2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修四教案：1-1-2 弧度制.doc

2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修四教案：1-1-2 弧度制項目內(nèi)容課題（共 1 課時）修改與創(chuàng)新教學(xué)目標(biāo)1.通過類比長度、重量的不同度量制,使學(xué)生體會一個量可以用不同的單位制來度量,從而引出弧度制. 2.通過探究使學(xué)生認(rèn)識到角度制和弧度制都是度量角的制度,通過總結(jié)引入弧度制的好處,學(xué)會歸納整理并認(rèn)識到任何新知識的學(xué)習(xí),都會為解決實際問題帶來方便,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)重、難點教學(xué)重點:理解弧度制的意義,并能進行角度和弧度的換算.教學(xué)難點:弧度的概念及其與角度的關(guān)系.教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過程導(dǎo)入新課 利用古代度量時間的一種儀器日晷,或者利用普遍使用的鐘表.實際上我們使用的鐘表是用時針、分針和秒針角度的變化來確定時間的.無論采用哪一種方法,度量一個確定的量所得到的量數(shù)必須是唯一確定的.在初中,已學(xué)過利用角度來度量角的大小,現(xiàn)在來學(xué)習(xí)角的另一種度量方法弧度制.要使學(xué)生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含義,并能進行弧度與角度換算的關(guān)鍵. 在引入弧度制后,可以引導(dǎo)學(xué)生建立弧與圓心角的聯(lián)系弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù).隨著角的概念的推廣,圓心角和弧的概念也隨之推廣:從“形”上說,圓心角有正角、零角、負角,相應(yīng)的,弧也就有正弧、零弧、負弧;從“數(shù)”上講,圓心角與弧的度數(shù)有正數(shù)、負數(shù).圓心角和弧的正負實際上表示了“角的不同方向”,就像三角函數(shù)值的正負可以用三角函數(shù)線(有向線段)的方向來表示一樣.每一個圓心角都有一條弧與它對應(yīng),并且不同的圓心角對應(yīng)著不同的弧,反之亦然.提出問題 問題:在初中幾何里,我們學(xué)習(xí)過角的度量,1的角是怎樣定義的呢? 問題:我們從度量長度和重量上知道,不同的單位制能給我們解決問題帶來方便.那么角的度量是否也能用不同單位制呢?圖1 活動:教師先讓學(xué)生思考或討論問題,并讓學(xué)生回憶初中有關(guān)角度的知識,提出這是認(rèn)識弧度制的關(guān)鍵,為更好地理解角度弧度的關(guān)系奠定基礎(chǔ).討論后教師提問學(xué)生,并對回答好的學(xué)生及時表揚,對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的關(guān)鍵.教師板書弧度制的定義:規(guī)定長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.以弧度為單位來度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度記作1 rad.如圖1中,的長等于半徑r,AB所對的圓心角AOB就是1弧度的角,即=1. 討論結(jié)果:1的角可以理解為將圓周角分成360等份,每一等份的弧所對的圓心角就是1.它是一個定值,與所取圓的半徑大小無關(guān).能,用弧度制.提出問題 問題:作半徑不等的甲、乙兩圓,在每個圓上作出等于其半徑的弧長,連結(jié)圓心與弧的兩個端點,得到兩個角,將乙圖移到甲圖上,兩個角有什么樣的關(guān)系? 問題:如果一個半徑為r的圓的圓心角所對的弧長是l,那么的弧度數(shù)是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們之間如何換算? 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會總結(jié)和歸納角度制和弧度制的關(guān)系,提問學(xué)生歸納的情況,讓學(xué)生找出區(qū)別和聯(lián)系.教師給予補充和提示,對表現(xiàn)好的學(xué)生進行表揚,對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示和鼓勵.引入弧度之后,應(yīng)與角度進行對比,使學(xué)生明確:第一,弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制,角度制是以“度”為單位來度量角的單位制;第二,1弧度是等于半徑長的弧所對的圓心角(或這條弧)的大小,而1的角是周角的;第三,無論是以“弧度”還是以 “度”為單位,角的大小都是一個與半徑大小無關(guān)的定值.教師要強調(diào)為了讓學(xué)生習(xí)慣使用弧度制,本教科書在后續(xù)的內(nèi)容中盡量采用弧度制.討論結(jié)果:完全重合,因為都是1弧度的角.=;將角度化為弧度:360=2 rad,1=rad0.017 45 rad,將弧度化為角度:2 rad=360,1 rad=()57.30=5718.弧度制與角度制的換算公式:設(shè)一個角的弧度數(shù)為 rad=(),n=n(rad).提出問題 問題:引入弧度之后,在平面直角坐標(biāo)系中,終邊相同的角應(yīng)該怎么用弧度來表示?扇形的面積與弧長公式用弧度怎么表示? 問題:填寫下列的表格,找出某種規(guī)律.的長OB旋轉(zhuǎn)的方向AOB的弧度數(shù)AOB的度數(shù)r逆時針方向2r逆時針方向R12r-2-0180360 活動:教師先給學(xué)生說明教科書上為什么設(shè)置這個“探究”?其意圖是先根據(jù)所給圖象對一些特殊角填表,然后概括出一般情況.教師讓學(xué)生互動起來,討論并總結(jié)出規(guī)律,提問學(xué)生的總結(jié)情況,讓學(xué)生板書,教師對做正確的學(xué)生給予表揚,對沒有總結(jié)完全的學(xué)生進行簡單的提示.