新版高考數(shù)學(xué)浙江專(zhuān)用總復(fù)習(xí)教師用書(shū)：第2章 第4講　冪函數(shù)與二次函數(shù) Word版含解析

11第第 4 講講冪函數(shù)與二次函數(shù)冪函數(shù)與二次函數(shù)最新考綱1.了解冪函數(shù)的概念；掌握冪函數(shù) yx，yx2，yx3，yx12，y1x的圖象和性質(zhì)；2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.知 識(shí) 梳 理1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如 yx的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中 x 是自變量，為常數(shù).(2)常見(jiàn)的 5 種冪函數(shù)的圖象(3)常見(jiàn)的 5 種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yx12yx1定義域RRR0，)x|xR，且 x0值域R0，)R0， )y|yR，且 y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0).頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為 f(x)的零點(diǎn).(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0 時(shí)，冪函數(shù) yxn在(0，)上是增函數(shù).()(3)二次函數(shù) yax2bxc(xR)不可能是偶函數(shù).()(4)二次函數(shù) yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.()解析(1)由于冪函數(shù)的解析式為 f(x)x，故 y2x13不是冪函數(shù)，(1)錯(cuò).(3)由于當(dāng) b0 時(shí)，yax2bxcax2c 為偶函數(shù)，故(3)錯(cuò).(4)對(duì)稱(chēng)軸 xb2a，當(dāng)b2a小于 a 或大于 b 時(shí)，最值不是4acb24a，故(4)錯(cuò).答案(1)(2)(3)(4)2.(20 xx全國(guó)卷)已知 a243，b323，c2513，則()A.bacB.abcC.bcaD.caab.答案A3.已知 f(x)x2pxq 滿(mǎn)足 f(1)f(2)0，則 f(1)的值是()A.5B.5C.6D.6解析由 f(1)f(2)0 知方程 x2pxq0 的兩根分別為 1，2，則 p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6.答案C4.(20 xx杭州測(cè)試)若函數(shù) f(x)是冪函數(shù)，則 f(1)_，若滿(mǎn)足 f(4)8f(2)，則 f13 _.解析由題意可設(shè) f(x)x，則 f(1)1，由 f(4)8f(2)得 482，解得3，所以 f(x)x3，故 f13 133127.答案11275.若冪函數(shù)y(m23m3)xm2m2的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)， 則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi).解析由m23m31，m2m20，解得 m1 或 2.經(jīng)檢驗(yàn) m1 或 2 都適合.答案1 或 26.若函數(shù) f(x)x22(a1)x2 在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_.解析二次函數(shù) f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是 x1a，由題意知 1a3，a2.答案(，2考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例 1】 (1)(20 xx濟(jì)南診斷測(cè)試)已知冪函數(shù) f(x)kx的圖象過(guò)點(diǎn)12，22 ，則 k等于()A.12B.1C.32D.2(2)若(2m1)12(m2m1)12，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是()A.， 512B.512，C.(1，2)D.512，2解析(1)由冪函數(shù)的定義知 k1.又 f12 22，所以1222，解得12，從而 k32.(2)因?yàn)楹瘮?shù) yx12的定義域?yàn)?，)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于2m10，m2m10，2m1m2m1.解得m12，m 512或 m512，1m2，即512m0 時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)和(1，1)，在第一象限的圖象上升；當(dāng)0時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，過(guò)(1，1)，在第一象限的圖象下降.(3)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【訓(xùn)練 1】 (1)冪函數(shù) yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù) yf(x)的圖象是()(2)已知冪函數(shù) f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，且在(0，)上是減函數(shù)，則 n 的值為()A.3B.1C.2D.1 或 2解析(1)設(shè) f(x)x(R)，則 42，12，因此 f(x)x12，根據(jù)圖象的特征，C 正確.