2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修四教案:1-1-2 弧度制.doc
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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修四教案:1-1-2 弧度制項(xiàng)目?jī)?nèi)容課題(共 1 課時(shí))修改與創(chuàng)新教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)類(lèi)比長(zhǎng)度、重量的不同度量制,使學(xué)生體會(huì)一個(gè)量可以用不同的單位制來(lái)度量,從而引出弧度制. 2.通過(guò)探究使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制和弧度制都是度量角的制度,通過(guò)總結(jié)引入弧度制的好處,學(xué)會(huì)歸納整理并認(rèn)識(shí)到任何新知識(shí)的學(xué)習(xí),都會(huì)為解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)方便,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):理解弧度制的意義,并能進(jìn)行角度和弧度的換算.教學(xué)難點(diǎn):弧度的概念及其與角度的關(guān)系.教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課 利用古代度量時(shí)間的一種儀器日晷,或者利用普遍使用的鐘表.實(shí)際上我們使用的鐘表是用時(shí)針、分針和秒針角度的變化來(lái)確定時(shí)間的.無(wú)論采用哪一種方法,度量一個(gè)確定的量所得到的量數(shù)必須是唯一確定的.在初中,已學(xué)過(guò)利用角度來(lái)度量角的大小,現(xiàn)在來(lái)學(xué)習(xí)角的另一種度量方法弧度制.要使學(xué)生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含義,并能進(jìn)行弧度與角度換算的關(guān)鍵. 在引入弧度制后,可以引導(dǎo)學(xué)生建立弧與圓心角的聯(lián)系弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù).隨著角的概念的推廣,圓心角和弧的概念也隨之推廣:從“形”上說(shuō),圓心角有正角、零角、負(fù)角,相應(yīng)的,弧也就有正弧、零弧、負(fù)弧;從“數(shù)”上講,圓心角與弧的度數(shù)有正數(shù)、負(fù)數(shù).圓心角和弧的正負(fù)實(shí)際上表示了“角的不同方向”,就像三角函數(shù)值的正負(fù)可以用三角函數(shù)線(有向線段)的方向來(lái)表示一樣.每一個(gè)圓心角都有一條弧與它對(duì)應(yīng),并且不同的圓心角對(duì)應(yīng)著不同的弧,反之亦然.提出問(wèn)題 問(wèn)題:在初中幾何里,我們學(xué)習(xí)過(guò)角的度量,1的角是怎樣定義的呢? 問(wèn)題:我們從度量長(zhǎng)度和重量上知道,不同的單位制能給我們解決問(wèn)題帶來(lái)方便.那么角的度量是否也能用不同單位制呢?圖1 活動(dòng):教師先讓學(xué)生思考或討論問(wèn)題,并讓學(xué)生回憶初中有關(guān)角度的知識(shí),提出這是認(rèn)識(shí)弧度制的關(guān)鍵,為更好地理解角度弧度的關(guān)系奠定基礎(chǔ).討論后教師提問(wèn)學(xué)生,并對(duì)回答好的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的關(guān)鍵.教師板書(shū)弧度制的定義:規(guī)定長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.以弧度為單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度記作1 rad.如圖1中,的長(zhǎng)等于半徑r,AB所對(duì)的圓心角AOB就是1弧度的角,即=1. 討論結(jié)果:1的角可以理解為將圓周角分成360等份,每一等份的弧所對(duì)的圓心角就是1.它是一個(gè)定值,與所取圓的半徑大小無(wú)關(guān).能,用弧度制.提出問(wèn)題 問(wèn)題:作半徑不等的甲、乙兩圓,在每個(gè)圓上作出等于其半徑的弧長(zhǎng),連結(jié)圓心與弧的兩個(gè)端點(diǎn),得到兩個(gè)角,將乙圖移到甲圖上,兩個(gè)角有什么樣的關(guān)系? 問(wèn)題:如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是l,那么的弧度數(shù)是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們之間如何換算? 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)和歸納角度制和弧度制的關(guān)系,提問(wèn)學(xué)生歸納的情況,讓學(xué)生找出區(qū)別和聯(lián)系.教師給予補(bǔ)充和提示,對(duì)表現(xiàn)好的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示和鼓勵(lì).引入弧度之后,應(yīng)與角度進(jìn)行對(duì)比,使學(xué)生明確:第一,弧度制是以“弧度”為單位來(lái)度量角的單位制,角度制是以“度”為單位來(lái)度量角的單位制;第二,1弧度是等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角(或這條弧)的大小,而1的角是周角的;第三,無(wú)論是以“弧度”還是以 “度”為單位,角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值.教師要強(qiáng)調(diào)為了讓學(xué)生習(xí)慣使用弧度制,本教科書(shū)在后續(xù)的內(nèi)容中盡量采用弧度制.討論結(jié)果:完全重合,因?yàn)槎际?弧度的角.=;將角度化為弧度:360=2 rad,1=rad0.017 45 rad,將弧度化為角度:2 rad=360,1 rad=()57.30=5718.弧度制與角度制的換算公式:設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為 rad=(),n=n(rad).提出問(wèn)題 問(wèn)題:引入弧度之后,在平面直角坐標(biāo)系中,終邊相同的角應(yīng)該怎么用弧度來(lái)表示?扇形的面積與弧長(zhǎng)公式用弧度怎么表示? 問(wèn)題:填寫(xiě)下列的表格,找出某種規(guī)律.的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向AOB的弧度數(shù)AOB的度數(shù)r逆時(shí)針?lè)较?r逆時(shí)針?lè)较騌12r-2-0180360 活動(dòng):教師先給學(xué)生說(shuō)明教科書(shū)上為什么設(shè)置這個(gè)“探究”?其意圖是先根據(jù)所給圖象對(duì)一些特殊角填表,然后概括出一般情況.