2019高考數學二輪復習 第一篇 微型專題 微專題14 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例練習 理.docx

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14　統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 1.從編號為1~50的50枚最新研制的某種型號的導彈中隨機抽取5枚來進行發(fā)射實驗,若采用系統(tǒng)抽樣方法,則所選取5枚導彈的編號可能是(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43 C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32 解析?　間隔距離為10,故可能的編號是3,13,23,33,43,故選B. 答案?　B 2.若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示,則這組數據的中位數和平均數分別是(　　). A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92 解析?　∵這組數據由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96,∴中位數是91+922=91.5, 平均數x-=87+89+90+91+92+93+94+968=91.5. 答案?　A 3.從300名學生(其中男生180人,女生120人)中按性別用分層抽樣的方法抽取50人參加比賽,則應該抽取的男生人數為　　　　. 解析?　因為男生與女生的比例為180∶120=3∶2,所以應該抽取的男生人數為5033+2=30. 答案?　30 4.某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了5次試驗.根據收集到的數據(如下表),由最小二乘法求得線性回歸方程y＾=0.67x+54.9. 零件數x (個) 10 20 30 40 50 加工時間y (min) 62 75 81 89 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數據看不清,請你推斷出該數據的值為　　　　. 解析?　由x-=30,得y-=0.6730+54.9=75. 設表中的模糊數字為a, 則62+a+75+81+89=755,∴a=68. 答案?　68 能力1 ?　隨機抽樣的應用 【例1】　(1)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示: 若將運動員按成績由好到差編號為1~35,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數是(　　). A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 (2)我國古代數學專著《九章算術》中有一衰分問題:今有北鄉(xiāng)八千一百人,西鄉(xiāng)七千四百八十八人,南鄉(xiāng)六千九百一十二人,凡三鄉(xiāng),發(fā)役三百人,則北鄉(xiāng)遣(　　). A.104人 B.108人 C.112人 D.120人 解析?　(1)由題意知,將1~35號分成7組,每組5名運動員,成績落在區(qū)間[139,151]內的運動員共有4組,故由系統(tǒng)抽樣法知,共抽取4名.故選B. (2)由題意可知,這是一個分層抽樣的問題,其中北鄉(xiāng)可抽取的人數為30081008100+7488+6912=300810022500=108,故選B. 答案?　(1)B　(2)B 1.(1)系統(tǒng)抽樣適用的條件是總體容量較大,樣本容量也較大. (2)使用系統(tǒng)抽樣時,若總體容量不能被樣本容量整除,可以先從總體中隨機地剔除幾個個體,從而確定分段間隔. 2.分層抽樣問題類型及解題思路 (1)求某層應抽的個體數量:按該層所占總體的比例計算. (2)已知某層個體數量求總體容量或反之:根據分層抽樣就是按比例抽樣,列比例式進行計算. (3)確定是否應用分層抽樣:分層抽樣適用于總體中個體差異較大的情況. 1.將參加夏令營的600名學生按001,002,…,600進行編號.采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本,且隨機抽得的號碼為003.這600名學生分別住在三個營區(qū),從001到300在第Ⅰ營區(qū),從301到495在第Ⅱ營區(qū),從496到600在第Ⅲ營區(qū),則三個營區(qū)被抽中的人數依次為(　　). A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 解析?　由題意及系統(tǒng)抽樣的定義可知,將這600名學生按編號依次分成50組,每一組各有12名學生,第k(kN∈*)組抽中的號碼是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤300,得k≤1034,因此第Ⅰ營區(qū)被抽中的人數是25;令300<3+12(k-1)≤495,得10340.5. 而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5.所以2≤x<2.5. 由0.50(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04. 故可估計居民月均用水量的中位數為2.04噸. 1.莖葉圖的優(yōu)缺點:由莖葉圖可以清晰地看到數據的分布情況,這一點同頻率分布直方圖類似.它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數據,沒有任何信息損失,第二點是莖葉圖便于記錄和表示.其缺點是當樣本容量較大時,作圖較煩瑣. 2.(1)準確理解頻率分布直方圖的數據特點,頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距的結果,不要誤以為縱軸上的數據是各組的頻率,不要和條形圖混淆.