新版高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專題 立體幾何教師版

1 1立體幾何立體幾何一、高考預(yù)測(cè)一、高考預(yù)測(cè)立體幾何由三部分組成，一是空間幾何體，二是空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，三是立體幾何中的向量方法高考在命制立體幾何試題中，對(duì)這三個(gè)部分的要求和考查方式是不同的在空間幾何體部分，主要是以空間幾何體的三視圖為主展開，考查空間幾何體三視圖的識(shí)別判斷、考查通過三視圖給出的空間幾何體的表面積和體積的計(jì)算等問題，試題的題型主要是選擇題或者填空題，在難度上也進(jìn)行了一定的控制，盡管各地有所不同，但基本上都是中等難度或者較易的試題；在空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系部分，主要以解答題的方法進(jìn)行考查，考查的重點(diǎn)是空間線面平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，而且一般是這個(gè)解答題的第一問；對(duì)立體幾何中的向量方法部分，主要以解答題的方式進(jìn)行考查，而且偏重在第二問或者第三問中使用這個(gè)方法，考查的重點(diǎn)是使用空間向量的方法進(jìn)行空間角和距離等問題的計(jì)算，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問題2。線面關(guān)系中三類平行的共同點(diǎn)是“無(wú)公共點(diǎn)” ；三類垂直的共同點(diǎn)是“成角 90”.線面平行、面面平行，最終化歸為線線平行；線面垂直、面面垂直，最終化歸為線線垂直.3。直線與平面所成角的范圍是2, 0；兩異面直線所成角的范圍是2, 0(.一般情況下，求二面角往往是指定的二面角，若是求兩平面所成二面角只要求出它們的銳角（直角）情況即可.4。立體幾何中的計(jì)算主要是角、距離、體積、面積的計(jì)算.兩異面直線所成角、直線與平面所成角的計(jì)算是重點(diǎn).求兩異面直線所成角可以利用平移的方法將角轉(zhuǎn)化到三角形中去求解，也可以利用空間向量的方法，特別要注意的是兩異面直線所成角的范圍.當(dāng)求出的余弦值為a時(shí)，其所成角的大小應(yīng)為|arccos a.特別需要注意的是：兩向量所成的角是兩向量方向所成的角，它與兩向量所在的異面直線所成角的概念是不一樣的.本題中的向量1BD與DE所成的角大小是兩異面直線 DE 與 BD1所成角的補(bǔ)角.7。長(zhǎng)方體、正方體是最基本的幾何體，要熟練掌握它們中的線面關(guān)系.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為cba,，對(duì)角線長(zhǎng)為l，則2222cbal.利用這一關(guān)系可以得到下面兩個(gè)結(jié)論：（1）若長(zhǎng)方體的對(duì)角線與三棱所成角分別為,，則1coscoscos222；（2）若長(zhǎng)方體的對(duì)角線與三面所成角分別為,，則2coscoscos222.10.關(guān)注正棱錐中的幾個(gè)直角三角形：（1）高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形；（2）側(cè)棱、斜高、底面棱長(zhǎng)的一半組成的直角三角形；（3）底面上的邊心距、底面外接圓半徑、底面棱長(zhǎng)的一半組成的直角三角形.（4）高、側(cè)棱、底面外接圓半徑組成的直角三角形.進(jìn)一步關(guān)注的是：側(cè)棱與底面所成角、側(cè)面與底面所成二面角的平面角都體現(xiàn)在這些直角三角形中.11。特別注意有一側(cè)棱與底面垂直且底面為正方形、直角梯形、菱形等四棱錐，關(guān)注四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.它們之間的線面關(guān)系也是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.12。對(duì)平面圖形的翻折問題要有所了解：翻折后，在同一半平面內(nèi)的兩點(diǎn)、點(diǎn)線及兩線的位置關(guān)系是不變的，若兩點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面中，兩點(diǎn)之間的距離一般會(huì)發(fā)生變化.要認(rèn)清從平面圖形到空間圖形之間的聯(lián)系，能夠從平面圖形的關(guān)系過渡到空間圖形的關(guān)系，根據(jù)問題畫出空間圖形.【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】高考對(duì)用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實(shí)質(zhì)上對(duì)學(xué)生空間想象能力及對(duì)平面基本定理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理的考查?？