2019-2020年蘇教版必修5高中數(shù)學3.3.3《簡單的線性規(guī)劃問題》word教學設計2.doc

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2019-2020年蘇教版必修5高中數(shù)學3.3.3《簡單的線性規(guī)劃問題》word教學設計2 教學目標： 一、知識與技能　　 1．能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，從實際情景中抽象解決一些簡單的線性規(guī)劃應用問題的基本思路和主要方法； 2. 在應用中培養(yǎng)分析能力、判斷能力、作圖能力、計算能力； 3. 通過對線性規(guī)劃方法的實際應用，進一步加深對線性規(guī)劃有關(guān)知識的理解； 4. 正確進行多種數(shù)學語言的轉(zhuǎn)譯，增強學生應用數(shù)學的意識． 二、過程與方法 經(jīng)歷從實際情境中抽象出不等式模型的過程，培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力以及 數(shù)學應用意識． 三、情感、態(tài)度與價值觀 1. 通過具體情景，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，體會不等式對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值； 2. 體會線性規(guī)劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題； 3. 通過實例，體驗數(shù)學與日常生活的聯(lián)系，感受數(shù)學的實用價值，增強應用意識，提高實踐能力，培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際的觀點． 教學重點：　　 線性規(guī)劃問題的圖解法，即根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)，并利用圖解法求得最優(yōu)解的主要步驟和基本思路； 教學難點： 把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即如何根據(jù)實際問題的條件，轉(zhuǎn)化為線性約束條件；如何把實際問題中要的結(jié)果轉(zhuǎn)化為線性目標函數(shù)；如何根據(jù)實際問題的要求確定最優(yōu)解． 教學方法： 應用多媒體輔助教學，增強動感和直觀性，增大教學容量，提高教學效果和教學質(zhì)量． 采取先師生共同分析、探究解決一兩個范例，給學生提供良好有效的解決問題的思路方法以及完整規(guī)范的解題格式和程序，再讓學生進行模仿練習，在模仿中加深對求解線性規(guī)劃應用題的思路方法的理解和掌握，逐步提高分析問題、解決問題的能力． 教學過程： 一、 問題情景 1. 提高企業(yè)的經(jīng)濟效益是現(xiàn)代化管理的根本任務，各個領(lǐng)域中的大量問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題，根據(jù)美國《財富》雜志對全美前500家大公司的調(diào)查表明，有的公司頻繁地使用線性規(guī)劃，并取得了提高經(jīng)濟效益的顯著效果．在實際生活中，我們也經(jīng)常遇到需要合理安排資源，以得到最大效益的問題，如：（多媒體顯示）． 某校辦工廠有方木料，五合板600，正準備為外校新生加工新桌椅和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料，五合板2，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料，五合板1，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一張書櫥可獲利潤120元． （1）假設你是工廠的生產(chǎn)科長，請你按要求設計出工廠的生產(chǎn)方案． （2）設生產(chǎn)書桌張，書櫥張，利潤元，寫出x，y應滿足的條件以及與x，y之間的函數(shù)關(guān)系式． （3）如果你是廠長，為使工廠原料充分利用，問怎么安排能夠使資源最大限度的利用，且可獲得最大利潤？ 二、學生活動 1. 讓學生思考上面的問題，探究解決這一問題的方案． 生甲：若只生產(chǎn)書桌，用完五合板，可生產(chǎn)書桌300張，可獲得利潤80300＝24000元，但方木料沒有用完． 生乙：若只生產(chǎn)書櫥，用完方木料，可生產(chǎn)450張書櫥，可獲得利潤120450＝54000元，但五合板沒有用完． 師：在上面兩種情況下，原料都沒有充分利用，造成了資源浪費，那么該怎么安排能夠使資源最大限度的利用，且可獲得最大利潤？ 生丙：設生產(chǎn)書桌張，書櫥張，利潤元，利用線性規(guī)劃． 0.1x+0.2y=90 y 2x+y=600 O x A（100,400） 師：應滿足什么約束條件呢？目標函數(shù)是什么？ 生丙：約束條件為目標函數(shù)為，這個問題轉(zhuǎn)化為求目標函數(shù)的最大值問題． 師：能用前面學過的知識解決這一問題嗎？ 生?。鹤鞒隹尚杏?，作出一組平行直線， 當直線經(jīng)過點時，直線的縱截距最大， 即合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)書桌100張，書櫥400張， 有最大利潤為元． 師：解決本題的關(guān)鍵在哪兒？ 生：根據(jù)題意，找出線性約束條件和線性目標函數(shù)，利用線性規(guī)劃圖解法求解． 師：哪些應用題可以用線性規(guī)劃來處理？ 生：（討論，再次觀察例題，總結(jié)，教師補充）一是人力、物力、財力等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務．（即“少投入，多產(chǎn)出”） 三、建構(gòu)數(shù)學 1. 線性規(guī)劃問題的求解步驟： （1）審：審題（將題目中數(shù)據(jù)列表），將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題； （2）設：設出變量，確定約束條件，建立目標函數(shù)； （3）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域，作出目標函數(shù)線； （4）移：在線性目標函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線； （5）求：通過解方程組求出最優(yōu)解； （6）答：回答實際問題． 2. 對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點，因此，確定其最優(yōu)解，往往只需考慮在各個頂點的情形，通過比較，即可得最優(yōu)解． 四、數(shù)學運用 1. 例題. 例1　某工廠用A，B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品可獲利潤2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品可獲利潤3萬元，則如何安排日生產(chǎn)，可使工廠所獲利潤最大？ 