新編廣東省廣州市高考數(shù)學一輪復習 專項檢測試題：31 平面向量與三角形的應用舉例

平面向量與三角形的應用舉例一、平面向量與三角形的心1、重心（中線交點）（1）是的重心（2）是的重心（是平面上的點）證明：是的重心，即由此可得。例如：已知向量，滿足條件，求證：是正三角形。 分析：對于本題中的條件，容易想到，點是的外心，而另一個條件表明，點是的重心。故本題可描述為，若存在一個點既是三角形的重心也是外心，則該三角形一定是正三角形。又如，若一個三角形的重心與外接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？與本題實質(zhì)是相同的。 顯然，本題中的條件可改為。2、垂心（高線交點）（1）是的垂心由，同理，。故是的垂心。反之亦然。（2）是（非直角三角形）的垂心，則有且。3、外心（邊垂直平分線交點，外接圓圓心）（1）是的外心（點到的三個頂點距離相等）（2）是的外心（為三邊垂直平分線交點）（3）是的外心，則有且。4、內(nèi)心（角平分線交點，內(nèi)切圓圓心）（1）是的內(nèi)心（2）是的內(nèi)心（3）引進單位向量，使條件變得更簡潔。記，的單位向量為，則是的內(nèi)心（4）是的內(nèi)心，則故或（5）是的內(nèi)心（6）向量所在直線過的內(nèi)心（是的角平分線所在直線）（7）設是所在平面內(nèi)任意一點，為內(nèi)心例如：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足則的軌跡一定通過的（ ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心分析：已知等式即，設，顯然都是單位向量，以二者為鄰邊構造平行四邊形，則結果為菱形，故為的平分線，選。5、外心與重心：若是的外心，是重心，則6、外心與垂心：若是的外心，是垂心，則7、重心與垂心：若是的重心，是垂心，則8、外心、重心、垂心：若分別是銳角的外心、重心、垂心，則證明：按重心定理：是的重心；按垂心定理：，由此可得：。9、三角形的外心、重心、垂心的位置關系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點共線，即歐拉線；（2）三角形的重心在歐拉線上，且為外心、垂心連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。例如：在中，已知分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：三點共線，且。證明：以為原點，所在的直線為軸，建立如上圖所示的直角坐標系。設、，分別為的中點，則有：，由題設可設，即，故三點共線，且。二、應用舉例1、已知在所在平面內(nèi)，且，且，則點依次是的（ C ）A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 內(nèi)心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 內(nèi)心2、是所在平面內(nèi)的一點，滿足，則點是的（ D ）A、三個內(nèi)角的角平分線的交點B、三條邊的垂直平分線的交點C、三條中線的交點D、三條高的交點解：由，得 是的垂心，即三條高的交點。3、在同一個平面上有及一點滿足關系式：，則為的（ D ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心4、已知，為三角形所在平面上的動點，且滿足：，則點為的（ D ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心5、已知是所在平面內(nèi)任意一點，且，則是的（ C ） A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心解：若是的重心，則有（是的中點），。與重合，即是的重心。6、已知的頂點及平面內(nèi)一點滿足：，則為的（ C ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心7、已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足：，則的軌跡一定通過的（ C ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心8、已知，為三角形所在平面上的一點，且點滿足：，則點為的（ B ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心9、在中，動點滿足：，則點一定通過的（ B ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心10、已知是平面內(nèi)的一個點，是平面上不共線的三點，動點滿足，則點的軌跡一定過的（ B ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心11、已知是平面上不共線的三點，是的重心，動點滿足，則點一定為的（ B ）A、邊中線的中點 B、邊中線的三等分點（非重心） C、重心 D、邊的中點分析：取邊的中點，則，由，得3，即點為三角形中邊中線的一個三等分點，且不過重心。12、非零向量與滿足且，則為（ D ）A、三邊均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等邊三角形 D、等邊三角形13、的外接圓的圓心為，兩邊上的高的交點為，則實數(shù) 。解：當為時，不妨設，則是的中點，是直角頂點，。14、若是的外心，是三邊中點構成的的外心，且，則 。（其實是的中點，；也可用特例時得）15、在四邊形中，=，則四邊形的面積是 。解析：由題知四邊形是菱形，其邊長為，且對角線等于邊長的倍，所以，故，。16、如圖，已知點是的重心，過作直線與兩邊分別交于兩點，且，求證：。證明：點是的重心，得，有。又三點共線（不在直線上），于是存在，使得，有，得，于是得。17、已知為的外心，求證：。分析：構造坐標系證明。如圖，以為坐標原點，在軸的正半軸，在軸的上方。，直線的方程是，由于點與點必在直線的同側，且，因此有，得。直線的方程是，由于點與點必在直線的同側，且，因此有，得。于是，容易驗證，又，又，則所證成立。