忌鶎?duì)這一類型的題感到吃力，實(shí)質(zhì)上高中階段對(duì)作截面的方法無(wú)非有如下兩種：一種是利有平面的基本定理：一個(gè)就是一條直線上有兩點(diǎn)在一平面內(nèi)則這條直線上所在的點(diǎn)都在這平面內(nèi)和兩平面相交有且僅有一條通過該公共點(diǎn)的直線（即交線） （注意該定理地應(yīng)用如證明諸線共點(diǎn)的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點(diǎn)在第三條直線上即轉(zhuǎn)化為此點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)而第三條直線是兩平的交線則依據(jù)定理知交點(diǎn)在第三條直線；諸點(diǎn)共線：即證明此諸點(diǎn)都是某兩平面的共公點(diǎn)即這此點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在兩平的交線上）據(jù)這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面內(nèi)通過空間想象分別取兩組直線分別相交，則其交點(diǎn)必為兩平面的公共點(diǎn)，并且兩交點(diǎn)的連線即為兩平的交線。另一種方法就是依據(jù)線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，去尋找線面平行及面面平行關(guān)系，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。一般情況下這兩種方法要結(jié)合應(yīng)用2.（1）正方體 ABCDA1 B1 C1 D1中，P、Q、R、分別是 AB、AD、B1 C1的中點(diǎn)。那么正方體的過 P、Q、R 的截面圖形是（）（A）三角形 （B）四邊形 （C）五邊形 （D）六邊形 (答案：D) （2）在正三棱柱ABC-111A B C中，P、Q、R 分別是BC、1CC、11AC的中點(diǎn)，作出過三點(diǎn) P、Q、R 截正三棱柱的截面并說(shuō)出該截面的形狀。 答案：五邊形。【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】解決異面直線所成角的問題關(guān)鍵是定義，基本思想是平移，同時(shí)對(duì)本題來(lái)說(shuō)是解決與兩異面直線所成的等角的直線條數(shù)，將兩異面直線平移到空間一點(diǎn)時(shí)，一方面考慮在平面內(nèi)和兩相交直線成等角的直線即角平分線是否滿足題意，另一方面要思考在空間中與一平面內(nèi)兩相交直線成等角的直線的條數(shù)，此時(shí)關(guān)鍵是搞清平面外的直線與平面內(nèi)的直線所成的角與平面內(nèi)的直線與平面外的直線在平面內(nèi)的射影所成的角的關(guān)系，由公式coscoscos（其中是直線與平面所成的角）易知coscos，coscos（最小角定理）故一般地，若異面直線 a、b 所成的角為，L 與a、b 所成的角均為，據(jù)上式有如下結(jié)論：當(dāng)02時(shí)，這樣的直線不存在；當(dāng)2時(shí)，這樣的直線只有一條；當(dāng)22時(shí)，這樣的直線有兩條；當(dāng)2時(shí)這樣的直線有 3 條；當(dāng)22時(shí)，這樣的直線有四條2.如果異面直線 a、b 所在的角為100,P 為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn) P 與 a、b 所成的角都是50的直線有幾條？A、一條 B 二條 C 三條 D 四條 (答案：C)【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 4】4】求異面直線所成的角，若所成角為求異面直線所成的角，若所成角為090，容易忽視用證明垂直的方法來(lái)求，容易忽視用證明垂直的方法來(lái)求夾角大小這一重要方法夾角大小這一重要方法 1、在三棱柱111ABCABC中，若12ABBB，則11ABC B與所成角的大小為（ ）A、060 B、090 C、0105 D、075【易錯(cuò)點(diǎn)分析】忽視垂直的特殊求法導(dǎo)致方法使用不當(dāng)而浪費(fèi)很多時(shí)間。解析：如圖1,D D分別為11,BC BC中點(diǎn)， 連結(jié)1,AD DC，設(shè)11,2BBAB則則 AD 為1AB在平面1BC上的射影。又11322,cos,323BCBEBDC BCBC22212cosDEBEBDBE BDC BC1132212323263而2220111,90362BEDEBDBED11ABC B與垂直?