新編新課標高三數(shù)學一輪復習 第14篇 第2節(jié) 證明不等式的基本方法課時訓練 理

【導與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學一輪復習 第14篇 第2節(jié) 證明不等式的基本方法課時訓練 理【選題明細表】知識點、方法題號比較法證明不等式4、8、9綜合法與分析法證明不等式5、6、11反證法與放縮法證明不等式2、3、7基本不等式的應用1、7、8、10一、選擇題1.若n>0,則n+32n2的最小值為(C)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:根據(jù)算術幾何平均不等式可得n+32n2=n2+n2+32n23×312×12×32=6.2.若實數(shù)x,y適合不等式xy>1,x+y-2,則(A)(A)x>0,y>0(B)x<0,y<0(C)x>0,y<0(D)x<0,y>0解析:x,y異號時,顯然與xy>1矛盾,所以可排除C,D.假設x<0,y<0,則x<1y.所以x+y<y+1y-2與x+y-2矛盾,故假設不成立.又因為xy0,所以x>0,y>0.3.設x>0,y>0,A=x+y1+x+y,B=x1+x+y1+y,則A,B的大小關系是(B)(A)A=B(B)A<B(C)AB(D)A>B解析:通過對式子B進行放縮可得B=x1+x+y1+y>x1+x+y+y1+y+x=x+y1+x+y=A,即A<B.二、填空題4.若a>b>1,則a+1a與b+1b的大小關系是. 解析:a+1a-(b+1b)=a-b+b-aab=(a-b)(ab-1)ab.由a>b>1得ab>1,a-b>0,所以(a-b)(ab-1)ab>0.即a+1a>b+1b.答案:a+1a>b+1b5.若0<<<4,sin +cos =a,sin +cos =b,則a與b的大小關系是. 解析:a2=1+sin 2,b2=1+sin 2,又0<2<2<2,sin 2<sin 2,a2<b2,又a,b均大于0,a<b.答案:a<b6.已知函數(shù)f(x)=12x,a>0,b>0,ab,A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,則A、B、C中最大的為. 解析:a>0,b>0,ab,a+b2>ab>2aba+b,又函數(shù)f(x)=12x在R上單調(diào)遞減,fa+b2<f(ab)<f2aba+b.即A<B<C.答案:C7.已知a>b>c,nN*,且1a-b+1b-cna-c恒成立,則n的最大值為. 解析:a-c>0,na-ca-b+a-cb-c=(a-b)+(b-c)a-b+(a-b)+(b-c)b-c=2+b-ca-b+a-bb-c恒成立,a-b>0,b-c>0,b-ca-b+a-bb-c2b-ca-b·a-bb-c=2.n4.即n的最大值為4.答案:48.某品牌彩電廠家為了打開市場,促進銷售,準備對其生產(chǎn)的某種型號的彩電降價銷售,現(xiàn)有四種降價方案:(1)先降價a%,再降價b%;(2)先降價b%,再降價a%;(3)先降價a+b2%,再降價a+b2%;(4)一次性降價(a+b)%.其中a>0,b>0,ab,上述四個方案中,降價幅度最小的是. 解析:設降價前彩電的價格為1,降價后彩電價格依次為x1、x2、x3、x4.則x1=(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%·b%x2=(1-b%)(1-a%)=x1,x3=(1-a+b2%)(1-a+b2%)=1-(a+b)%+14(a+b)%2,x4=1-(a+b)%<1-(a+b)%+a%·b%=x1=x2,x3-x1=(a%+b%2)2-a%·b%>0,x3>x1=x2>x4.答案:方案(3)三、解答題9.設a>b>0,求證:a2-b2a2+b2>a-ba+b.證明:法一a2-b2a2+b2-a-ba+b=a3-b3-ab2+a2b-a3+b3+a2b-ab2(a2+b2)(a+b)=2a2b-2ab2(a2+b2)(a+b)=2ab(a-b)(a2+b2)(a+b),a>b>0,a-b>0,ab>0,a2+b2>0,a+b>0.a2-b2a2+b2-a-ba+b>0,a2-b2a2+b2>a-ba+b.法二a>b>0,a+b>0,a-b>0.a2-b2a2+b2a-ba+b=a2-b2a2+b2·a+ba-b=(a+b)2a2+b2=a2+b2+2aba2+b2=1+2aba2+b2>1.a2-b2a2+b2>a-ba+b.10.(20xx高考新課標全國卷)若a>0,b>0,且1a+1b=ab.(1) 求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.解:(1)由ab=1a+1b2ab,得ab2,且當a=b=2時等號成立.故a3+b32a3b342,且當a=b=2時等號成立.所以a3+b3的最小值為42.(2)不存在滿足題意的a,b,理由:由(1)知,2a+3b26ab43.由于43>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.(20xx高考新課標全國卷) 設函數(shù)f(x)=x+1a+|x-a|(a>0).(1)證明:f(x)2;(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.(1)證明:由a>0,有f(x)= x+1a+|x-a|x+1a-(x-a) =1a+a2,所以f(x)2.(2)解:f(3)= 3+1a+|3-a|.當a>3時,f(3)=a+1a,由f(3)<5得3<a<5+212.當0<a3時,f(3)=6-a+1a,由f(3)<5得1+52<a3.綜上,a的取值范圍是(1+52,5+212).