新編高考數(shù)學浙江專用總復習教師用書：第2章 第6講　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) Word版含解析

第第 6 講講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)最新考綱1.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算，會用換底公式；2.理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應用.知 識 梳 理1.對數(shù)的概念如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 為底 N 的對數(shù)，記作 xlogaN，其中 a 叫做對數(shù)的底數(shù)，N 叫做真數(shù).2.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：alogaNN；logaabb(a0，且 a1).(2)對數(shù)的運算法則如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnnmlogaM(m，nR，且 m0).(3)對數(shù)的重要公式換底公式：logbNlogaNlogab(a，b 均大于零且不等于 1)；logab1logba，推廣 logablogbclogcdlogad.3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù) ylogax(a0，且 a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域是(0，).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a1 時，y0；當 0 x1 時，y1 時，y0；當 0 x0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)與對數(shù)函數(shù) ylogax(a0，且 a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線 yx 對稱.診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)log2x22log2x.()(2)函數(shù) ylog2(x1)是對數(shù)函數(shù)()(3)函數(shù) yln1x1x與 yln(1x)ln(1x)的定義域相同.()(4)當 x1 時，若 logaxlogbx，則 a0，且 a1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A.a1，c1B.a1，0c1C.0a1D.0a1，0c1解析由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以 0a0，即 logac0，所以 0cbcB.acbC.cbaD.cab解析0a1，b1.cab.答案D4.(20 xx湖州調(diào)研)已知 a0 且 a1， 若 a32278， 則 a_； log32a_.解析a0 且 a1，由 a32278得 a2782332294；log32alog32942.答案9425.(20 xx浙江卷)計算：log222_；2log23log43_.解析log222log22log2212112；2log23log432log232log4332log4332log233 3.答案123 36.若 loga340，且 a1)，則實數(shù) a 的取值范圍是_.解析當 0a1 時，loga34logaa1，解得 0a1 時，loga341.答案0，34 (1，)考點一對數(shù)的運算【例 1】 (1)設 2a5bm，且1a1b2，則 m 等于()A. 10B.10C.20D.100(2)計算：lg14lg 2510012_.解析(1)由已知，得 alog2m，blog5m，則1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102.解得 m 10.(2)原式(lg 22lg 52)10012lg1225210lg 1021021020.答案(1)A(2)20規(guī)律方法(1)在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并.(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.(3)abNblogaN(a0，且 a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應注意互化.【訓練 1】(1)(20 xx北京東城區(qū)綜合練習)已知函數(shù) f(x)2x，x4，f（x1） ，x4，則 f(2log23)的值為()A.24B.16C.12D.8(2)(20 xx安徽卷)lg522lg 2121_.解析(1)因為 32log230，且 a1)的值域為y|y1，則函數(shù) yloga|x|的圖象大致是()(2)(20 xx金華調(diào)研)已知函數(shù) f(x)log2x，x0，3x，x0，且關(guān)于 x 的方程 f(x)xa0有且只有一個實根，則實數(shù) a 的取值范圍是_.解析(1)由于 ya|x|的值域為y|y1，a1，則 ylogax 在(0，)上是增函數(shù)，又函數(shù) yloga|x|的圖象關(guān)于 y 軸對稱.因此 yloga|x|的圖象應大致為選項 B.(2)如圖， 在同一坐標系中分別作出 yf(x)與 yxa 的圖象，其中 a 表示直線在 y 軸上截距.由圖可知，當 a1 時，直線 yxa 與 ylog2x 只有一個交點.