新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題4.4 專題突破 高考中的圓錐曲線問(wèn)題全國(guó)高考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)大串講

1 1題型一求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(20xx·天津變式)已知雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為_(kāi).【答案】x21【思維升華】求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，解得標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，從而求得方程.【跟蹤訓(xùn)練1】(20xx·課標(biāo)全國(guó))已知點(diǎn)A(0，2)，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為， F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.【解析】(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)>0，即k2>時(shí)，x1,2.從而PQ|x1x2|.題型二圓錐曲線的幾何性質(zhì)例2(1)(20xx·湖南變式)若雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，4)，則此雙曲線的離心率為_(kāi).A. B. C. D.(2)已知雙曲線C：1 (a>0，b>0)，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線y2xm (m0)與雙曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為_(kāi).【答案】(1)(2)【解析】(1)由條件知yx過(guò)點(diǎn)(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.(2)由雙曲線的方程可知：漸近線方程為y±x.經(jīng)過(guò)P的直線y2xm (m0)與雙曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，此直線與漸近線yx平行，2.e .【思維升華】圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握各性質(zhì)的定義，及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系.掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運(yùn)算能力.【跟蹤訓(xùn)練2】(20xx·北京)已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y2上，且OAOB，試判斷直線AB與圓x2y22的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【解析】故d .此時(shí)直線AB與圓x2y22相切.綜上，直線AB與圓x2y22相切. 題型三最值問(wèn)題例3設(shè)橢圓M：1 (a>b>0)的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F傾斜角為的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓M的方程；(2)求證：AB；(3)設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求ABCD的最小值. (3)解過(guò)右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，同理可得CD，所以ABCD.因?yàn)閟in 20,1，所以當(dāng)且僅當(dāng)sin 21時(shí)，ABCD有最小值是8.【思維升華】圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過(guò)建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值.【跟蹤訓(xùn)練3】(20xx·課標(biāo)全國(guó))已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0，6).當(dāng)APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為_(kāi).【答案】12【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為F1，PFPF12a2，PF2PF1，APF的周長(zhǎng)為AFAPPFAFAP2PF1，APF周長(zhǎng)最小即為APPF1最小，當(dāng)A、P、F1三點(diǎn)共線時(shí)最小，過(guò)AF1的直線方程為1.與x21聯(lián)立，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，此時(shí)SSAF1FSF1PF12.題型四定值、定點(diǎn)問(wèn)題例4(20xx·課標(biāo)全國(guó) )已知橢圓C：9x2y2m2(m0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由.【解析】【思維升華】求定點(diǎn)及定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.【跟蹤訓(xùn)練4】橢圓C：1(a>b>0)的離心率e ，ab3.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，A、B、D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2mk為定值.【解析】題型五探索性問(wèn)題例5(20xx·廣東)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】 (3)由題意知直線L表示過(guò)定點(diǎn)(4,0)，斜率為k的直線，把直線L的方程代入軌跡C的方程x23xy20，其中<x3，化簡(jiǎn)得(k21)x2(38k2)x16k20，其中<x3，記f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中<x3.若直線L與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，令f(x)0.當(dāng)0時(shí)，解得k2，即k±，此時(shí)方程可化為25x2120x1440，即(5x12)20，解得x，k±滿足條件.當(dāng)>0時(shí)，【思維升華】(1)探索性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法.【跟蹤訓(xùn)練5】 (20xx·湖南)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C1：1(a1>0，b1>0)和橢圓C2：1(a2>b2>0)均過(guò)點(diǎn)P(，1)，且以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直線l，使得l與C1交于A，B兩點(diǎn)，與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，且|？證明你的結(jié)論. 【解析】(1)設(shè)C2的焦距為2c2，由題意知，2c22,2a12.從而a11，c21.因?yàn)辄c(diǎn)P(，1)在雙曲線x21上，所以()21.故b3.由橢圓的定義知2a2 2.于是a2，bac2.故C1，C2的方程分別為x21，1.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x24kmx2m260.因?yàn)橹本€l與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以上述方程的判別式16k2m28(2k23)(m23)0.化簡(jiǎn)，得2k2m23，因此·x1x2y1y20，于是222·222·，即|2|2，故|.綜合可知，不存在符合題設(shè)條件的直線. 歡迎訪問(wèn)“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org