2019-2020年高一數(shù)學《平面與平面平行的判定》教學設計教案.doc

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2019-2020年高一數(shù)學《平面與平面平行的判定》教學設計教案 教學目標 1.使學生理解和掌握兩個平面平行的判定定理及應用； 2.加深學生對轉(zhuǎn)化的思想方法的理解及應用. 教學重點和難點 重點:兩個平面平行的判定定理； 難點:兩個平面平行的判定定理的證明. 教學設計過程 一、復習提問 師:上節(jié)課我們研究了兩個平面的位置關系，請同學們回憶一下，兩個平面平行的意義是什么？ 生:兩個平面沒有公共點. 師:對，如果兩個平面平行，那么在其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面具有怎樣的位置關 系呢? 生:平行. 師:為什么? 生:用反證法，假設不平行，則這些線中至少有一條和另一個平面有公共點或在另一個面內(nèi) ，而此兩種情況都說明這兩個平面有公共點，與兩個面平行矛盾. 師:證得很好.反過來，如果一個平面內(nèi)的所有直線都和另一個平面平行，那么這兩個平面 平行.由以上結論，就可以把兩個平面平行的問題轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線和另一個平面平 行的問題.但要注意:兩個平面平行，雖然一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面，但 這兩個平面內(nèi)的所有直線并不一定互相平行，它們可能是平行直線也可能是異面直線，但不 可能是相交直線. 〔對舊知識復習，又有深入，同時又點出了“轉(zhuǎn)化”的思想方法，為引入新課作鋪墊〕 二、新課 師:接下來，我們共同對兩個平面平行作定性研究，先來研究兩個平面平行的判定——具有 什么條件的兩個平面是平行的呢? 生:根據(jù)兩個平面平行的定義，只要能證明一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行， 就可得出兩個平面平行. 師:很好，實質(zhì)就是由線面平行來得到面面平行.而實際上，判定兩個平面平行，并不需要 一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面. 下面我們共同研究判定兩個平面平行的其它方法，請大家思考以下幾個命題. (1)平面α內(nèi)有一條直線與平面β平行，則α∥β，對嗎? (2)平面α內(nèi)有兩條直線與平面β平行，則α∥β，對嗎? 〔學生討論回答，并舉出反例，得(1)，(2)不對，教師接著問〕 (3)平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，則α∥β，對嗎? 〔教師對學生的回答，作出適當評述〕 師:以上三個命題均為假命題，那么，怎樣修改一下命題的條件，就可得出正確結論? 〔學生討論后，教師請一名同學回答〕 生:把條件改為:一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面. 師:說說你的想法. 生:我想，兩條相交直線確定一個平面，若它們分別與另一個平面平行，則所確定的平面也 一定與這個平面平行. ［此是學生的猜想，教師給予肯定，并引導學生進行嚴格論證］ 師:下面我們來證明.先把命題完整的表述出來. 生:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行. ［教師板書，畫圖，并請一位學生寫出已知，求證］ 已知:在平面β內(nèi)，有兩條相交直線a,b和平面α平行. 求證:α∥β. 師:欲證α∥β，而我們只知兩個平面平行的定義，顯然，若直接用定義證明，不很方便， 大家看怎么辦? 生:用反證法. 〔學生并未證明，只提出方法.教師先復習反證法的步驟:(1)否定結論，(2)推出矛盾， (3)得出結論.然后提出問題，讓學生討論，以引導學生用反證法得出結論〕 師:問，(1)如果平面α與平面β不平行，那么它們的位置關系怎樣. (2)如果平面α與平面β相交，那么交線與平行于平面α的直線a和b有什么關系? (3)相交直線a和b都與交線平行合理嗎?