新編廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)檢測試題：27 基本不等式

基本不等式例1：求證。分析：此問題的關(guān)鍵是“靈活運(yùn)用重要基本不等式，并能由這一特征，思索如何將進(jìn)行變形，進(jìn)行創(chuàng)造”。證明：，兩邊同加得，即；，同理可得：，三式相加即得。例2：若正數(shù)、滿足，則的取值范圍是 。解：，令，得，或（舍去），的取值范圍是。說明：本題的常見錯誤有二。一是沒有舍去；二是忘了還原，得出。前者和后者的問題根源都是對的理解，前者忽視了后者錯誤地將視為。因此，解題過程中若用換元法，一定要對所設(shè)“元”的取值范圍有所了解，并注意還原之。例3：已知，求證證明：，三式相加，得，即說明：這是一個(gè)重要的不等式，要熟練掌握。例4：已知是互不相等的正數(shù)，求證：。證明：，同理可得：三個(gè)同向不等式相加，得說明：此題中互不相等，故應(yīng)用基本不等式時(shí)，等號不成立。特別地，時(shí)，所得不等式仍不取等號。例5：（1）求的最大值。（2）求函數(shù)的最小值，并求出取得最小值時(shí)的值。（3）若，且，求的最小值。解：（1）即的最大值為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，取得此最大值。（2）的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得此最小值。（3），即，即的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得此最小值。例6：求函數(shù)的最值。 分析：本例的各小題都可用最值定理求函數(shù)的最值，但是應(yīng)注意滿足相應(yīng)條件。如：，應(yīng)分別對兩種情況討論，如果忽視的條件，就會發(fā)生如下錯誤：，解：當(dāng)時(shí)，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值當(dāng)時(shí)，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)最小值例7：求函數(shù)的最值。 分析：。但等號成立時(shí)，這是矛盾的！于是我們運(yùn)用函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增這一性質(zhì)，求函數(shù)的最值。解：設(shè)，。當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，故原函數(shù)的最小值為，無最大值。例8：求函數(shù)的最小值。 分析：用換元法，設(shè)，原函數(shù)變形為，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果?；蛴煤瘮?shù)方程思想求解。解：解法1：設(shè)，故。由，得：，故：。函數(shù)為增函數(shù)，從而。解法2：設(shè)，知，可得關(guān)于的二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，得：。又，故有一個(gè)根大于或等于2，設(shè)函數(shù)，則，即，故。 說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：。要知道，無實(shí)數(shù)解，即，所以原函數(shù)的最小值不是2。錯誤原因是忽視了等號成立的條件。當(dāng)、為常數(shù)，且為定值，時(shí)，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等變形，當(dāng)之差最小時(shí)，再求原函數(shù)的最大（?。┲?。例9：求的最小值。分析：此題出現(xiàn)加的形式和平方，考慮利用重要不等式求最小值。解：由，得又得，即。 故的最小值是。例10：已知：，求證：。分析：根據(jù)題設(shè)，可想到利用重要不等式進(jìn)行證明。證明：同理：，。說明：證明本題易出現(xiàn)的思維障礙是：（1）想利用三元重要不等式解決問題；（2）不會利用重要不等式的變式；（3）不熟練證明輪換對稱不等式的常用方法。因此，在證明不等式時(shí)，應(yīng)根據(jù)求證式兩邊的結(jié)構(gòu)，合理地選擇重要不等式。另外，本題的證明方法在證輪換對稱不等式時(shí)具有一定的普遍性。例11：已知，且，求的最大值。解法1：由，可得，。注意到?？傻?，。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，代入中得，故的最大值為18。解法2：，代入中得：，解此不等式得。下面解法見解法1，下略。說明：解法1的變形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法2則是抓住了問題的本質(zhì)，所以解得更為簡捷。例12：若，且，求證：。分析：不等式右邊的數(shù)字“8”使我們聯(lián)想到可能是左邊三個(gè)因式分別使用基本不等式所得三個(gè)“2”連乘而來，而。證明：，又，即。同理，。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立。 說明：本題巧妙利用的條件，同時(shí)要注意此不等式是關(guān)于的輪換式。