新編廣東省廣州市高考數(shù)學一輪復習 專項檢測試題:31 平面向量與三角形的應用舉例
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新編廣東省廣州市高考數(shù)學一輪復習 專項檢測試題:31 平面向量與三角形的應用舉例
平面向量與三角形的應用舉例一、平面向量與三角形的心1、重心(中線交點)(1)是的重心(2)是的重心(是平面上的點)證明:是的重心,即由此可得。例如:已知向量,滿足條件,求證:是正三角形。 分析:對于本題中的條件,容易想到,點是的外心,而另一個條件表明,點是的重心。故本題可描述為,若存在一個點既是三角形的重心也是外心,則該三角形一定是正三角形。又如,若一個三角形的重心與外接圓圓心重合,則此三角形為何種三角形?與本題實質(zhì)是相同的。 顯然,本題中的條件可改為。2、垂心(高線交點)(1)是的垂心由,同理,。故是的垂心。反之亦然。(2)是(非直角三角形)的垂心,則有且。3、外心(邊垂直平分線交點,外接圓圓心)(1)是的外心(點到的三個頂點距離相等)(2)是的外心(為三邊垂直平分線交點)(3)是的外心,則有且。4、內(nèi)心(角平分線交點,內(nèi)切圓圓心)(1)是的內(nèi)心(2)是的內(nèi)心(3)引進單位向量,使條件變得更簡潔。記,的單位向量為,則是的內(nèi)心(4)是的內(nèi)心,則故或(5)是的內(nèi)心(6)向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)(7)設是所在平面內(nèi)任意一點,為內(nèi)心例如:是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足則的軌跡一定通過的( )A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心分析:已知等式即,設,顯然都是單位向量,以二者為鄰邊構造平行四邊形,則結果為菱形,故為的平分線,選。5、外心與重心:若是的外心,是重心,則6、外心與垂心:若是的外心,是垂心,則7、重心與垂心:若是的重心,是垂心,則8、外心、重心、垂心:若分別是銳角的外心、重心、垂心,則證明:按重心定理:是的重心;按垂心定理:,由此可得:。9、三角形的外心、重心、垂心的位置關系:(1)三角形的外心、重心、垂心三點共線,即歐拉線;(2)三角形的重心在歐拉線上,且為外心、垂心連線的第一個三分點,即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。例如:在中,已知分別是三角形的外心、重心、垂心。求證:三點共線,且。證明:以為原點,所在的直線為軸,建立如上圖所示的直角坐標系。設、,分別為的中點,則有:,由題設可設,即,故三點共線,且。二、應用舉例1、已知在所在平面內(nèi),且,且,則點依次是的( C )A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 內(nèi)心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 內(nèi)心2、是所在平面內(nèi)的一點,滿足,則點是的( D )A、三個內(nèi)角的角平分線的交點B、三條邊的垂直平分線的交點C、三條中線的交點D、三條高的交點解:由,得 是的垂心,即三條高的交點。3、在同一個平面上有及一點滿足關系式:,則為的( D )A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心4、已知,為三角形所在平面上的動點,且滿足:,則點為的( D )A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心5、已知是所在平面內(nèi)任意一點,且,則是的( C ) A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心解:若是的重心,則有(是的中點),。與重合,即是的重心。6、已知的頂點及平面內(nèi)一點滿足:,則為的( C )A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心7、已知是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足:,則的軌跡一定通過的( C )A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心8、已知,為三角形所在平面上的一點,且點滿足:,則點為的( B )A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心9、在中,動點滿足:,則點一定通過的( B )A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心10、已知是平面內(nèi)的一個點,是平面上不共線的三點,動點滿足,則點的軌跡一定過的( B )A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心11、已知是平面上不共線的三點,是的重心,動點滿足,則點一定為的( B )A、邊中線的中點 B、邊中線的三等分點(非重心) C、重心 D、邊的中點分析:取邊的中點,則,由,得3,即點為三角形中邊中線的一個三等分點,且不過重心。12、非零向量與滿足且,則為( D )A、三邊均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等邊三角形 D、等邊三角形13、的外接圓的圓心為,兩邊上的高的交點為,則實數(shù) 。解:當為時,不妨設,則是的中點,是直角頂點,。14、若是的外心,是三邊中點構成的的外心,且,則 。(其實是的中點,;也可用特例時得)15、在四邊形中,=,則四邊形的面積是 。解析:由題知四邊形是菱形,其邊長為,且對角線等于邊長的倍,所以,故,。16、如圖,已知點是的重心,過作直線與兩邊分別交于兩點,且,求證:。證明:點是的重心,得,有。又三點共線(不在直線上),于是存在,使得,有,得,于是得。17、已知為的外心,求證:。分析:構造坐標系證明。如圖,以為坐標原點,在軸的正半軸,在軸的上方。,直線的方程是,由于點與點必在直線的同側,且,因此有,得。直線的方程是,由于點與點必在直線的同側,且,因此有,得。于是,容易驗證,又,又,則所證成立。