(2)在很多題目中,頻率分布直方圖各小長方形的面積之和為1,是解題的關鍵,常利用樣本的頻率分布直方圖估計總體分布. 1.為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進行臨床試驗,所有志愿者的舒張壓數據(單位:kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組,…,第五組,如圖所示的是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數為(　　). A.6 B.8 C.12 D.18 解析?　志愿者的總人數為20(0.16+0.24)1=50,所以第三組的人數為500.36=18,有療效的人數為18-6=12,故選C. 答案?　C 2.某電子商務公司對10000名網絡購物者2017年度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額(單位:萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內,其頻率分布直方圖如圖所示: (1)直方圖中的a=　　　　; (2)在這些購物者中,消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內的購物者的人數為　　　　. 解析?　(1)由頻率分布直方圖, 可得0.20.1+0.80.1+1.50.1+20.1+2.50.1+a0.1=1,解得a=3. (2)消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內的頻率為0.20.1+0.80.1+20.1+30.1=0.6, 所以消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內的購物者的人數為0.610000=6000. 答案?　(1)3　(2)6000 能力3 ?　線性回歸分析 【例4】　某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計數據: 年份 2008 2010 2012 2014 2016 需求量/萬噸 236 246 257 276 286 　　(1)利用所給數據求年需求量y與年份x之間的線性回歸方程y＾=b＾x+a＾; (2)利用(1)中所求出的線性回歸方程預測該地2020年的糧食需求量. 附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b＾=∑i=1n(xi-x-)(yi-y-)∑i=1n(xi-x-)2,a＾=y--b＾x-. 解析?　(1)先將數據處理如下表: 年份-2012 -4 -2 0 2 4 需求量-257 -21 -11 0 19 29 　　對處理的數據,容易算得x--2012=0,y--257=3.2, b＾=(-4)(-24.2)+(-2)(-14.2)+0(-3.2)+215.8+425.8(-4)2+(-2)2+02+22+42=26040=6.5, a＾=(y--257)-b＾(x--2012)=3.2. 由上述計算結果,知所求線性回歸方程為 y＾-257=6.5(x-2012)+3.2, 即y＾=6.5(x-2012)+260.2. (2)利用所求得的線性回歸方程,可預測2020年的糧食需求量大約為6.5(2020-2012)+260.2=6.58+260.2=312.2(萬噸). 線性回歸分析問題的類型及解題方法 (1)求線性回歸方程 ①利用公式,求出回歸系數b＾. ②待定系數法:利用回歸直線過樣本點的中心求系數a＾. (2)利用回歸方程進行預測,把線性回歸方程看作一次函數,求函數值. (3)利用回歸直線判斷正、負相關;決定正相關還是負相關的是系數b＾. (4)回歸方程的擬合效果,可以利用相關系數判斷,當|r|越趨近于1時,兩變量的線性相關性越強. 某地區(qū)2011年至2017年農村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數據如下表: 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 6.2 6.9 　　(1)求y關于t的線性回歸方程; (2)利用(1)中的線性回歸方程,分析2011年至2017年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區(qū)2020年農村居民家庭人均純收入. 附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b＾=∑i=1n(ti-t-)(yi-y-)∑i=1n(ti-t-)2,a＾=y--b＾t-. 解析?　(1)由所給數據計算得 t-=17(1+2+3+4+5+6+7)=4, y-=17(3.9+4.3+4.6+5.4+5.8+6.2+6.9)=5.3, ∑i=17(ti-t-)2=9+4+1+0+1+4+9=28, ∑i=17(ti-t-)(yi-y-)=(-3)(-1.4)+(-2)(-1)+(-1)(-0.7)+00.1+10.5+20.9+31.6=14, b＾=∑i=17(ti-t-)(yi-y-)∑i=17(ti-t-)2=1428=0.5, a＾=y--b＾t-=5.3-0.54=3.3, 故所求線性回歸方程為y＾=0.5t+3.3. (2)由(1)知,b＾=0.5>0,故2011年至2017年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加0.5千元. 將2020年的年份代號t=10代入(1)中的線性回歸方程,得y＾=0.510+3.3=8.3, 故預測該地區(qū)2020年農村居民家庭人均純收入為8.3千元. 能力4 ?　獨立性檢驗 【例5】　微信是現(xiàn)代生活中人們進行信息交流的重要方式,某公司200名員工中90%的人使用微信,其中每天使用微信時間在一小時以內的有60人,若將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段,則使用微信的人中75%是青年人.