sinA)2+(sinA+cosA)2=4+22(cosA-sinA)=4+4cos(4+A),所以4+4cos（4+A）=4,所以cos（4+A）=0.又因為A(0,),故4+A=2,所以A=4.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即a2=(42)2+(2a)2-2×42×2acos 4,解得a=42,所以c=8,所以SABC=12×42×8×22=16.探究創(chuàng)新16.(20xx衡水中學(xué)調(diào)研)已知|a|=2|b|0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=13x3+12|a|x2+a·bx在R上有極值,則向量a與b的夾角的范圍是(C)(A)0,6)(B)(6,(C)(3,(D)(3,23)解析:設(shè)a與b的夾角為.f(x)=13x3+12|a|x2+a·bx,f(x)=x2+|a|x+a·b.函數(shù)f(x)在R上有極值,方程x2+|a|x+a·b=0有兩個不同的實數(shù)根,即=|a|2-4a·b>0,a·b<a24,又|a|=2|b|0,cos =a·b|a|b|<a24a22=12,即cos <12,又0,(3,故選C.