2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題05 二次函數(shù)與冪函數(shù) 理.doc

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專題05 二次函數(shù)與冪函數(shù) 一、 考綱要求: 1. (1)了解冪函數(shù)的概念； (2)結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12，y＝的圖象，了解它們的變化情況. 2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題． 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 1.冪函數(shù)的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式. 2.若冪函數(shù)y＝xα(α∈R)是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù).當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般先將其化為根式，再判斷. 3.若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α＞0，若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α＜0. 4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，選法如下： 5.二次函數(shù)的最值問題的類型及求解方法 ( 1))類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動. (2))求解方法：抓住“三點(diǎn)一軸”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，具體方法是利用配方法、函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解. 6.二次函數(shù)中恒成立問題的求解思路 由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其依據(jù)是a≥f(x) )?a≥fxmax，a≤f(x)?a≤fxmin 二、 高考考題題例分析： 例1(2016全國卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，則(　　) A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b A解析： a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5. ∵y＝x在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，又5＞4＞3， ∴c＞a＞b.] 例2.【2015高考浙江，理18】已知函數(shù)，記是 在區(qū)間上的最大值. （1） 證明：當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)，滿足，求的最大值. 【答案】（1）詳見解析；（2）. 詳細(xì)解析：（1）由，得對稱軸為直線，由，得 ，故在上單調(diào)，∴，當(dāng)時(shí)，由 ，得，即，當(dāng)時(shí)，由 ，得，即，綜上，當(dāng)時(shí)， ； （2）由得，，故，，由，得，當(dāng)，時(shí)，，且在上的最大值為，即，∴的最大值為.. 【考點(diǎn)定位】1.二次函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想. 邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注。 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí)題 （時(shí)間90分鐘，滿分100分） 一、選擇題（每題5分，共60分） 1．y＝x2，y＝，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝(x－1)2，y＝x，y＝ax(a＞1)，上述函數(shù)是冪函數(shù)的有(　　) A．0個(gè)　　 B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) C　解析：只有y＝x2，y＝x是冪函數(shù)，故選C． 2．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是(　　) A． B． C． D． C　解析：由題意知即得a＞. 3．函數(shù)y＝的圖象大致是(　　) 4.函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是(　　) A．－1 B．2 C．3 D．－1或2 B解析：由題知解得m＝2.故選B. 5．函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5，當(dāng)x∈[－2，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，－2]時(shí)，f(x)是減函數(shù)，則f(1)的值為(　　) A．1　　　　　　 B．25 C．17 D．-7 B　解析：函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5圖象的對稱軸為直線x＝m8，由函數(shù)f(x)的增減區(qū)間可知m8＝－2，∴m＝－16，即f(x)＝4x2＋16x＋5，∴f(1)＝4＋16＋5＝25. 6．已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，則(　　) A．a(chǎn)＞0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)＜0,4a＋b＝0 C．a(chǎn)＞0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)＜0,2a＋b＝0 7．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，則它的圖象可能是(　　) D解析：由a＋b＋c＝0，a＞b＞c知a＞0，c＜0，則＜0， ∴函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為負(fù)數(shù)，即兩個(gè)交點(diǎn)分別位于x軸的正半軸和負(fù)半軸，故排除B，C.又f(0)＝c＜0，∴也排除A. 8．若函數(shù)f(x)＝x2+mx+m在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，則實(shí)數(shù)m等于(　　) A．－1　　 B．1 C．2　 D．－2 A　解析∵函數(shù)f(x)＝x2+mx+m的圖象為開口向上的拋物線， ∴函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得． ∵f(0)＝m,f(2)＝4+3m， ∴m≥4+3m,m=1,或m＜4+3m,4+3m=1,?m=-1 9.設(shè)abc＞0，則二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　) D　解析：由A，C，D知，f(0)＝c＜0. ∵abc＞0，∴ab＜0，∴對稱軸x＝－＞0，知A，C錯誤，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B錯誤． 10.若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4，則a的取值集合為(　　) A．[－3,3] B．[－1,3] C．{－3,3} D．{－1，－3,3} 11．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x是冪函數(shù)，對任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，則f(a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0　　　　　 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷 A　解析：∵f(x)＝(m2－m－1)x是冪函數(shù)， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 當(dāng)m＝2時(shí)，指數(shù)429－25－1＝2 015＞0，滿足題意． 當(dāng)m＝－1時(shí)，指數(shù)4(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不滿足題意， ∴f(x)＝x2 015. ∴冪函數(shù)f(x)＝x2 015是定義域R上的奇函數(shù)，且是增函數(shù)． 又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b， 又ab＜0，不妨設(shè)b＜0， 則a＞－b＞0，∴f(a)＞f(－b)＞0， 又f(－b)＝－f(b)， ∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故選A. 12．已知函數(shù)f(x)＝x2－πx，α，β，γ∈(0，π)，且sin α＝，tan β＝，cos γ＝－，則(　　) A．f(α)＞f(β)＞f(γ) B．f(α)＞f(γ)＞f(β) C．f(β)＞f(α)＞f(γ) D．f(β)＞f(γ)＞f(α) 二、填空題（每題5分，共20分） 13．已知點(diǎn)(，2)在冪函數(shù)y＝f(x)的圖象上，點(diǎn)在冪函數(shù)y＝g(x)的圖象上，若f(x)＝g(x)，則x＝________. 1　解析：由題意，設(shè)f(x)＝xα，則2＝()α，得α＝2，設(shè)g(x)＝xβ，則＝(－)β，得β＝－2.由f(x)＝g(x)，得x2＝x－2，解得x＝1. 14．已知二次函數(shù)y＝x2＋2kx＋3－2k，則其圖象的頂點(diǎn)位置最高時(shí)對應(yīng)的解析式為________． y＝x2－2x＋5 解析：y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－k，－k2－2k＋3)． 因?yàn)椋璳2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以當(dāng)k＝－1時(shí)，頂點(diǎn)位置最高．此時(shí)拋物線的解析式為y＝x2－2x＋5. 15．已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝(x－1)2，若當(dāng)x∈時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為________． 1　解析：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2. ∵x∈， ∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1， ∴m≥1，n≤0，m－n≥1，∴m－n的最小值是1. 16．已知函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間上為增函數(shù)，那么f(2)的取值范圍是________. [7，＋∞) 解析：函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間上為增函數(shù)，由于其圖象(拋物線)開口向上，所以其對稱軸為x＝或與直線x＝重合或位于直線x＝的左側(cè)，即應(yīng)有≤，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)2＋5≥7，即f(2)≥7. 三、解答題（每題10分，共20分） 17．已知冪函數(shù)f(x)＝x (m∈N*)經(jīng)過點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)＞f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍. 18．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間； (2)在(1)的條件下，f(x)＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的取值范圍． 解析：(1)由題意知 解得 所以f(x)＝x2＋2x＋1， 由f(x)＝(x＋1)2知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1]． (2)由題意知，x2＋2x＋1＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在區(qū)間[－3，－1]上恒成立， 令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]， 由g(x)＝2＋知g(x)在區(qū)間[－3，－1]上是減函數(shù)，則g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1， 即k的取值范圍是(－∞，1)．