新編高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專(zhuān)題 立體幾何學(xué)生版

立體幾何立體幾何一、高考預(yù)測(cè)一、高考預(yù)測(cè)立體幾何由三部分組成，一是空間幾何體，二是空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系，三是立體幾何中的向量方法高考在命制立體幾何試題中，對(duì)這三個(gè)部分的要求和考查方式是不同的在空間幾何體部分，主要是以空間幾何體的三視圖為主展開(kāi)，考查空間幾何體三視圖的識(shí)別判斷、考查通過(guò)三視圖給出的空間幾何體的表面積和體積的計(jì)算等問(wèn)題，試題的題型主要是選擇題或者填空題，在難度上也進(jìn)行了一定的控制，盡管各地有所不同，但基本上都是中等難度或者較易的試題；在空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系部分，主要以解答題的方法進(jìn)行考查，考查的重點(diǎn)是空間線(xiàn)面平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，而且一般是這個(gè)解答題的第一問(wèn)；對(duì)立體幾何中的向量方法部分，主要以解答題的方式進(jìn)行考查，而且偏重在第二問(wèn)或者第三問(wèn)中使用這個(gè)方法，考查的重點(diǎn)是使用空間向量的方法進(jìn)行空間角和距離等問(wèn)題的計(jì)算，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問(wèn)題2。線(xiàn)面關(guān)系中三類(lèi)平行的共同點(diǎn)是“無(wú)公共點(diǎn)” ；三類(lèi)垂直的共同點(diǎn)是“成角 90”.線(xiàn)面平行、面面平行，最終化歸為線(xiàn)線(xiàn)平行；線(xiàn)面垂直、面面垂直，最終化歸為線(xiàn)線(xiàn)垂直.3。直線(xiàn)與平面所成角的范圍是2, 0；兩異面直線(xiàn)所成角的范圍是2, 0(.一般情況下，求二面角往往是指定的二面角，若是求兩平面所成二面角只要求出它們的銳角（直角）情況即可.4。立體幾何中的計(jì)算主要是角、距離、體積、面積的計(jì)算.兩異面直線(xiàn)所成角、直線(xiàn)與平面所成角的計(jì)算是重點(diǎn).求兩異面直線(xiàn)所成角可以利用平移的方法將角轉(zhuǎn)化到三角形中去求解，也可以利用空間向量的方法，特別要注意的是兩異面直線(xiàn)所成角的范圍.當(dāng)求出的余弦值為a時(shí)，其所成角的大小應(yīng)為|arccos a.特別需要注意的是：兩向量所成的角是兩向量方向所成的角，它與兩向量所在的異面直線(xiàn)所成角的概念是不一樣的.本題中的向量1BD與DE所成的角大小是兩異面直線(xiàn) DE 與 BD1所成角的補(bǔ)角.8.正方體中線(xiàn)面關(guān)系可以說(shuō)是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容，相當(dāng)一部分的高考題是以正方體作為載體進(jìn)行命題，或是截取正方體的一部分進(jìn)行命題.請(qǐng)?zhí)貏e關(guān)注正方體表面按不同形式的展開(kāi)圖，會(huì)由展開(kāi)的平面圖形想象立體圖形.9.三棱錐頂點(diǎn)在底面三角形內(nèi)射影為三角形的外心、內(nèi)心、垂心的條件要分清楚.外心：三側(cè)棱相等或三側(cè)棱與底面所成的角相等（充要條件） ；內(nèi)心：三側(cè)面與底面所成的二面角相等（充要條件） ；垂心：相對(duì)的棱垂直（充要條件）或三側(cè)棱兩兩垂直（充分條件）.10.關(guān)注正棱錐中的幾個(gè)直角三角形：（1）高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形；（2）側(cè)棱、斜高、底面棱長(zhǎng)的一半組成的直角三角形；（3）底面上的邊心距、底面外接圓半徑、底面棱長(zhǎng)的一半組成的直角三角形.（4）高、側(cè)棱、底面外接圓半徑組成的直角三角形.進(jìn)一步關(guān)注的是：側(cè)棱與底面所成角、側(cè)面與底面所成二面角的平面角都體現(xiàn)在這些直角三角形中.11。特別注意有一側(cè)棱與底面垂直且底面為正方形、直角梯形、菱形等四棱錐，關(guān)注四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.它們之間的線(xiàn)面關(guān)系也是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.12。對(duì)平面圖形的翻折問(wèn)題要有所了解：翻折后，在同一半平面內(nèi)的兩點(diǎn)、點(diǎn)線(xiàn)及兩線(xiàn)的位置關(guān)系是不變的，若兩點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面中，兩點(diǎn)之間的距離一般會(huì)發(fā)生變化.要認(rèn)清從平面圖形到空間圖形之間的聯(lián)系，能夠從平面圖形的關(guān)系過(guò)渡到空間圖形的關(guān)系，根據(jù)問(wèn)題畫(huà)出空間圖形.三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛2.