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】求異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時(shí)，對(duì)特殊的角，如090時(shí)，可以采用證明垂直的方法來(lái)求之【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 5】5】對(duì)于經(jīng)度和緯度兩個(gè)概念，經(jīng)度是二面角，緯度為線面角，二者容易混淆對(duì)于經(jīng)度和緯度兩個(gè)概念，經(jīng)度是二面角，緯度為線面角，二者容易混淆1、如圖，在北緯045的緯線圈上有 B 兩點(diǎn)，它們分別在東經(jīng)070與東經(jīng)0160的經(jīng)度上，設(shè)地球的半徑為 R，求 B 兩點(diǎn)的球面距離。解析：設(shè)北緯045圈的圓心為O，地球中心為 O，則00011607090 ,AO B0145 ,OBOOBR112,2O BO AR ABR連結(jié),AO AB，則0,60AOBOABRAOB11263ABRR。故 A、B 兩點(diǎn)間的球面距離為13R?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)上，某點(diǎn)的經(jīng)度是：經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的平面與本初子午線（00經(jīng)線）和地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。某點(diǎn)的緯度是：經(jīng)過這點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù)。如下圖：圖（1）：經(jīng)度P 點(diǎn)的經(jīng)度，也是ABAOB或的度數(shù)。圖（2）：緯度P 點(diǎn)的緯度，也是POAPA或的度數(shù)（III）由 II 知，OF 平面PBC，F(xiàn)是O在平面PBC內(nèi)的射影.D是PC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F是PBC的重心，則B、F、D三點(diǎn)共線，直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD.OBPC PCBD PBBC，即1K .反之，當(dāng)1K 時(shí)，三棱錐OPBC為正三棱錐，O在平面PBC內(nèi)的射影為PBC的重心.方法二:OP 平面ABC,OAOC ABBC,.OAOB OAOP OBOP以O(shè)為原點(diǎn)，射線OP為非負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖)，設(shè),ABa則2(,0,0)2Aa,2(0,0)2Ba,2(,0,0)2Ca.設(shè)OPh, 則(0,0, )Ph(I) D 為 PC 的中點(diǎn)，OD21(,0,)42ah，又2(,0,)2PAah,OD-12PAOD/PA OD/平面PAB.【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】解決關(guān)于向量問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考：要解決的問題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 7】7】常見幾何體的體積計(jì)算公式，特別是棱錐，球的體積公式容易忽視公式系常見幾何體的體積計(jì)算公式，特別是棱錐，球的體積公式容易忽視公式系數(shù)，導(dǎo)致出錯(cuò)數(shù)，導(dǎo)致出錯(cuò)1 如圖四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為矩形，AB=8，AD=4 3，側(cè)面 PAD 為 等邊三角形，并且與底面成二面角為060。求四棱錐 PABCD 的體積。解析：如圖，去 AD 的中點(diǎn) E，連結(jié) PE，則PEAD。作PO 平面 ABCD，垂足為 O，連結(jié) OE。根據(jù)三垂線定理的逆定理得OEAD，所以PEO為側(cè)面 PAD 與底面所成二面角的平面角。由已知條件可060 ,6PEOPE，所以3 3PO ，四棱錐 PABCD 的體積18 4 33 3963P ABCDV 。 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】計(jì)算簡(jiǎn)單幾何體的體積，要選擇某個(gè)面作為底面，選擇的前提條件是這個(gè)面上的高易求2、 如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，側(cè)棱AA1=2，D、E 分別是 CC1與 A1B 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的垂心 G.（）求A1B 與平面 ABD 所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示） ；(）求點(diǎn) A1到平面 AED 的距離. 答案：（）;32arcsin（）362.【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 9】9】二面角平面角的求法，主要有定義法、三垂線法、垂面法等二面角平面角的求法，主要有定義法、三垂線法、垂面法等1. 