檢查完畢后,教師做個總結(jié). 由上表可知,如果一個半徑為r的圓的圓心角所對的弧長是l,那么的弧度數(shù)的絕對值是這里,應(yīng)當(dāng)注意從數(shù)學(xué)思想的高度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“換算”問題,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們一定可以換算.推而廣之,同一個數(shù)學(xué)對象用不同方式表示時,它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系,認(rèn)識這種聯(lián)系性也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一. 教師給學(xué)生指出,角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系:每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng);反過來,每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角)與它對應(yīng).值得注意的是:今后在表示與角終邊相同的角時,有弧度制與角度制兩種單位制,要根據(jù)角的單位來決定另一項的單位,即兩項所用的單位制必須一致,絕對不能出現(xiàn)k360+或者2k+60一類的寫法.在弧度制中,與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可以寫成=+2k(kZ)的形式.如圖2為角的集合與實數(shù)集R之間的一一對應(yīng)關(guān)系.圖2討論結(jié)果:與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可以寫成=+2k(kZ)的形式.弧度制下關(guān)于扇形的公式為l=R,S=R2,S=lR.的長OB旋轉(zhuǎn)的方向AOB的弧度數(shù)AOB的度數(shù)r逆時針方向1802r逆時針方向2360R逆時針方向157.32r順時針方向-2-114.6r順時針方向-1800未旋轉(zhuǎn)00r逆時針方向1802r逆時針方向2360應(yīng)用示例例1 下列諸命題中,真命題是( )A.一弧度是一度的圓心角所對的弧B.一弧度是長度為半徑的弧C.一弧度是一度的弧與一度的角之和D.一弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角,它是角的一種度量單位 活動:本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下理解弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別,以達到熟練掌握定義.從實際教學(xué)上看,弧度制不難理解,學(xué)生結(jié)合角度制很容易記住.根據(jù)弧度制的定義:我們把長度等于半徑長的弧和所對的圓心角叫做一弧度的角.對照各項,可知D為真命題.答案:D點評:本題考查弧度制下角的度量單位:1弧度的概念.變式訓(xùn)練 下列四個命題中,不正確的一個是( ) A.半圓所對的圓心角是 rad B.周角的大小是2 C.1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑 D.長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度答案:D例2 將下列用弧度制表示的角化為2k+(kZ,0,2)的形式,并指出它們所在的象限:-;-20;-. 活動:本題的目的是讓學(xué)生理解什么是終邊相同的角,教師給予指導(dǎo)并討論歸納出一般規(guī)律.即終邊在x軸、y軸上的角的集合分別是:=k,kZ,=k,kZ.第一、二、三、四象限角的集合分別為:2k<<2k+,kZ,2k+<<2k+,kZ,2k+<<2k+,kZ,2k+<<2k+2,kZ.解:=-4+,是第一象限角.=10+,是第二象限角.-20=-36.28-1.16,是第四象限角.-23-3.464,是第二象限角. 點評:在這類題中對于含有的弧度數(shù)表示的角,我們先將它化為2k+(kZ,0,2)的形式,再根據(jù)角終邊所在的位置進行判斷,對于不含有的弧度數(shù)表示的角,取=3.14,化為k6.28+,kZ,0,6.28)的形式,通過與,比較大小,估計出角所在的象限.變式訓(xùn)練 (1)把-1 480寫成2k+(kZ,0,2)的形式; (2)若-4,0),且與(1)中終邊相同,求.解:(1)-1 480=-=-10+,0 <2,-1 480=2(-5)+. (2)與終邊相同,=2k+,kZ. 又-4,0),1=,2=.課堂小結(jié) 由學(xué)生總結(jié)弧度制的定義,角度與弧度的換算公式與方法.教師強調(diào)角度制與弧度制是度量角的兩種不同的單位制,它們是互相聯(lián)系的,辯證統(tǒng)一的;角度與弧度的換算,關(guān)鍵要理解并牢記180= rad這一關(guān)系式,由此可以很方便地進行角度與弧度的換算;三個注意的問題,同學(xué)們要切記;特殊角的弧度數(shù),同學(xué)們要熟記. 重要的一點是,同學(xué)們自己找到了角的集合與實數(shù)集R的一一對應(yīng)關(guān)系,對弧度制下的弧長公式、扇形面積公式有了深刻的理解,要把這兩個公式記下來,并在解決實際問題中靈活運用,表揚學(xué)生能總結(jié)出引入弧度制的好處,這種不斷總結(jié),不斷歸納,梳理知識,編織知識的網(wǎng)絡(luò),特別是同學(xué)們善于聯(lián)想、積極探索的學(xué)習(xí)品質(zhì),會使我們終生受用,這樣持之以恒地堅持下去,你會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)王國的許多寶藏,以服務(wù)于社會,造福于人類.作業(yè) 課本習(xí)題1.1 A組6、8、10. 課后探究訓(xùn)練:課本習(xí)題1.1 B組題.板書設(shè)計教學(xué)反思