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1、
課時(shí)鞏固過(guò)關(guān)練(十一) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用
一、選擇題
1．(20xx·廣東惠州二調(diào))數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2)，則數(shù)列{an}的第100項(xiàng)為( )
A. B.
C. D.
解析：＝(n≥2)兩邊取倒數(shù)可得－＝－，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)＝，公差d＝－＝1－＝，所以＝＋×(100－1)＝50?a100＝，故選D.
答案：D
2．(20xx·山東濟(jì)寧期中)已知在數(shù)列{an}中，an＝，其前n項(xiàng)和為，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線nx＋y＋(n＋1)＝0在y軸上的截距是( )
A．－10 B．－9
C．10 D．9
2、解析：an＝＝－，前n項(xiàng)和為Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－，由題意可得1－＝，解得n＝9，直線nx＋y＋(n＋1)＝0，即為9x＋y＋10＝0，令x＝0，可得y＝－10.故選A.
答案：A
3．(20xx·山東東營(yíng)期中)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
解析：依題意可知a1＋a2＝3，a3＋a4＝3，…，a9＋a10＝3，∴a1＋a2＋…＋a10＝5×3＝15.故選A.
答案：A
4．(20xx·山西晉中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，其前n項(xiàng)和Sn＝，則項(xiàng)數(shù)n等
3、于( )
A．13 B．10
C．9 D．6
解析：∵數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，∴an＝1－，∴Sn＝＋＋＋…＋＝n－＝n－＝n－1＋.由Sn＝＝n－1＋，可得n＝6.故選D.
答案：D
5．已知數(shù)列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為( )
A. B.
C. D.
解析：∵an＝＝，
∴bn＝＝＝4，
∴Sn＝4＝4＝.
答案：B
6．已知在等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a6＝11，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn≤對(duì)n∈N*恒成立，則正整數(shù)m的最小值為( )
A．5 B．4
C．3 D．2
4、
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a2＝3，a6＝11，
∴解得
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∴＝
＝.
其前n項(xiàng)和為Sn＝
＝＝.
∵Sn≤對(duì)n∈N*恒成立，∴m≥，
∵＝<＝5.
∴m≥5.則正整數(shù)m的最小值為5.故選A.
答案：A
7．(20xx·中原名校二聯(lián))已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax的圖象在點(diǎn)A(0，f(0))處的切線l與直線2x－y＋2＝0平行，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S20的值為( )
A. B.
C. D.
解析：因?yàn)閒(x)＝x2＋ax，所以f ′(x)＝2x＋a，又函數(shù)f(x)＝x2＋ax的圖象在點(diǎn)A(0，f(0))處的
5、切線l與直線2x－y＋2＝0平行，所以f ′(0)＝a＝2，所以f(x)＝x2＋2x，所以＝＝＝，
所以S20＝
＝＝.故選A.
答案：A
二、填空題
8．(20xx·河北衡水四調(diào))設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(n∈N*)，若a∥b，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的最小值為_(kāi)_________．
解析：向量a＝(1,2)，b＝(n∈N*)，若a∥b，可得an＝＝2，∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2
＝.數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，∴Sn的最小值為S1＝1.故答案為1.
答案：1
三、解答題
9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
6、
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn＋＝λ(λ為常數(shù))．令cn＝b2n(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn.
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得
解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.
(2)由題意知Tn＝λ－，所以n≥2時(shí)，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝.故cn＝＝(n－1)n－1，n∈N*.
所以Rn＝0×0＋1×1＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1，則Rn＝0×1＋1×2＋2×3＋…＋(n－2)×n－1＋(n－1)×n，兩式相減得Rn＝1＋2＋3＋…＋
7、n－1－(n－1)×n＝－(n－1)×n＝－n，整理得Rn＝.所以數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn＝.
10．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*)．
(1)若a1＝－2，點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；
(2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
解：據(jù)題設(shè)可得bn＝2an.
(1)∵b7＝2a7＝2－2＋6d，∴4×2－2＋6d＝2－2＋7d，∴d＝2，∴Sn＝－2n＋n(n－1)＝n(n－3)．
(2)將f(x)＝2x求導(dǎo)得f ′(
8、x)＝2xln2，∴f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－b2＝2 (x－a2)ln2，令y＝0，得－b2＝(2ln2)×(x－a2)，x＝a2－，∴a2＝2，∴d＝2－1＝1，∴an＝n，bn＝2n，∴＝，其前n項(xiàng)和Tn＝＋＋＋…＋＋ ①，兩邊同乘2得2Tn＝＋＋＋…＋ ②，②－①得2Tn－Tn＝＋＋＋…＋－＝2－－，∴Tn＝.
11．已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．
解：(1)設(shè)數(shù)
9、列{an}的公差為d，依題意，2,2＋d,2＋4d成等比數(shù)列，所以(2＋d)2＝2(2＋4d)，解得d＝0或d＝4.當(dāng)d＝0時(shí)，an＝2；當(dāng)d＝4時(shí)，an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2或an＝4n－2.
(2)當(dāng)an＝2時(shí)，Sn＝2n，顯然2n<60n＋800，不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800.當(dāng)an＝4n－2時(shí)，Sn＝＝2n2，令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n<－10(舍去)．此時(shí)存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41.綜上所述，當(dāng)an＝2時(shí)，不存在正整數(shù)n；當(dāng)an＝4n－2時(shí)，存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41.
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