若規(guī)定每天使用微信時間在一小時以上為經常使用微信,則經常使用微信的員工中有23是青年人. (1)若要調查該公司使用微信的員工經常使用微信與年齡的關系,列出22列聯(lián)表: 青年人 中年人 合計 經常使用微信 不經常使用微信 合計 　　(2)根據22列聯(lián)表中的數據利用獨立性檢驗的方法判斷是否有99.9%的把握認為“經常使用微信與年齡有關”. 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.010 0.001 k0 6.635 10.828 　　解析?　(1)由已知可得,該公司員工中使用微信的有20090%=180(人). 經常使用微信的有180-60=120(人), 其中青年人有12023=80(人), 使用微信的人中,青年人有18075%=135(人), 故22列聯(lián)表如下: 青年人 中年人 合計 經常使用微信 80 40 120 不經常使用微信 55 5 60 合計 135 45 180 　　(2)將列聯(lián)表中數據代入公式可得 K2的觀測值k=180(805-5540)21206013545≈13.333. 由于13.333>10.828,所以有99.9%的把握認為“經常使用微信與年齡有關”. 1.比較兩個分類變量有關聯(lián)的可能性大小的方法: (1)通過計算K2的大小判斷:K2越大,兩變量有關聯(lián)的可能性越大. (2)通過計算|ad-bc|的大小判斷:|ad-bc|越大,兩變量有關聯(lián)的可能性越大. 2.獨立性檢驗的一般步驟: (1)根據樣本數據制成22列聯(lián)表. (2)根據公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d),n=a+b+c+d計算K2的觀測值k. (3)比較k與臨界值的大小關系,做統(tǒng)計推斷. 為調查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人,結果如表所示: 性別　　 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 　　(1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例. (2)能否有99%的把握認為“該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關”? (3)根據(2)的結論,能否提出更好的調查方法來估計該地區(qū)的老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例?說明理由. 附: P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 　　K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d. 解析?　(1)調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助,所以該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例的估計值為70500100%=14%. (2)K2的觀測值k=500(40270-30160)220030070430≈9.967. 因為9.967>6.635,所以有99%的把握認為“該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關”. (3)由(2)的結論知,該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關,并且從樣本數據能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調查時,先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例,再采用分層抽樣方法進行抽樣調查,比采用簡單隨機抽樣方法更好. 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.某工廠平均每天生產某種機器零件10000件,要求產品檢驗員每天抽取50件零件,檢查其質量狀況,采用系統(tǒng)抽樣方法抽取,將零件編號為0000,0001,0002,…,9999,若抽取的第一組中的號碼為0010,則在第三組中抽取的號碼為(　　). A.0210 B.0410 C.0610 D.0810 解析?　將零件分成50段,分段間隔為200,因此,在第三組中抽取的號碼為0010+2200=0410,故選B. 答案?　B 2.某市2017年各月的平均氣溫(℃)數據的莖葉圖如下: 則這組數據的中位數是(　　). A.19 B.20 C.21.5 D.23 解析?　由莖葉圖知所有的數據為8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中間兩個數為20,20,故中位數為20,故選B. 答案?　B 3.某中學有高中生3500人,初中生1500人,為了解學生的學習情況,用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本,已知從高中生中抽取70人,則n的值為(　　). A.100 B.150 C.200 D.250 解析?　(法一)由題意可得70n-70=35001500,解得n=100. (法二)由題意得抽樣比為703500=150,總體容量為3500+1500=5000,故n=5000150=100,故選A. 答案?　A 4.下列說法錯誤的是(　　). A.回歸直線過樣本點的中心(x-,y-) B.線性回歸方程對應的直線y＾=b＾x+a＾至少經過其樣本數據點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一個點 C.在殘差圖中,殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄,其模型擬合的精度越高 D.