（1）正方體 ABCDA1 B1 C1 D1中，P、Q、R、分別是 AB、AD、B1 C1的中點(diǎn)。那么正方體的過(guò) P、Q、R 的截面圖形是（）（A）三角形 （B）四邊形 （C）五邊形 （D）六邊形 (答案：D) （2）在正三棱柱ABC-111A B C中，P、Q、R 分別是BC、1CC、11AC的中點(diǎn)，作出過(guò)三點(diǎn) P、Q、R 截正三棱柱的截面并說(shuō)出該截面的形狀。 答案：五邊形。【知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)點(diǎn)拔】解決異面直線(xiàn)所成角的問(wèn)題關(guān)鍵是定義，基本思想是平移，同時(shí)對(duì)本題來(lái)說(shuō)是解決與兩異面直線(xiàn)所成的等角的直線(xiàn)條數(shù)，將兩異面直線(xiàn)平移到空間一點(diǎn)時(shí)，一方面考慮在平面內(nèi)和兩相交直線(xiàn)成等角的直線(xiàn)即角平分線(xiàn)是否滿(mǎn)足題意，另一方面要思考在空間中與一平面內(nèi)兩相交直線(xiàn)成等角的直線(xiàn)的條數(shù)，此時(shí)關(guān)鍵是搞清平面外的直線(xiàn)與平面內(nèi)的直線(xiàn)所成的角與平面內(nèi)的直線(xiàn)與平面外的直線(xiàn)在平面內(nèi)的射影所成的角的關(guān)系，由公式coscoscos（其中是直線(xiàn)與平面所成的角）易知coscos，coscos（最小角定理）故一般地，若異面直線(xiàn) a、b 所成的角為，L 與a、b 所成的角均為，據(jù)上式有如下結(jié)論：當(dāng)02時(shí)，這樣的直線(xiàn)不存在；當(dāng)2時(shí)，這樣的直線(xiàn)只有一條；當(dāng)22時(shí)，這樣的直線(xiàn)有兩條；當(dāng)2時(shí)這樣的直線(xiàn)有 3 條；當(dāng)22時(shí)，這樣的直線(xiàn)有四條2.如果異面直線(xiàn) a、b 所在的角為100,P 為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn) P 與 a、b 所成的角都是50的直線(xiàn)有幾條？A、一條 B 二條 C 三條 D 四條 (答案：C)【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 4】4】求異面直線(xiàn)所成的角，若所成角為求異面直線(xiàn)所成的角，若所成角為090，容易忽視用證明垂直的方法來(lái)求，容易忽視用證明垂直的方法來(lái)求夾角大小這一重要方法夾角大小這一重要方法 1、在三棱柱111ABCABC中，若12ABBB，則11ABC B與所成角的大小為（ ）A、060 B、090 C、0105 D、075【易錯(cuò)點(diǎn)分析】忽視垂直的特殊求法導(dǎo)致方法使用不當(dāng)而浪費(fèi)很多時(shí)間。解析：如圖1,D D分別為11,BC BC中點(diǎn)， 連結(jié)1,AD DC，設(shè)11,2BBAB則則 AD 為1AB在平面1BC上的射影。又11322,cos,323BCBEBDC BCBC22212cosDEBEBDBE BDC BC1132212323263而2220111,90362BEDEBDBED11ABC B與垂直。 【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)撥】求異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角和二面角時(shí)，對(duì)特殊的角，如090時(shí)，可以采用證明垂直的方法來(lái)求之【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 5】5】對(duì)于經(jīng)度和緯度兩個(gè)概念，經(jīng)度是二面角，緯度為線(xiàn)面對(duì)于經(jīng)度和緯度兩個(gè)概念，經(jīng)度是二面角，緯度為線(xiàn)面角，二者容易混淆角，二者容易混淆1、如圖，在北緯045的緯線(xiàn)圈上有 B 兩點(diǎn)，它們分別在東經(jīng)070與東經(jīng)0160的經(jīng)度上，設(shè)地球的半徑為 R，求 B 兩點(diǎn)的球面距離。解析：設(shè)北緯045圈的圓心為O，地球中心為 O，則00011607090 ,AO B0145 ,OBOOBR112,2O BO AR ABR連結(jié),AO AB，則0,60AOBOABRAOB11263ABRR。故 A、B 兩點(diǎn)間的球面距離為13R。【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)上，某點(diǎn)的經(jīng)度是：經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線(xiàn)與地軸確定的平面與本初子午線(xiàn)（00經(jīng)線(xiàn)）和地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。某點(diǎn)的緯度是：經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù)。