如圖所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知AA1A1C1a，E 為 BB1的中點(diǎn)，若截面 A1EC側(cè)面 AC1求截面 A1EC 與底面 A1B1C1所成銳二面角度數(shù)解法 1 截面 A1EC側(cè)面 AC1A1C連結(jié) AC1，在正三棱ABCA1B1C1中，截面 A1EC側(cè)面 AC1，就是所求二面角的度數(shù)易得A1AC145，故所求二面角的度數(shù)是 45解法 2 如圖 3 所示，延長(zhǎng) CE 與 C1B1交于點(diǎn) F，連結(jié)AF，則截面 A1EC面 A1B1CAFEB1面 A1B1C1，過 B1作B1GA1F 交 A1F 于點(diǎn) G，連接 EG，由三垂線定理知EGB1就是所求二面角的平面角 即所求二面角的度數(shù)為 45【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根據(jù)平面角的定義，作垂直于棱的平面，通過這個(gè)平面和二面角兩個(gè)面的交線得出平面角。（2）垂線法：是指在二面角的棱上取一特殊點(diǎn)，過此點(diǎn)在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)作兩條射線垂直于棱，則此兩條射線所成的角即為二面角的平面角；（3）三垂線法：是指利用三垂線定理或逆定理作出平面角易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 1010 三視圖三視圖一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：2cm）為( ) （A）48 12 2 （B）4824 2 （C）36 12 2 （D）3624 2解析:棱錐的直觀圖如右，則有PO4，OD3，由勾股定理，得 PD5，AB62，全面積為：2166221652162448122，故選.A。2、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，ADB90，AB2AD （）證明：PABD；（）若PDAD，求二面角A-PB-C的余弦值【解析】 （）由ADB90，可得BDAD因?yàn)镻D底面ABCD，所以PDBD又PDADD，所以BD平面PAD，因?yàn)镻A平面PAD，所以BDPA（4 分）（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)ADa，則A（a，0，0） ，B（0，a，0） ，C（a，a，0） ，P（0，0，a） ，（a，a，0） ，（a，0，0） ，（a，0，a） ，（a，a，a） 設(shè)平面PAB的法向量為n n（x，y，z） ，所以可得設(shè)y，則xz3，可得n n（3， ，3） 同理，可求得平面PBC的一個(gè)法向量為m m（0，1，） 所以cosm m，n n由圖形知，二面角A-PB-C為鈍角，因此二面角A-PB-C的余弦值是（12 分）3、如圖，四棱柱1111ABCDABC D的底面ABCD是平行四邊形，,E F分別在棱11,BB DD上，且1AFEC （1）求證：1AEFC；（2）若1AA 平面ABCD，四邊形1AEC F是邊長(zhǎng)為6的正方形，且1BE ，2DF ，求線段1CC的長(zhǎng), 并證明：1.ACEC【說(shuō)明】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，考查線線、線面平行的性質(zhì)和判定，線線垂直的性質(zhì)和判定，考查空間想象能力、運(yùn)算能力、把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的意識(shí)以及推理論證能力第 18 題圖A1ABCDC1B1D1FE1BB 平面,ABCDAC 平面,ABCD1ACBB. 1,BC BB 平面11,BBC CAC平面11.BBC C13 分1EC 平面11,BBC C 1.ACEC 14 分4、已知四棱柱1111ABCDABC D中，1AAABCD底面,90ADC，ABCD，122ADCDDDAB. 求證：11ADBC； 求二面角11ABDC的正弦值;（3）求四面體11ABDC的體積.【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到線面的垂直關(guān)系、二面角的求法、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用以及幾何體體積的求法.A1CD1DABB1C1 (3) 設(shè)所給四棱柱的體積為 V,則61AASVABCD，又三棱錐ABDA 1的體積等于三棱錐111CDAB 的體積，記為1V，而三棱錐111CDAD 的體積又等于三棱錐CBDC 1的體積，記為2V.則由于3221221311V， 3422221312V，所以所求四面體的體積為22221VVV. (12 分)5、如圖，在四面體ABCD中，二面角BCDA的平面角為60，,CDAC ,CDBD 且,2BDCDAC點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn).()求作平面，使EF，且AC平面,BD平面；（）求證：BCDEF平面.EDACGBPF6、已知四棱錐ABCDP 中，PA平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，90ADC，ADBC，ACAB ，2 ACAB，G為PAC重心，E為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且FBCF2.（）求證：FG平面PAB；（）求證：FGAC.【解析】()連接CG交AP于M點(diǎn)因?yàn)?2BFCFGMCG，所以BMFG/,又BM平面PAB，F(xiàn)G平面PAB所以/FG平面PAB 6分.8、三棱錐 O-ABC 中，OA、OB、OC 兩兩垂直，P 為 OC 中點(diǎn)，PQ 垂直 BC 于Q，OA=OB=OC=2，過 PQ 作一個(gè)截面，交 AB、AO 于R、S，使 PQRS 為梯形。（1）求SOAS、RBAR的值；（2）求五面體 ACPQRS 的體積?！窘馕觥?（1）因 PQRS 為梯形，只能是PSQR，于是得到PSACQRAC因 P 為 OC 中點(diǎn)，所以1SOAS因 PQ 垂直 BC，所以22 CQPQ而22CB所以31BCCQ即：31RBAR（2）連 OA，OR，PR342222131ABCOV43232322131OBRQV12112112131OSRPV81232112131OPQRV所以五面體 ACPQRS 的體積83)8112143(349、如圖，正方形 AA1D1D 與矩形 ABCD 所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點(diǎn) E 為 AB 上一點(diǎn)(I)當(dāng)點(diǎn)E為AB 的中點(diǎn)時(shí),求證；BD1/平面A1DE(II )求點(diǎn) A1到平面 BDD1的距離； (III)當(dāng)時(shí)，求二面角 D1-EC-D 的大小.解法二：（I）同解法一3 分（II）由面ABCD面ADD1A，且四邊形AA1D1D為正方形，四邊形ABCD為矩形，可得D1DAD，D1DDC，DCDA于是以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由AB=2AD=2 知：D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)， DB=(1，2，0)，1DD=(0，0，1)，BA1=(0，2，-1)設(shè)面BDD1的一A1D1AEBCyxz個(gè)法向量為n1)1(11zx，則 ，00111DDDBnn 即 ，00211zx )012(1， n 點(diǎn)A1到面BDD1的距離552|111nnBAd8 分（III）由（II）及題意知：E(1，32，0)，C(0，2，0)，) 1321 (1，ED，)0341(，EC設(shè)面D1EC的一個(gè)法向量為) 1(222， yx n，則 ，00212ECEDnn 即，03401322222yxyx可得) 12132(2，,n 又易知面DEC的一個(gè)法向量是1DD(0，0，1)，設(shè)D1-EC-D的大小為，則6161616611|cos1212 DDDDnn ，得61616arccos即D1-EC-D的大小為61616arccos1,2PNNCN點(diǎn)是點(diǎn)是PC的三等分點(diǎn)的三等分點(diǎn)2222=2(2 2)2 3PCPAAC，2 3.3PN 4 4 分分3,3PNPAAPNCPAPAPC 0,90PANPCAANP ，ANPC6 6 分分又又PCAM且且AMANA, ,PC 面面AMN. . 7 7 分分 （）設(shè)平面）設(shè)平面BAN的法向量為的法向量為( , , )nx y z， 0,0,n ABn AN (0,2, 1)n (2,2, 2)PC 是平面是平面AMN的法向量，的法向量， 1010 分分15cos,.5n PCn PCn PC 二面角二面角BANM的余弦值的余弦值155. . 1212 分分11、如圖所示四棱錐PABCD中,PA 底面ABCD,四邊形ABCD中,ABAD,/BCAD,2PAABBC,4AD ,E為PD的中點(diǎn),F為PC中點(diǎn).（）求證:CD 平面PAC； （）求證:/BF平面ACE；（）求直線PD與平面PAC所成的角的正弦值；【解析】（）因?yàn)镻A 底面ABCD,CD 面ABCD, 所以PACD,又因?yàn)橹苯翘菪蚊鍭BCD中,2 2,2 2ACCD, 所以222ACCDAD,即ACCD,又PAACA,所以CD 平面PAC；4 分 （）解法一解法一:如圖,連接BD,交AC于O,取PE中點(diǎn)G, 連接,BG FG EO,則在PCE中,/FGCE, 又EC 平面ACE,FG 平面ACE,所以/FG平面ACE, 因?yàn)?BCAD,所以BOGEODED,則/OEBG, 又OE平面ACE,BG 平面ACE,所以/BG平面ACE, 又BGFGG,所以平面/BFG平面ACE, 因?yàn)锽F 平面BFG,所以/BF平面ACE.10 分 解法二解法二:如圖,連接BD,交AC于O,取PE中點(diǎn)G, 連接FD交CE于H,連接OH,則/FGCE, 在DFG中,/HEFG,則12GEFHEDHD, 在底面ABCD中,/BCAD,所以12BOBCODAD, 所以12FHBOHDOD,故/BFOH,又OH 平面ACE,BF 平面ACE,所以/BF平面ACE.