解　設甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x，y件，工廠所獲利潤z萬元， y x O x+2y-8=0 2 4 y=3 2 4 6 8 x=4 約束條件為，目標函數(shù)是． 作出可行域（如圖所示），可行域內(nèi)的每一個整點就代表所有可能的日生產(chǎn)安排． 將目標函數(shù)變形為，這是斜率為， 在y軸上的截距為，隨著變化的直線族．當最大時，z最大，但直線要與可行域相交．當直線經(jīng)過兩條直線的交點時，直線在y軸上的截距最大，最大值為，因此，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件、乙產(chǎn)品2件時，工廠可得最大利潤14萬元． 例2　投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)一百噸需要資金200萬元，需場地200 m，可獲利潤300萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)一百米需要資金300萬元，需場地100m，可獲利潤200萬元．現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900 m，問　應作怎樣的組合投資，可獲利最大？ 分析： 資金（百萬元） 場地（百平方米） 利潤（百萬元） A產(chǎn)品（百噸） 2 2 3 B產(chǎn)品（百米） 3 1 2 限制 14 9 解　設生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品y百米， 利潤為S百萬元，則約束條件為： 目標函數(shù)為， 作出可行域（如圖所示），將目標函數(shù)變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為，隨著變化的直線族．當最大時，S最大，但直線要與可行域相交．當直線經(jīng)過兩條直線的交點時，直線在y軸上的截距最大，此時,因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品325t，生產(chǎn)B產(chǎn)品250m時，獲利最大，且最大利潤為1475萬元． 例3　營養(yǎng)學家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費21元．為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B多少千克？ 食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白質(zhì)/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B 0.105 0.14 0.07 分析　 解　設每天食用x kg食物A，y kg食物B，總成本為z元，則線性約束條件為： O y x 1 M 28x＋21y＝0 14＋7y＝6 7x＋7y＝5 7x＋14y＝6 ①， 目標函數(shù)為： 不等式①等價于 ②， 作出可行域如圖： 考慮可變形為，這是斜率為、隨z變化的一組平行直線，是直線在y軸上的截距，當取最小值時，z的值最小，且直線要與可行域相交，由上圖可見，當直線經(jīng)過可行域上的點M時，截距最小，即z最?。? 解方程組，得M的坐標為，所以． 由此可知，每天食用A食物143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為16元． 2.練習． （1）某工廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3千元、2千元．甲、乙產(chǎn)品都需要在A，B兩種設備上加工，在每臺A，B上加工一件甲所需工時分別為1小時、2小時，加工一件乙所需工時分別為2小時、1小時，A，B兩種設備每月有效使用臺數(shù)分別為400小時/臺和500小時/臺．如何安排生產(chǎn)可使收入最大？ 解　設甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x，y件， A（200,100） y 2x+y=500 x O x+2y=400 約束條件為， 目標函數(shù)是． 作出可行域（如圖所示） 將目標函數(shù)變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為，隨著變化的直線族．當最大時，z最大，但直線要與可行域相交．當直線經(jīng)過兩條直線的交點時，直線在y軸上的截距最大，最大值為800千元，因此，甲、乙兩種產(chǎn)品的每月產(chǎn)量分別為200,100件時，工廠可得最大收入800千元． （2）某人準備投資1200萬元興辦一所完全中學，對教育市場進行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格（以班級為單位）： 學段 班級學生數(shù) 配備教師數(shù) 硬件建設（萬元） 教師年薪（萬元） 初中 45 2 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 若根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，初中每人每年可收取學費1600元，高中每人每年可收取學費2700元．因生源和環(huán)境等條件限制，辦學規(guī)模以20至30個班為宜（含20個與30個），那么開設初中班和高中班各多少個，每年收取的學費總額最多？ 解　設開設初中班x個，高中班y個，收取學費的總額為z萬元． 滿足的約束條件為，目標函數(shù)為， 可行域如圖，把，得到斜率為，在y軸上的截距為，隨著變化的直線族． O x 20 30 40 y 20 30 10 M 10 x＋y＝20 x＋y＝30 x＋2y＝40 7.2x＋10.8y＝0 當最大時，z最大，但直線要與可行域相交．當直線經(jīng)過可行域上的點M時，直線在y軸上的截距最大，z最大． 解方程組 所以． 由此可知，開設20個初中班和10個高中班，收取的學費最多，為252萬元． 五、要點歸納與方法小結(jié)： 本節(jié)課學習了以下內(nèi)容： 1. 線性規(guī)劃問題的求解步驟： （1）審：審題（將題目中數(shù)據(jù)列表），將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題； （2）設：設出變量，確定約束條件，建立目標函數(shù)； （3）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域，作出目標函數(shù)線； （4）移：在線性目標函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線； （5）求：通過解方程組求出最優(yōu)解； （6）答：回答實際問題． 2. 對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點，因此，確定其最優(yōu)解，往往只需考慮在各個頂點的情形，通過比較，即可得最優(yōu)解． 3. 本節(jié)課學習的數(shù)學思想：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想．