如下圖：圖（1）：經(jīng)度P 點(diǎn)的經(jīng)度，也是ABAOB或的度數(shù)。圖（2）：緯度P 點(diǎn)的緯度，也是POAPA或的度數(shù)（III）由 II 知，OF 平面PBC，F(xiàn)是O在平面PBC內(nèi)的射影.D是PC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F是PBC的重心，則B、F、D三點(diǎn)共線(xiàn)，直線(xiàn)OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線(xiàn)BD.OBPC PCBD PBBC，即1K .反之，當(dāng)1K 時(shí)，三棱錐OPBC為正三棱錐，O在平面PBC內(nèi)的射影為PBC的重心.方法二:OP 平面ABC,OAOC ABBC,.OAOB OAOP OBOP以O(shè)為原點(diǎn)，射線(xiàn)OP為非負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖)，設(shè),ABa則2(,0,0)2Aa,2(0,0)2Ba,2(,0,0)2Ca.設(shè)OPh, 則(0,0, )Ph(I) D 為 PC 的中點(diǎn)，OD21(,0,)42ah，又2(,0,)2PAah,OD-12PAOD/PA OD/平面PAB.【知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)點(diǎn)拔】解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問(wèn)題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問(wèn)題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線(xiàn)的夾角和兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題.用空間向量解決立體幾何問(wèn)題一般可按以下過(guò)程進(jìn)行思考：要解決的問(wèn)題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 7】7】常見(jiàn)幾何體的體積計(jì)算公式，特別是棱錐，球的體積公式容易忽視公式系常見(jiàn)幾何體的體積計(jì)算公式，特別是棱錐，球的體積公式容易忽視公式系數(shù)，導(dǎo)致出錯(cuò)數(shù)，導(dǎo)致出錯(cuò)1 如圖四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為矩形，AB=8，AD=4 3，側(cè)面 PAD 為 等邊三角形，并且與底面成二面角為060。求四棱錐 PABCD 的體積。解析：如圖，去 AD 的中點(diǎn) E，連結(jié) PE，則PEAD。作PO 平面 ABCD，垂足為 O，連結(jié) OE。根據(jù)三垂線(xiàn)定理的逆定理得OEAD，所以PEO為側(cè)面 PAD 與底面所成二面角的平面角。由已知條件可060 ,6PEOPE，所以3 3PO ，四棱錐 PABCD 的體積18 4 33 3963P ABCDV 。 【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)撥】計(jì)算簡(jiǎn)單幾何體的體積，要選擇某個(gè)面作為底面，選擇的前提條件是這個(gè)面上的高易求【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)撥】求點(diǎn)到平面的距離一般由該點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，確定垂足，轉(zhuǎn)化為解三角形求邊長(zhǎng)，或者利用空間向量表示點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段，設(shè)法求出該向量，轉(zhuǎn)化為計(jì)算向量的模，也可借助體積公式利用等積求高2、 如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，側(cè)棱 AA1=2，D、E 分別是 CC1與 A1B 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的垂心 G.（）求 A1B 與平面 ABD 所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示） ；(）求點(diǎn) A1到平面 AED 的距離.答案：（）;32arcsin（）362.解法 2 如圖 3 所示，延長(zhǎng) CE 與 C1B1交于點(diǎn) F，連結(jié) AF，則截面 A1EC面A1B1CAFEB1面 A1B1C1，過(guò) B1作 B1GA1F 交 A1F 于點(diǎn) G，連接 EG，由三垂線(xiàn)定理知EGB1就是所求二面角的平面角 即所求二面角的度數(shù)為 45【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)撥】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根據(jù)平面角的定義，作垂直于棱的平面，通過(guò)這個(gè)平面和二面角兩個(gè)面的交線(xiàn)得出平面角。