（）由（）可知,CD 平面PAC,所以DPC為直線PD與平面PAC所成的角, 在Rt PCD中,222 2,2 5CDPDPAAD, 所以2 210sin52 5CDDPCPD, 所以直線PD與平面PAC所成的角的正弦值為105.14 分12、如右圖所示，四棱錐 PABCD 中，側(cè)面 PDC 是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形且與底面垂直，底面 ABCD 是ADC=60的菱形，M 為 PB 的中點(diǎn) （1）求 PA 與底面 ABCD 所成角的大??；（2）求證：PA平面 CDM；（3）求二面角 DMCB 的余弦值（3）由（2）知MC 平面PAB，則NMB為二面角DMCB的平面角，在Rt PAB中，易得22226,6210PAPBPAPB（），210cos510ABPBAPB,10coscos()5NMBPBA 故，所求二面角的余弦值為105. 12分解法二：(1)同解法一. 4分(2)由底面ABCD為菱形且060ADC，2,1DCDO，有OADC 建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則( 3,0,0)A,(0,0, 3)P,(0, 1,0)D,( 3,2,0)B,(0,1,0)C由M為PB中點(diǎn)，33(,1)22M，33(,2)22DM uuu u r，,( 3,03)PA uu r，,(0,2,0)DC uuu r3332 0(3)022PA DM uu r uuu u rg032 00 (3)0PA DC uu r uuu rgPADM，PADC PA平面DMC8 分(3) 33(,0)22CM uuu r，,( 3,10)CB uur，.令平面BMC的法向量( ,)nx yzr，則0n CM r uuu rg，從而0 xz； , 0n CB r uurg，從而30 xy 由、，取1x ，則3,1yz 可取( 1, 31)n r，由(2)知平面CDM的法向量可取( 3,03)PA uu r，2 310cos556|n PAn PAn PA r uu rr uu rggu ruu rg所求二面角的余弦值為105.12分【解析】 （）,ADAE ADAF, 2 分又,AEAFA AEAEF AFAEF面面，4 分AD面AEF 5 分AOBCD14、如圖，已知AOB，AOB2，BAO6，AB4，D為線段AB的中點(diǎn)若AOC是AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的記二面角BAOC的大小為（1）當(dāng)平面COD平面AOB時(shí)，求的值；（2）當(dāng)2，23時(shí)，求二面角CODB的余弦值的取值范圍【解析】法一法一：（1）解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A (0，0，23)，B (0，2，0)， D (0，1，3)，C (2sin，2cos，0)設(shè)1n(x，y，z)為平面COD的一個(gè)法向量， 由110,0,n ODn OC 得sincos0,30,xyyz取zsin，則1n(3cos，3sin，sin)因?yàn)槠矫鍭OB的一個(gè)法向量為2n (1，0，0)，由平面COD平面AOB得1n2n 0，所以 cos0，即27 分（2）設(shè)二面角CODB的大小為，由（1）得當(dāng)2時(shí)， cos0；當(dāng)(2,23時(shí)，tan3，cos= 1212|nnnn 23cos3sin234tan3， 故55cos0綜上,二面角CODB的余弦值的取值范圍為55，015分法二：法二：（1）解：在平面AOB內(nèi)過B作OD的垂線，垂足為E，因?yàn)槠矫鍭OB平面COD，平面AOB平面CODOD，所以BE平面COD，故BECO又因?yàn)镺CAO，所以O(shè)C平面AOB，故OCOB又因?yàn)镺BOA，OCOA，所以二面角BAOC的平面角為COB，即2 7 分 （2）解：當(dāng)2時(shí)，二面角CODB的余弦值為 0；當(dāng)(2,23時(shí)，過C作OB的垂線，垂足為F，過F作OD的垂線，垂足為G，連結(jié)CG，則CGF的補(bǔ)角為二面角CODB的平面角在 RtOCF中，CF2 sin，OF2cos，在 RtCGF中，GFOF sin33cos，CG224sin3cos，所以 cosCGF FGCG223cos4sin3cos因?yàn)?2,23，tan3，故 0cosCGF234tan355所以二面角CODB的余弦值的取值范圍為 55，015分15、如圖 5，AB是圓柱ABFG的母線，C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱的點(diǎn)，O是圓柱上底面的圓心，BF過O點(diǎn)，DE是過O點(diǎn)的動(dòng)直徑，且AB=2，BF=2AB.