2019-2020年高三數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)精析精練18 直線與圓錐曲線.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)精析精練18 直線與圓錐曲線【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開(kāi)考生“檔次”，有利于選拔的功能.1.直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2.當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例題】【例1】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2又22,將m+n=2,代入得mn=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例2】 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5m0.由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4.點(diǎn)A到直線l的距離為d=.S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時(shí)取等號(hào).故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8.【例3】 已知雙曲線C：2x2y2=2與點(diǎn)P(1，2)。(1)求過(guò)P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0(*)()當(dāng)2k2=0,即k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k20,即k時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0,即k,又k,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0，即k時(shí)，方程(*)無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒(méi)有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線斜率為,結(jié)合圖形知直線AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.【例4】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(4，0)、F2(4，0)，過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿(mǎn)足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故橢圓方程為=1.(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0=4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2)將 (k0)代入上式，得94+25y0()=0(k0)即k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立).由點(diǎn)P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由點(diǎn)P(4，y0)在線段BB(B與B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng))的內(nèi)部，得y0,所以m.解法二：因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P(4,y0)，所以直線AC的方程為yy0=(x4)(k0)將代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0所以x1+x2=8,解得k=y0.(當(dāng)k=0時(shí)也成立)(以下同解法一).【例5】 已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓相切過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得和交于兩點(diǎn)，和軸交于點(diǎn)，并且點(diǎn)在線段上，又滿(mǎn)足（1）求雙曲線的漸近線的方程；（2）求雙曲線的方程；（3）橢圓的中心在原點(diǎn)，它的短軸是的實(shí)軸如果中垂直于的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，求橢圓的方程解：（1）設(shè)雙曲線的漸近線的方程為：，則由漸近線與圓相切可得：所以，雙曲線的漸近線的方程為：（2）由（1）可設(shè)雙曲線的方程為：把直線的方程代入雙曲線方程，整理得則 （） ，共線且在線段上， ，即：，整理得：將（）代入上式可解得：所以，雙曲線的方程為（3）由題可設(shè)橢圓的方程為：下面我們來(lái)求出中垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，則兩式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分又由題，這個(gè)軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，所以，所以，橢圓S的方程為：點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，把直線投影到坐標(biāo)軸上（也即化線段的關(guān)系為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系）是常用的簡(jiǎn)化問(wèn)題的手段；有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，常常用到“設(shè)而不求”的方法；判別式和韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的常用工具）【例6】 設(shè)拋物線過(guò)定點(diǎn)，且以直線為準(zhǔn)線（1）求拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且線段恰被直線平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍解：（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，則其焦點(diǎn)為由拋物線的定義可知：所以，所以，拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程為： （2）因?yàn)槭窍襇N的垂直平分線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由MN所唯一確定所以，要求的取值范圍，還應(yīng)該從直線與軌跡相交入手顯然，直線與坐標(biāo)軸不可能平行，所以，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得：由于與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，所以，即：（）又線段恰被直線平分，所以，所以，代入（）可解得：下面，只需找到與的關(guān)系，即可求出的取值范圍由于為弦MN的垂直平分線，故可考慮弦MN的中點(diǎn)在中，令，可解得：將點(diǎn)代入，可得：所以，從以上解題過(guò)程來(lái)看，求的取值范圍，主要有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系，二是構(gòu)造一個(gè)有關(guān)參量的不等式從這兩點(diǎn)出發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法：解法二設(shè)弦MN的中點(diǎn)為，則由點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，可知：兩式相減得：BB又由于，代入上式得：又點(diǎn)在弦MN的垂直平分線上，所以，所以，由點(diǎn)在線段BB上（B、B為直線與橢圓的交點(diǎn)，如圖），所以，也即：所以，點(diǎn)評(píng)：解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，對(duì)于消元后的一元二次方程，必須討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式，有時(shí)借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便涉及弦中點(diǎn)問(wèn)題，利用韋達(dá)定理或運(yùn)用平方差法時(shí)（設(shè)而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法從構(gòu)造不等式的角度來(lái)說(shuō)，“將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0”與“弦MN的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)”是等價(jià)的【例7】 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)又M是其準(zhǔn)線上一點(diǎn)試證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列證明依題意直線MA、MB、MF的斜率顯然存在，并分別設(shè)為，點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為A（，），B（，），M（，m）由“AB過(guò)點(diǎn)F（，0）”得： 將上式代入拋物線中得：可知又依“及”可知因此而 故即直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列【例8】 已知=(x,0)，=(1，y)(1)求點(diǎn)P(x，y)的軌跡C的方程；(2)若直線：y=kx+m(km0)與曲線C交于A、B兩端，D(0，1),且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍。解：（1） =0 得P點(diǎn)的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(13k2)x26kmx3m23=0(*)顯然13k20 =（6km）24(3m23)=12(m2+1)3k2>0設(shè)x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)線段AB的垂直平分線方程為：將D(0，1)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得：4m=3k21故m、k滿(mǎn)足，消去k2得：m24m>0解得：m<0或m>4又4m=3k21>1 m>故m.【直線與圓錐曲線練習(xí)】一、選擇題1斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( )A.2B. C.D. 2拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k0)交于A、B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空題3已知兩點(diǎn)M(1，)、N(4，)，給出下列曲線方程：4x+2y1=0,x2+y2=3,+y2=1,y2=1,在曲線上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_.4正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點(diǎn)在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_(kāi).5在拋物線y2=16x內(nèi)，通過(guò)點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_.三、解答題6已知拋物線y2=2px(p0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值.7已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過(guò)點(diǎn)P(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn)：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論.8已知雙曲線C的兩條漸近線都過(guò)原點(diǎn)，且都以點(diǎn)A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)A1與A點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).(1)求雙曲線C的方程.(2)設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A，斜率為k,當(dāng)0k1時(shí)，雙曲線C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為，試求k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo).直線與圓錐曲線參考答案一、1.解析：弦長(zhǎng)|AB|=.答案：C2.解析：解方程組,得ax2kxb=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入驗(yàn)證即可.答案：B二、3.解析：點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點(diǎn).答案：4.解析：設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長(zhǎng)公式可求出|CD|的長(zhǎng)，利用|CD|的長(zhǎng)等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長(zhǎng).答案：18或505.解析：設(shè)所求直線與y2=16x相交于點(diǎn)A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2).即kAB=8.故所求直線方程為y=8x15.答案：8xy15=0三、6.解：(1)設(shè)直線l的方程為：y=xa,代入拋物線方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn) C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p.線段AB的垂直平分線的方程為yp=(xap),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,0）點(diǎn)N到AB的距離為從而SNAB=當(dāng)a有最大值時(shí)，S有最大值為p2.7.解：(1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.(2)P、A1、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0.=164280,所求直線l不存在.8.解：(1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d=1,解得k=1.即漸近線為y=x,又點(diǎn)A關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，).a=b,所求雙曲線C的方程為x2y2=2.(2)設(shè)直線l：y=k(x)(0k1,依題意B點(diǎn)在平行的直線l上，且l與l間的距離為.設(shè)直線l：y=kx+m,應(yīng)有,化簡(jiǎn)得m2+2km=2.把l代入雙曲線方程得(k21)x2+2mkx+m22=0,由=4m2k24(k21)(m22)=0.可得m2+2k2=2、兩式相減得k=m,代入得m2=,解設(shè)m=,k=,此時(shí)x=,y=.故B(2,).