(2)冪函數(shù) f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是減函數(shù)，n22n21，n23n0，其圖象如圖所示，又x4，6，f(|x|)在區(qū)間4，1)和0，1)上為減函數(shù)，在區(qū)間1，0)和1，6上為增函數(shù).規(guī)律方法解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)題時(shí)要注意：(1)拋物線(xiàn)的開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸位置、定義區(qū)間三者相互制約，常見(jiàn)的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類(lèi)討論；(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用， 尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問(wèn)題， 先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍.【訓(xùn)練 2】 (1)設(shè) abc0，二次函數(shù) f(x)ax2bxc 的圖象可能是()(2)(20 xx武漢模擬)若函數(shù) f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù) a，bR)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?，4，則該函數(shù)的解析式 f(x)_.解析(1)由 A，C，D 知，f(0)c0，所以 ab0，知 A，C 錯(cuò)誤，D 滿(mǎn)足要求；由 B 知 f(0)c0，所以 ab0，所以 xb2axk 在區(qū)間3，1上恒成立，試求 k 的取值范圍.解(1)由題意知b2a1，f（1）ab10，解得a1，b2.所以 f(x)x22x1，由 f(x)(x1)2知，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，1.(2)由題意知，x22x1xk 在區(qū)間3，1上恒成立，即 kx2x1 在區(qū)間3，1上恒成立，令 g(x)x2x1，x3，1，由 g(x)x12234知 g(x)在區(qū)間3，1上是減函數(shù)，則 g(x)ming(1)1，所以 k1，故 k 的取值范圍是(，1).規(guī)律方法(1)對(duì)于函數(shù) yax2bxc，若是二次函數(shù)，就隱含著 a0，當(dāng)題目未說(shuō)明是二次函數(shù)時(shí)，就要分 a0 和 a0 兩種情況討論.(2)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，其依據(jù)是 af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.【訓(xùn)練 3】 (20 xx九江模擬)已知 f(x)x22(a2)x4， 如果對(duì) x3， 1， f(x)0 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_(kāi).解析因?yàn)?f(x)x22(a2)x4，對(duì)稱(chēng)軸 x(a2)，對(duì) x3，1，f(x)0 恒成立，所以討論對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間3，1的位置關(guān)系得：（a2）3，f（3）0，或3（a2）1，0，或（a2）1，f（1）0，解得 a或 1a4 或12a1，所以 a 的取值范圍為12，4.答案12，4命題角度二二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【例 32】 (20 xx全國(guó)卷)已知函數(shù) f(x)(xR)滿(mǎn)足 f(x)f(2x)，若函數(shù) y|x22x3|與 yf(x)圖象的交點(diǎn)為(x1， y1)， (x2， y2)， ， (xm， ym)， 則 mi1xi()A.0B.mC.2mD.4m解析由f(x)f(2x)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng).又y|x22x3|(x1)24|的圖象也關(guān)于直線(xiàn) x1 對(duì)稱(chēng)，所以這兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于直線(xiàn) x1 對(duì)稱(chēng).不妨設(shè) x1x20 時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)和(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“上升”；f(1)，則()A.a0，4ab0B.a0，2ab0D.af(1)，所以函數(shù)圖象應(yīng)開(kāi)口向上，即 a0，且其對(duì)稱(chēng)軸為 x2，即b2a2，所以 4ab0.答案A3.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù) yxa(a0)和 yax1a的圖象可能是()解析若 a0，yxa的圖象知排除 A，B 選項(xiàng)，但 yax1a的圖象均不適合，綜上選B.答案B4.若函數(shù) f(x)x2axa 在區(qū)間0，2上的最大值為 1，則實(shí)數(shù) a 等于()A.1B.1C.2D.2解析函數(shù) f(x)x2axa 的圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得，f(0)a，f(2)43a，a43a，a1或a43a，43a1，解得 a1.