錯誤結論是如何產(chǎn)生的? ［教師根據(jù)學生回答，依次提出問題，同時板書該命題的證明過程］ 證明:假設α∩β=c. 因為a∥α，aβ， 所以a∥c,同理b∥c,所以a∥b. 這與題設a與b是相交直線矛盾. 故α∥β. 師:以上我們用反證法證明了命題的正確性.我們就把這一命題作為兩個平面平行的判定定 理之一.該定理是用來判定兩個平面平行的，應用時關鍵是在一個平面內(nèi)尋找兩條相交直線 ，并證明與另外一個平面平行.也就是說:欲證面面平行，要先轉(zhuǎn)化為線面平行.而轉(zhuǎn)化的 思想方法是數(shù)學思維的重要方法之一，也是立體幾何中，解決問題常用的方法. ［教師在該命題前寫上:兩個平面平行的判定定理，以強調(diào)本節(jié)課的重點］ 師:在現(xiàn)實生活中，該定理應用比較廣泛，比如:木工師傅為了檢查一個平面是否水平時， 往往用水準器在這個平面上交叉放兩次，水準器的氣泡如果兩次都是居中的，就可以判定這 個平面是水平的，否則就不是水平的.其理論根據(jù)就是這一判定定理. ［通過實例，證明定理在現(xiàn)實生活中的具體應用，貼近學生生活，更激發(fā)了學生探求知識的積極性，活躍思］ 師:大家還能發(fā)現(xiàn)哪些判定兩個平面平行的定理呢?(教師巡視，找一名學生回答) 生:我想，如果兩個平面都垂直同一條直線，那么這兩個平面一定是平行的. 師:想法很好，能否談一談如何得出的? 生:在學習平面幾何時，曾有一個定理:垂直于同一條直線的兩條直線平行.我就想，若把 其中的兩條直線改為兩個平面，那么這兩個平面會不會是平行的. 師:這位同學用到了一個重要的研究數(shù)學問題的方法——類比.就是從已經(jīng)學過的定理出發(fā)， 對其中的某些條件作修改，得出一個新的命題.當然，這只是一種猜想，正確與否，還要大家 進一步證明. 這位同學的猜想簡單的說就是:垂直于同一條直線的兩個平面平行.下面我們就來證明這一 命題. 已知:AA′⊥平面α于A，AA′⊥平面β于A′. 求α∥β. 師:本題要證的是兩個平面平行，有哪些工具呢? 生:兩個面平行的判定定理. 師:應用該定理的條件是什么? 生:是其中一面中心須有兩條相交直線與另一面平行. 師:顯然，題目中并不具備這一條件，我們是否改用其它方法? ［學生激烈討論］ 生甲:直接在平面β內(nèi)作直線a∩b=O，如圖2(教師畫圖，使O與A′不重合，突出矛盾) 生乙:這樣做不好，沒有充分利用題目的已知條件，不妨直接在平面α內(nèi)作直線a∩b=A.而 直線a與AA′確定一平面γ，設γ∩β=a′.能證:a′∥a,則a∥β，得出線面平行.同理 也可證b∥β.所以α∥β. 師:不錯.能夠充分的利用題目中的條件，為解決問題帶來大的方便.下面我們把作輔助線 的方法，稍作改進，寫出證明. 證明:設經(jīng)過直線AA′的兩個平面γ，δ分別與平面α，β交于直線a,a′和b，b′. 因為 AA′⊥α，AA′⊥β， 所以 AA′⊥a，AA′⊥a′, 故 a∥a′.則a′∥α. 同理 b′∥α， 又因為a′∩b′=A， 所以α∥β. 師:通過類比的方法，證明得到了兩平面平行的又一個判定定理，它是在上一個判定定理的 基礎上得到的.要注意的是，為了得到兩條相交直線，并未直接在一個面內(nèi)作，而是過AA′作兩 個相交平面δ，γ，它們分別與α，β相交，得到相交直線.由線線平行，得線面平行，最 后證明面面平行.這一證明方法是轉(zhuǎn)化的思想方法的又一體現(xiàn). 生:在上題的證明過程中，我發(fā)現(xiàn):“如果一個平面內(nèi)兩條相交直線分別平行于另一個平面 內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面平行.”這樣就可直接由線線平行證面面平行，不知對 不對? 師與生:對. ［在授課過程中，學生往往能根據(jù)所研究問題，思考得到自己的想法，這是學生深入課堂， 積極思維的一種體現(xiàn)，也是課堂上的一種反饋，教師應抓住機會，熱情鼓勵，同時給出肯定 或否定的答復］ 師:想法很好，大家能證明嗎?(學生議論)對，用第一個判定定理很快就能證明.但此命題 不易作為判定定理直接應用.不過這一命題為我們今后判定兩個平面平行提供了一條思路. 三、例題分析 ［通過例題分析，復習鞏固本節(jié)課的主要內(nèi)容］ 師:前面我們得到了兩個平面平行的判定定理，為方便，把前者叫判定定理，后者叫判定定 理二.