教師讓學(xué)生互動(dòng)起來(lái),討論并總結(jié)出規(guī)律,提問(wèn)學(xué)生的總結(jié)情況,讓學(xué)生板書(shū),教師對(duì)做正確的學(xué)生給予表?yè)P(yáng),對(duì)沒(méi)有總結(jié)完全的學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的提示.檢查完畢后,教師做個(gè)總結(jié). 由上表可知,如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是l,那么的弧度數(shù)的絕對(duì)值是這里,應(yīng)當(dāng)注意從數(shù)學(xué)思想的高度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“換算”問(wèn)題,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們一定可以換算.推而廣之,同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象用不同方式表示時(shí),它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系,認(rèn)識(shí)這種聯(lián)系性也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一. 教師給學(xué)生指出,角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng);反過(guò)來(lái),每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng).值得注意的是:今后在表示與角終邊相同的角時(shí),有弧度制與角度制兩種單位制,要根據(jù)角的單位來(lái)決定另一項(xiàng)的單位,即兩項(xiàng)所用的單位制必須一致,絕對(duì)不能出現(xiàn)k360+或者2k+60一類(lèi)的寫(xiě)法.在弧度制中,與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可以寫(xiě)成=+2k(kZ)的形式.如圖2為角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖2討論結(jié)果:與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可以寫(xiě)成=+2k(kZ)的形式.弧度制下關(guān)于扇形的公式為l=R,S=R2,S=lR.的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向AOB的弧度數(shù)AOB的度數(shù)r逆時(shí)針?lè)较?802r逆時(shí)針?lè)较?360R逆時(shí)針?lè)较?57.32r順時(shí)針?lè)较?2-114.6r順時(shí)針?lè)较?1800未旋轉(zhuǎn)00r逆時(shí)針?lè)较?802r逆時(shí)針?lè)较?360應(yīng)用示例例1 下列諸命題中,真命題是( )A.一弧度是一度的圓心角所對(duì)的弧B.一弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C.一弧度是一度的弧與一度的角之和D.一弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角,它是角的一種度量單位 活動(dòng):本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下理解弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別,以達(dá)到熟練掌握定義.從實(shí)際教學(xué)上看,弧度制不難理解,學(xué)生結(jié)合角度制很容易記住.根據(jù)弧度制的定義:我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧和所對(duì)的圓心角叫做一弧度的角.對(duì)照各項(xiàng),可知D為真命題.答案:D點(diǎn)評(píng):本題考查弧度制下角的度量單位:1弧度的概念.變式訓(xùn)練 下列四個(gè)命題中,不正確的一個(gè)是( ) A.半圓所對(duì)的圓心角是 rad B.周角的大小是2 C.1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑 D.長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度答案:D例2 將下列用弧度制表示的角化為2k+(kZ,0,2)的形式,并指出它們所在的象限:-;-20;-. 活動(dòng):本題的目的是讓學(xué)生理解什么是終邊相同的角,教師給予指導(dǎo)并討論歸納出一般規(guī)律.即終邊在x軸、y軸上的角的集合分別是:=k,kZ,=k,kZ.第一、二、三、四象限角的集合分別為:2k2k+,kZ,2k+2k+,kZ,2k+2k+,kZ,2k+2k+2,kZ.解:=-4+,是第一象限角.=10+,是第二象限角.-20=-36.28-1.16,是第四象限角.-23-3.464,是第二象限角. 點(diǎn)評(píng):在這類(lèi)題中對(duì)于含有的弧度數(shù)表示的角,我們先將它化為2k+(kZ,0,2)的形式,再根據(jù)角終邊所在的位置進(jìn)行判斷,對(duì)于不含有的弧度數(shù)表示的角,取=3.14,化為k6.28+,kZ,0,6.28)的形式,通過(guò)與,比較大小,估計(jì)出角所在的象限.變式訓(xùn)練 (1)把-1 480寫(xiě)成2k+(kZ,0,2)的形式; (2)若-4,0),且與(1)中終邊相同,求.解:(1)-1 480=-=-10+,0 2,-1 480=2(-5)+. (2)與終邊相同,=2k+,kZ. 又-4,0),1=,2=.課堂小結(jié) 由學(xué)生總結(jié)弧度制的定義,角度與弧度的換算公式與方法.教師強(qiáng)調(diào)角度制與弧度制是度量角的兩種不同的單位制,它們是互相聯(lián)系的,辯證統(tǒng)一的;角度與弧度的換算,關(guān)鍵要理解并牢記180= rad這一關(guān)系式,由此可以很方便地進(jìn)行角度與弧度的換算;三個(gè)注意的問(wèn)題,同學(xué)們要切記;特殊角的弧度數(shù),同學(xué)們要熟記. 重要的一點(diǎn)是,同學(xué)們自己找到了角的集合與實(shí)數(shù)集R的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式有了深刻的理解,要把這兩個(gè)公式記下來(lái),并在解決實(shí)際問(wèn)題中靈活運(yùn)用,表?yè)P(yáng)學(xué)生能總結(jié)出引入弧度制的好處,這種不斷總結(jié),不斷歸納,梳理知識(shí),編織知識(shí)的網(wǎng)絡(luò),特別是同學(xué)們善于聯(lián)想、積極探索的學(xué)習(xí)品質(zhì),會(huì)使我們終生受用,這樣持之以恒地堅(jiān)持下去,你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)王國(guó)的許多寶藏,以服務(wù)于社會(huì),造福于人類(lèi).作業(yè) 課本習(xí)題1.1 A組6、8、10. 課后探究訓(xùn)練:課本習(xí)題1.1 B組題.板書(shū)設(shè)計(jì)教學(xué)反思- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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