（2）垂線(xiàn)法：是指在二面角的棱上取一特殊點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)作兩條射線(xiàn)垂直于棱，則此兩條射線(xiàn)所成的角即為二面角的平面角；（3）三垂線(xiàn)法：是指利用三垂線(xiàn)定理或逆定理作出平面角易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 1010 三視圖三視圖一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：2cm）為( ) （A）48 12 2 （B）4824 2 （C）36 12 2 （D）3624 2解析:棱錐的直觀(guān)圖如右，則有 PO4，OD3，由勾股定理，得 PD5，AB62，全面積為：2166221652162448122，故選.A。2、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，ADB90，AB2AD （）證明：PABD；（）若PDAD，求二面角A-PB-C的余弦值4、已知四棱柱1111ABCDABC D中，1AAABCD底面,90ADC，ABCD，122ADCDDDAB. 求證：11ADBC； 求二面角11ABDC的正弦值;（3）求四面體11ABDC的體積.5、如圖，在四面體ABCD中，二面角BCDA的平面角為60，,CDAC ,CDBD 且,2BDCDAC點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn).()求作平面，使EF，且AC平面A1CD1DABB1C1,BD平面；（）求證：BCDEF平面.7、如圖，在三棱柱_111ABCABC中，1,ACBC ABBB，12,ACBCBBD為AB的中點(diǎn)，且1CDDA.求證：1BB 平面ABC；求多面體_111DBCABC的體積.8、三棱錐 O-ABC 中，OA、OB、OC 兩兩垂直，P 為 OC 中點(diǎn)，PQ 垂直 BC 于Q，OA=OB=OC=2，過(guò) PQ 作一個(gè)截面，交 AB、AO 于 R、S，使 PQRS 為梯形。（1）求SOAS、RBAR的值；（2）求五面體 ACPQRS 的體積。9、如圖，正方形 AA1D1D 與矩形 ABCD 所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點(diǎn) E 為 AB 上一點(diǎn)(I)當(dāng)點(diǎn)E為AB 的中點(diǎn)時(shí),求證；BD1/平面A1DEPCDEFBA(II )求點(diǎn) A1到平面 BDD1的距離；(III)當(dāng)時(shí)，求二面角 D1-EC-D 的大小.11、如圖所示四棱錐PABCD中,PA 底面ABCD,四邊形ABCD中,ABAD,/BCAD,2PAABBC,4AD ,E為PD的中點(diǎn),F為PC中點(diǎn).（）求證:CD 平面PAC； （）求證:/BF平面ACE；（）求直線(xiàn)PD與平面PAC所成的角的正弦值；12、如右圖所示，四棱錐 PABCD 中，側(cè)面 PDC 是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形且與底面垂直，底面 ABCD 是ADC=60的菱形，M 為 PB 的中點(diǎn) （1）求 PA 與底面 ABCD 所成角的大小；（2）求證：PA平面 CDM；（3）求二面角 DMCB 的余弦值15、如圖 5，AB是圓柱ABFG的母線(xiàn)，C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，O是圓柱上底面的圓心，BF過(guò)O點(diǎn)，DE是過(guò)O點(diǎn)的動(dòng)直徑，且AB=2，BF=2AB.（1）求證：BE平面ACD；（2）當(dāng)三棱錐DBCE的體積最大時(shí)，求二面角CDEA的平面題圖第19角的余弦值.17、如圖所示，圓柱的高為 2,PA 是圓柱的母線(xiàn)， ABCD 為矩形, AB=2，BC=4， E、F、G 分別是線(xiàn)段PA，PD，CD 的中點(diǎn)。（1）求證：平面 PDC平面 PAD；（2）求證：PB/面 EFG；（3）在線(xiàn)段 BC 上是否存在一點(diǎn) M，使得 D 到平面 PAM的距離為 2？若存在，求出 BM；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。18、如圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為 1 的正方形，PACD，PA = 1， PD，E為PD上一點(diǎn)，PE = 2ED（）求證：PA 平面ABCD；（）求二面角DACE的余弦值；（）在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF / 平面AEC？若存在，指出F點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，說(shuō)明理由 E P D C B A20、如圖,在四棱錐ABCDE 中,底面ABCD為正方形, AE平面CDE,已知4, 3DEAE.（）若F為DE的中點(diǎn),求證: BE/平面ACF；（）求直線(xiàn)BE與平面ABCD所成角的正弦值；（）如果四棱錐ABCDE 有外接球，求出四棱錐ABCDE 外接球的半徑，沒(méi)有的話(huà)請(qǐng)說(shuō)明理由.