下面通過例題來分析如何使用判定定理. 例 已知正方體ABCD-A1B1C1D1. 求證:平面AB1D1∥平面C1BD. 師:欲證面面平行，由兩個判定定理，必須有線面平行或是線面垂直.而題目所給的是正方 體及體內(nèi)的截面，隱含較多的線面平行的位置關系.我們先來考慮應用判定定理一. 生:因為ABCD-A1B1C1D1為正方體， 所以 D1C1∥=A1B1，AB∥=A1B1， 所以 D1C1∥=AB， 所以 D1C1BA為平行四邊形， 所以 D1A∥C1B， 因為 C1B平面C1BD， 故 D1A∥平面C1BD. 同理 D1B1∥平面C1BD. 又 D1A∩D1B1=D1, 所以 平面AB1D1∥平面C1BD. 師:大家再思考，能否用判定定理二來證明呢? ［學生有的思考，有的議論］ 師:若要用判定定理二，遇到的問題是什么? 生:條件中沒有直接與面AB1D1和面BC1D垂直的直線. 師:能解決嗎? 生:作輔助線.連結A1C，證明它與兩個面都平行. 師:要證線面垂直，要先轉(zhuǎn)化為線線垂直.證明線線垂直的一個重要方法是什么? 生:三垂線定理及其逆定理.連結AC.可證A1C⊥BD. ［至此，在教師的啟發(fā)引導下，已基本解決問題，把證明過程規(guī)范化］ 證明:連結A1C，AC， 因為 ABCD-A1B1C1D1為正方體， 所以 A1A⊥平面ABCD. 所以 AC為A1C在面ABCD上的射影. 又因為 BD⊥AC，且BD面ABCD， 所以 A1C⊥BD. 同理: A1C⊥BC1. 又因為 BD∩BC1=B， 所以 A1C⊥面C1BD. 同理:A1C⊥平面AB1D1， 所以 平面AB1D1∥平面C1BD. ［通過一題多解，訓練學生思維的靈活性］ 小結 1.由學生用文字語言和符號語言兩種形式表述面面平行的兩個判定定理.教師指出，兩個判 定定理是判定面面平行的兩個基本的理論工具. 2.空間兩條直線平行，直線與平面平行，以及兩個平面平行，三類平行關系的聯(lián)系十分密切 ，它們相互依賴，相互轉(zhuǎn)化.在實際運用中，我們可以通過線線平行，或線面平行來推論平 面與平面平行. 3.轉(zhuǎn)化的思想方法，是數(shù)學思維的重要方法.解決數(shù)學問題的過程實質(zhì)就是一個轉(zhuǎn)化的過程 ，同學們要認真掌握. 布置作業(yè) 課本p.38習題五1，3. 課堂教學設計說明 1.指導思想 這節(jié)課本著“教師為主導，學生為主體，課本為主線”的原則進行設計.教師的主導作用， 在于激發(fā)學生的求知欲，通過教師在課堂上的精心設計，以啟發(fā)式教學為主，引導學生步入 問題情境，同時發(fā)揮學生的主觀能動性，師生共同推進課堂教學活動，使學生有一個積極的 態(tài)度接受新知識. 學生是課堂教學的主體.教師就是要引導學生討論、學生發(fā)言，使得學生參加到數(shù)學教學活 動中，使得學生興趣盎然，思維活躍，這樣有利于培養(yǎng)學生獨立思考問題的習慣，發(fā)展學生 的創(chuàng)造性思維能力，教師要注重學生的活動，同時給于肯定及鼓勵. 2.教學實施 (1)復習提問，不僅是舊知識的復習，而是有所深入、提高，同時在思維方法明確轉(zhuǎn)化的思 想方法. (2)在講解兩個平面平行的判定定理一時，教師不要急于得出結論，而是設計三個問題，逐 步深入，引導學生自己發(fā)現(xiàn)結論，提高了學生解決問題的興趣.又考慮到:反證法是高一立 體幾何中的一個重要而又難掌握的方法，雖然前幾節(jié)課有所接觸，然而對于同學而言仍屬難 點，為了分解難點，在學生提出用反證法之后，仍根據(jù)反證法的步驟，依次提出三個問題， 引導學生證明，使證明方法容易接受. 對于定理二，突出類比方法在解決問題中的應用及證明過程中的轉(zhuǎn)化思想. (3)在選擇例題時，講求不要多，而要精，精心選擇例題，使它確實能夠起到復習、鞏固本 節(jié)課所學知識的作用.本節(jié)課所選的例題，比較簡單.特別是兩種證明方法中，第一種容易 想到.但在引導學生得出第一種證明方法后，不能滿足，而應啟發(fā)學生，運用其它知識想更 多的方法進行證明.當然，第二種方法比較難，特別是輔助線不易想到，教師在講解時要慢 慢啟發(fā).一題多解，是訓練學生思維的一個較好的方式.