答案(1)B(2)a1規(guī)律方法(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【訓練 2】 (1)函數(shù) y2log4(1x)的圖象大致是()(2)當 0 x12時，4xlogax，則 a 的取值范圍是()A.0，22B.22，1C.(1， 2)D.( 2，2)解析(1)函數(shù) y2log4(1x)的定義域為(，1)，排除 A、B；又函數(shù) y2log4(1x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除 D.(2)由題意得，當 0a1 時，要使得 4xlogax0 x12 ，即當0 x12時，函數(shù) y4x的圖象在函數(shù) ylogax 圖象的下方.又當 x12時，4122，即函數(shù) y4x的圖象過點12，2.把點12，2代入 ylogax，得 a22.若函數(shù) y4x的圖象在函數(shù) ylogax 圖象的下方，則需22a1 時，不符合題意，舍去.所以實數(shù) a 的取值范圍是22，1.答案(1)C(2)B考點三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用(多維探究)命題角度一比較對數(shù)值的大小【例 31】 (20 xx全國卷)若 ab0，0c1，則()A.logaclogbcB.logcalogcbC.accb解析由 yxc與 ycx的單調(diào)性知，C、D 不正確.ylogcx 是減函數(shù)，得 logcalogcb，B 正確.logaclg clg a，logbclg clg b，0c1，lg c0.而 ab0，lg alg b，但不能確定 lg a，lg b 的正負，logac 與 logbc 的大小不能確定.答案B命題角度二解對數(shù)不等式【例 32】 若 loga(a21)loga2a0 且 a1，故必有 a212a，又 loga(a21)loga2a0，所以 0a1，a12.綜上，a12，1.答案C命題角度三對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)【例 33】 已知函數(shù) f(x)loga(3ax).(1)當 x0，2時，函數(shù) f(x)恒有意義，求實數(shù) a 的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù) a，使得函數(shù) f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為 1？如果存在，試求出 a 的值；如果不存在，請說明理由.解(1)a0 且 a1，設 t(x)3ax，則 t(x)3ax 為減函數(shù)，x0，2時，t(x)的最小值為 32a，當 x0，2時，f(x)恒有意義，即 x0，2時，3ax0 恒成立.32a0.a0 且 a1，a(0，1)1，32 .(2)t(x)3ax，a0，函數(shù) t(x)為減函數(shù).f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，ylogat 為增函數(shù)，a1，x1，2時，t(x)最小值為 32a，f(x)最大值為 f(1)loga(3a)，32a0，loga（3a）1，即acbB.bcaC.cbaD.cab(2)已知函數(shù) f(x)loga(8ax)(a0，且 a1)，若 f(x)1 在區(qū)間1，2上恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是_.解析(1)alog32log331，blog52log221，所以，c 最大.由 1log231log25，即 ab，所以 cab.(2)當 a1 時，f(x)loga(8ax)在1，2上是減函數(shù)，由 f(x)1 在區(qū)間1，2上恒成立，則 f(x)minloga(82a)1，解之得 1a83.若 0a1 在區(qū)間1，2上恒成立，則 f(x)minloga(8a)1，且 82a0.a4，且 a1 且 b1 或 0a1 且 0b0；當 a1 且 0b1 或 0a1 時，logab0.2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決.3.比較冪、 對數(shù)大小有兩種常用方法： (1)數(shù)形結(jié)合； (2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.4.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線 y1 交點的橫坐標進行判定.易錯防范1.在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于 0 的，所以對數(shù)函數(shù) ylogax 的定義域應為(0，).對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù) a 與 1 的大小關(guān)系，當?shù)讛?shù) a 與 1 的大小關(guān)系不確定時，要分 0a1 兩種情況討論.2.在運算性質(zhì) logaMlogaM 中，要特別注意條件，在無 M0 的條件下應為logaMloga|M|(N*，且為偶數(shù)).3.解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.基礎鞏固題組(建議用時：40 分鐘)一、選擇題1.