在回歸分析中,R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好 解析?　回歸直線必過樣本點的中心,A正確;由殘差分析可知殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄,其模型擬合的精度越高,C正確;在回歸分析中,R2越接近于1,擬合效果越好,D正確;線性回歸方程對應的直線y＾=b＾x+a＾一定經過樣本點的中心(x-,y-),但不一定經過樣本的數據點,所以B錯誤,故選B. 答案?　B 5.在“青春校園歌手大賽”比賽現(xiàn)場上,七位評委為某選手打出的分數的莖葉圖如圖所示,則去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數據的平均數和方差分別為(　　). A.85和6.8 B.85和1.6 C.86和6.8 D.86和1.6 解析?　剩余的數據為83,83,84,85,90, 平均分x-=83+83+84+85+905=85, 所以方差s2=15[(83-85)2+(83-85)2+(84-85)2+(85-85)2+(90-85)2]=6.8,故選A. 答案?　A 6.已知x與y之間的幾組數據如下表: x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設根據上表數據所得的線性回歸方程為y＾=b＾x+a＾.若某同學根據上表中的前兩組數據(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y=bx+a,則以下結論正確的是(　　). A.b＾>b,a＾>a B.b＾>b,a＾a D.b＾a,故選C. 答案?　C 二、填空題 7.已知樣本數據x1,x2,…,xn的平均數x-=5,則樣本數據2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數為　　　　. 解析?　由x1,x2,…,xn的平均數x-=5,得2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數為2x-+1=25+1=11. 答案?　11 8.某單位為了了解用電量y(kWh)與氣溫x(℃)之間的關系,隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫,并制作了對照表: 氣溫(℃) 18 12 10 0 用電量(kWh) 27 34 37 62 由表中數據得線性回歸方程y＾=b＾x+a＾中的b＾=-2,預測當氣溫為-4 ℃時,用電量約為　　　　kWh. 解析?　根據題意知x-=18+12+10+04=10,y-=27+34+37+624=40.因為回歸直線過樣本點的中心,所以a＾=40-(-2)10=60,所以當x=-4時,y＾=(-2)(-4)+60=68,所以用電量約為68 kWh. 答案?　68 9.某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間(單位:分鐘),并將所得數據繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中,上學所需時間的范圍是[0,100],樣本數據分組為[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],則 (1)圖中的x=　　　　; (2)若上學所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿,則該校600名新生中估計有　　　　名學生可以申請住宿. 解析?　(1)由頻率分布直方圖知20x=1-20(0.025+0.0065+0.003+0.003),解得x=0.0125. (2)上學時間不少于1小時的學生的頻率為(0.003+0.003)20=0.12,因此估計有0.12600=72(人)可以申請住宿. 答案?　(1)0.0125　(2)72 三、解答題 10.某省會城市地鐵將于2019年6月開始運營,為此召開了一個價格聽證會,擬定價格后又進行了一次調查,隨機抽查了50人,他們的月收入與態(tài)度如下表: 月收入(單 位:百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 贊成定價 者人數 1 2 3 5 3 4 認為價格偏 高者人數 4 8 12 5 2 1 (1)若以區(qū)間的中點值為該區(qū)間內的人均月收入,求參與調查的人員中“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結果保留2位小數); (2)由以上統(tǒng)計數據填寫下面22列聯(lián)表,分析是否有99%的把握認為“月收入以5500元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”. 月收入不低于 5500元的人數 月收入低于 5500元的人數 合計 認為價格偏高者 贊成定價者 合計 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 　　解析?　(1)“贊成定價者”的月平均收入為 x1=201+302+403+505+603+7041+2+3+5+3+4 ≈50.56. “認為價格偏高者”的月平均收入為 x2=204+308+4012+505+602+7014+8+12+5+2+1 =38.75, ∴“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是x1-x2=50.56-38.75=11.81(百元). (2)根據條件可得22列聯(lián)表如下: 月收入不低于 5500元的人數 月收入低于 5500元的人數 合計 認為價格偏高者 3 29 32 贊成定價者 7 11 18 合計 10 40 50 　　K2的觀測值k=50(311-729)210401832≈6.272<6.635, ∴沒有99%的把握認為“月收入以5500元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”.