（1）求證：BE平面ACD；（2）當(dāng)三棱錐DBCE的體積最大時(shí)，求二面角CDEA的平面角的余弦值.16、如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中90ADBCABC，PD 平面ABCD，AD 1，3AB ，4BC （）求直線AB與平面PDC所成的角；（）設(shè)點(diǎn)E在棱PC上，PEPC ，若DE平面PAB， 求的值A(chǔ)PECDB【解析】本小題將直四棱錐的底面設(shè)計(jì)為梯形，考查平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)本小題將直四棱錐的底面設(shè)計(jì)為梯形，考查平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí). .同時(shí)題目指同時(shí)題目指出一條側(cè)棱與底面垂直，搭建了空間直角坐標(biāo)系的基本架構(gòu)出一條側(cè)棱與底面垂直，搭建了空間直角坐標(biāo)系的基本架構(gòu). .本題通過分層設(shè)計(jì)，考查了空本題通過分層設(shè)計(jì)，考查了空間平行、垂直，以及線面成角等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求間平行、垂直，以及線面成角等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解解能力能力. . 滿分滿分 1414 分分. .法二法二如圖，在平面ABCD內(nèi)過D作直線DF/AB，交BC于F，分別以DA、DF、DP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.（）設(shè)PDa，則( 1,3,0),( 3, 3,)BDPCa ， 330BD PC ，BDPC. BDPDC DBPDC 面就是平面的法向量， .由條件知A（1，0，0） ，B（1，3，0） ，(0, 3,0),(1, 3,0)ABDB .設(shè)ABPDC與面所成角大小為，則|33sin.2| |2 3DB ABDBAB 09060 ,， 即直線ABPDC與平面所成角為60.6 6 分分（）C（3，3，0） ，記P（0，0，a） ，則03 0AB （，），(0, 0, )DPa ，PAa （1，0，- ），33PCa （，），而PEPC ，所以33PEa （，），DEDPPEDPPC (0,0, )( 33)aa ，=33 ,.aa（，）PEFBCDAGxyz設(shè)nx yz（，）為平面PAB的法向量，則00AB nPA n ，即300yxaz，即0yxaz.1zxa取，得， 進(jìn)而得,na（0 1）， 由/DEPAB平面,得0DE n ，30aa a-，10.4a而，1414 分分（3）假設(shè)在 BC 上存在一點(diǎn) M，使得點(diǎn) D 到平面 PAM 的距離為 2，則以PAM 為底 D 為頂點(diǎn)的三棱錐的高為 2，連結(jié) AM，則 AM=22ABBM=222BM，由（2）知 PAAM SPAM=222112 2422PAAMBMBMVDPAM=123PAMS=13242BM=2243BM11 分114 2422AMDSADAB 1184 2333P AMDAMDVSPA 12分VDPAM =P AMDV2243BM=83 解得：2 3BM 2 34在 BC 上存在一點(diǎn) M，當(dāng)2 3BM 使得點(diǎn) D 到平面 PAM 的距離為2。.14 分（）以 AB , AD , PA 為 x 軸、y 軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系則A（0 ，0， 0） ，B（1，0，0） ，C（1，1，0） ，P（0，0，1） ，E（0 , ,）,AC= （1,1,0）, AE = （0 , , ）-9 分設(shè)平面 AEC 的法向量n= （x, y,z） , 則00AEnACn ，即：020zyyx， 令 y = 1 , 則n= （- 1,1, - 2 ） -10分假設(shè)側(cè)棱 PC 上存在一點(diǎn) F, 且CF CP ， （0 1）, 使得：BF/平面 AEC, 則BFn 0又因?yàn)椋築F BC+ CF （0 ，1，0）+ （-,-,）= （-,1-,）,BFn+ 1- - 2= 0 , = ,所以存在 PC 的中點(diǎn) F, 使得 BF/平面AEC-13 分設(shè)E 0,0,m，平面1AEB的法向量為nx,y,z，依1AB2,2,4 ，AE2,0,m 且1nAB，nAE .可得1ABn2x2y4z0AE n2xmz0 取z2，得nm,m4,2-（4 分）當(dāng)E是棱1CC的中點(diǎn)時(shí)，m2.則n2, 2,2及CF1,1,0 得n CF0 故CF平面1AEB.-（2 分）（2）因平面1EBB的法向量為CA2,0,0， -（2 分）又二面角1AEBB的大小是045，故0CA ncos45CA n 即2222m22 mm44解得5m2.故在棱1CC上存在點(diǎn)E，使得二面角1AEBB的大小是045.此時(shí)5CE2.（4 分）（）AE平面CDE,90,AECCEAE,又 ABCD為正方形,所以有GEACGDGCGBGA21,所以四棱錐ABCDE 有外接球,且半徑為22512 分