(20 xx四川卷)設 a，b 為正實數(shù)，則“ab1”是“l(fā)og2alog2b0”的()A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件解 析因 為 y log2x 在 (0 ， ) 上 單 調(diào) 遞 增 ， 所 以 當 ab1 時 ， 有l(wèi)og2alog2blog210；當 log2alog2b0log21 時，有 ab1.答案A2.(20 xx石家莊模擬)已知 alog23log23，blog29log23，clog32，則 a，b，c 的大小關(guān)系是()A.abcC.abbc解析因為 alog23log23log23 332log231， blog29log23log23 3a，clog320， 且 a1)的圖象如圖所示， 則下列函數(shù)圖象正確的是()解析由題意 ylogax(a0，且 a1)的圖象過(3，1)點，可解得 a3.選項 A 中，y3x13x，顯然圖象錯誤；選項 B 中，yx3，由冪函數(shù)圖象可知正確；選項C 中，y(x)3x3，顯然與所畫圖象不符；選項 D 中，ylog3(x)的圖象與ylog3x 的圖象關(guān)于 y 軸對稱，顯然不符.故選 B.答案B4.已知函數(shù) f(x)log2x，x0，3x1，x0，則 f(f(1)flog312 的值是()A.5B.3C.1D.72解析由題意可知 f(1)log210，f(f(1)f(0)3012，flog312 3log31213log321213，所以 f(f(1)flog312 5.答案A5.(20 xx浙江卷)已知 a，b0 且 a1，b1，若 logab1，則()A.(a1)(b1)0C.(b1)(ba)0解析a0，b0 且 a1，b1.由 logab1 得 logaba0.a1，且ba1 或 0a1 且 0baa1 或 0ba0.答案D二、填空題6.設 f(x)log21xa是奇函數(shù)，則使 f(x)0 的 x 的取值范圍是_.解析由 f(x)是奇函數(shù)可得 a1，f(x)lg1x1x，定義域為(1，1).由 f(x)0，可得 01x1x1，1x2(a0，且 a1)的值域是4，)，則實數(shù) a 的取值范圍是_.解析當 x2 時， f(x)4； 又函數(shù) f(x)的值域為4， )， 所以a1，3loga24，解1a2，所以實數(shù) a 的取值范圍為(1，2.答案(1，2三、解答題9.設 f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且 f(1)2.(1)求 a 的值及 f(x)的定義域；(2)求 f(x)在區(qū)間0，32 上的最大值.解(1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2.由1x0，3x0，得1x3，函數(shù) f(x)的定義域為(1，3).(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，當 x(1，1時，f(x)是增函數(shù)；當 x(1，3)時，f(x)是減函數(shù)，故函數(shù) f(x)在0，32 上的最大值是 f(1)log242.10.(20 xx衡陽月考)已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且 f(0)0，當 x0 時，f(x)log12x.(1)求函數(shù) f(x)的解析式；(2)解不等式 f(x21)2.解(1)當 x0，則 f(x)log12(x).因為函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，所以 f(x)f(x)log12(x)，所以函數(shù) f(x)的解析式為f(x)log12x，x0，0，x0，log12（x） ，x2 轉(zhuǎn)化為 f(|x21|)f(4).又因為函數(shù) f(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以|x21|4，解得 5x 5，即不等式的解集為( 5， 5).能力提升題組(建議用時：25 分鐘)11.(20 xx長沙質(zhì)檢)設 f(x)ln x，0ab，若 pf( ab)，qfab2，r12(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()A.qrpB.prpD.prq解析0a ab，又f(x)ln x 在(0，)上為增函數(shù)，fab2f( ab)，即 qp.又 r12(f(a)f(b)12(ln aln b)ln abp，故 prb1，若 logablogba52，abba，則 a_，b_.解析logablogbalogab1logab52，logab2 或12.ab1，logab0，且 a1)的最大值是 1，最小值是18，求 a 的值.解由題意知 f(x)12(logax1)(logax2)12(log2ax3logax2)12logax32218.當 f(x)取最小值18時，logax32.又x2，8，a(0，1).f(x)是關(guān)于 logax 的二次函數(shù)，函數(shù) f(x)的最大值必在 x2 或 x8 時取得.若12loga2322181，則 a213，此時 f(x)取得最小值時，x(213)32 22，8，舍去.若12loga8322181，則 a12，此時 f(x)取得最小值時，x12322 22，8，符合題意，a12.15.已知函數(shù) f(x)lg1x1ax(a1)是奇函數(shù).(1)求 a 的值；(2)若 g(x)f(x)212x，x(1，1)，求 g12 g12 的值.解(1)因為 f(x)為奇函數(shù)，所以對定義域內(nèi)任意 x，都有 f(x)f(x)0，即 lg1x1axlg1x1axlg1x21a2x20，a1，由條件知 a1，所以 a1.(2)因為 f(x)為奇函數(shù)，所以 f12 f12 0.令 h(x)212x，則 h12 h12 21 221122，所以 g12 g12 2.