答案B5.若關(guān)于 x 的不等式 x24x2a0 在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()A.(，2)B.(2，)C.(6，)D.(，6)解析不等式 x24x2a0 在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解等價(jià)于 a(x24x2)max，令 f(x)x24x2，x(1，4)，所以 f(x)f(4)2，所以 a1225，得223123253，即 PRQ.答案PRQ7.若 f(x)x22ax 與 g(x)ax1在區(qū)間1，2上都是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是_.解析由 f(x)x22ax 在1，2上是減函數(shù)可得1，2a，)，a1.y1x1在(1，)上為減函數(shù)，由 g(x)ax1在1，2上是減函數(shù)可得 a0，故 0f(a1)的實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解冪函數(shù) f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2， 2)， 22(m2m)1，即 2122(m2m)1.m2m2.解得 m1 或 m2.又mN*，m1.f(x)x12，則函數(shù)的定義域?yàn)?，)，并且在定義域上為增函數(shù).由 f(2a)f(a1)得2a0，a10，2aa1，解得 1a1，即 a12時(shí)，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即 a1 滿(mǎn)足題意.綜上可知，a13或1.能力提升題組(建議用時(shí)：25 分鐘)11.(20 xx浙江卷)已知函數(shù) f(x)x2bx， 則“b0”是“f(f(x)的最小值與 f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析f(x)x2bxxb22b24，當(dāng) xb2時(shí)，f(x)minb24.又 f(f(x)(f(x)2bf(x)f（x）b22b24，當(dāng) f(x)b2時(shí)，f(f(x)minb24，當(dāng)b2b24時(shí)，f(f(x)可以取到最小值b24，即 b22b0，解得 b0 或 b2，故“b0，若 a，bR，且 ab0，則 f(a)f(b)的值()A.恒大于 0B.恒小于 0C.等于 0D.無(wú)法判斷解析依題意，冪函數(shù) f(x)在(0，)上是增函數(shù)，m2m11，4m9m510，解得 m2，則 f(x)x2 015.函數(shù) f(x)x2 015在 R 上是奇函數(shù)，且為增函數(shù).由 ab0，得 ab，f(a)f(b)，則 f(a)f(b)0.答案A13.已知函數(shù) f(x)2x，x2，（x1）3，x2，若關(guān)于 x 的方程 f(x)k 有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是_.解析作出函數(shù) yf(x)的圖象如圖.則當(dāng) 0k0，bR，cR).(1)若函數(shù) f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1，F(xiàn)(x)f（x） ，x0，f（x） ，x0，（x1）2，x0.F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由 a1，c0，得 f(x)x2bx，從而|f(x)|1 在區(qū)間(0， 1上恒成立等價(jià)于1x2bx1 在區(qū)間(0， 1上恒成立，即 b1xx 且 b1xx 在(0，1上恒成立.又1xx 的最小值為 0，1xx 的最大值為2.2b0.故 b 的取值范圍是2，0.15.(20 xx嘉興模擬)已知 mR，函數(shù) f(x)x2(32m)x2m.(1)若 0m12，求|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)；(2)對(duì)任意的 m(0，1，若 f(x)在0，m上的最大值為 h(m)，求 h(m)的最大值.解(1)f(x)x32m224m28m174，則對(duì)稱(chēng)軸為 x32m2，由 0m12，得 02m1，則 132m232，故函數(shù) f(x)在1，1上為增函數(shù)，則當(dāng) x1 時(shí)，函數(shù) f(x)取得最大值，f(1)4m；當(dāng) x1 時(shí)，函數(shù) f(x)取得最小值 f(1)3m2.又0m12，03m32，2|f(1)|，即|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)f(1)4m.(2)由(1)知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為 x32m2，且函數(shù)開(kāi)口向下，由 0m1，則 02m2，所以1232m232，若 m32m2， 即 032m2，即34m1 時(shí)，函數(shù) f(x)在0，m上不單調(diào)，此時(shí)當(dāng) x32m2時(shí)，函數(shù) f(x)取得最大值 h(m)m22m174，即 h(m)m22m174，34m1，3m24m2，0m34，當(dāng) 0m34時(shí)，h(m)3m24m2 的對(duì)稱(chēng)軸為 m42（3）23，即當(dāng) m23時(shí)，函數(shù) h(m)取得最大值 h23 32324232103.當(dāng)34m1 時(shí)， h(m)m22m174的對(duì)稱(chēng)軸為 m1， 此時(shí)函數(shù) h(m)在34，1上為減函數(shù)，則函數(shù) h(m)h34 3422341745316103.所以 h(m)的最大值為103.