2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法復(fù)數(shù)推理與證明 第2講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入講義 理(含解析).doc
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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法復(fù)數(shù)推理與證明 第2講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入講義 理(含解析).doc
第2講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入考綱解讀1.理解復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件(重點(diǎn))2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及幾何意義,能將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點(diǎn)或向量表示,并能將復(fù)平面上的點(diǎn)或向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)用代數(shù)形式表示3.能進(jìn)行復(fù)數(shù)形式的四則運(yùn)算,并了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義(重點(diǎn)、難點(diǎn))考向預(yù)測(cè) 從近三年高考情況來(lái)看,本講在高考中屬于必考內(nèi)容. 預(yù)測(cè)2020年將會(huì)考查:復(fù)數(shù)的基本概念與四則運(yùn)算;復(fù)數(shù)模的計(jì)算;復(fù)數(shù)的幾何意義. 題型為客觀題,難度一般不大,屬于基礎(chǔ)題型.1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的,復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的,即(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,bR)(2)復(fù)數(shù)zabi(a,bR) 平面向量.3復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算(1)運(yùn)算法則設(shè)z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),則(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對(duì)任何z1,z2,z3C,有z1z2z2z1,(z1z2)z3z1(z2z3)(3)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律,即對(duì)于任意z1,z2,z3C,有z1z2z2z1,(z1z2)z3z1(z2z3),z1(z2z3)z1z2z1z3.(4)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義復(fù)數(shù)加法的幾何意義:若復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量,不共線,則復(fù)數(shù)z1z2是所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義:復(fù)數(shù)z1z2是即所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)4模的運(yùn)算性質(zhì):|z|2|2z;|z1z2|z1|z2|;.1概念辨析(1)關(guān)于x的方程ax2bxc0(a,b,cR且a0)一定有兩個(gè)根()(2)若復(fù)數(shù)abi中a0,則此復(fù)數(shù)必是純虛數(shù)()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念,因此復(fù)數(shù)可以比較大小()(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)(2017全國(guó)卷)()A12i B12i C2i D2i答案D解析2i.故選D.(2)(2018北京高考)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案D解析設(shè)復(fù)數(shù)zi,所以z的共軛復(fù)數(shù)i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第四象限(3)(2018華南師大附中一模)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)zcos3isin3(i為虛數(shù)單位),則|z|為()A4 B3 C2 D1答案D解析|z|1.(4)設(shè)復(fù)數(shù)z12i,z2a2i(i為虛數(shù)單位,aR),若z1z2R,則a_.答案4解析因?yàn)閦1z2(2i)(a2i)2a2(4a)i,且z1z2是實(shí)數(shù),所以4a0即a4.題型 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1設(shè)mR,m2m2(m21)i是純虛數(shù),其中i是虛數(shù)單位,則m()A1 B1 C2 D2答案C解析因?yàn)閙2m2(m21)i是純虛數(shù),所以解得m2.2若(1i)(23i)abi(a,bR,i是虛數(shù)單位),則a,b的值分別等于()A3,2 B3,2 C3,3 D1,4答案A解析因?yàn)?1i)(23i)32iabi,所以a3,b2.3(2018合肥一檢)設(shè)i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z的虛部是()A. B C1 D1答案B解析復(fù)數(shù)zi,則z的虛部為.4(2018全國(guó)卷)設(shè)z2i,則|z|()A0 B. C1 D.答案C解析因?yàn)閦2i2i2ii,所以|z|1,故選C.有關(guān)處理復(fù)數(shù)基本概念問(wèn)題的關(guān)鍵因?yàn)閺?fù)數(shù)的分類、相等、模、共軛復(fù)數(shù)等問(wèn)題都與實(shí)部與虛部有關(guān),所以處理復(fù)數(shù)有關(guān)基本概念問(wèn)題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,即轉(zhuǎn)化為abi(a,bR)的形式,再?gòu)亩x出發(fā),把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理.1(2019安徽安慶模擬)設(shè)i是虛數(shù)單位,如果復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等,那么實(shí)數(shù)a的值為()A. B C3 D3答案C解析,由題意知2a1a2,解得a3.故選C.2已知集合AN,BxR|z3xi,且|z|5(i為虛數(shù)單位),則AB_.答案4解析因?yàn)閨z|5,所以x4,所以B4,4,所以AB43(2017浙江高考)已知a,bR,(abi)234i(i是虛數(shù)單位),則a2b2_,ab_.答案52解析因?yàn)?abi)2a2b22abi.由(abi)234i,得解得a24,b21.所以a2b25,ab2.題型 復(fù)數(shù)的幾何意義1(2019福州質(zhì)檢)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,z12i,則()A1i B.iC1i D1i答案B解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,z12i,所以z22i,所以i,故選B.2若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線yx上,則z()A1 B2 C1 D2答案B解析因?yàn)閦i,且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線yx上,所以1,a2,所以z(1i)(1i)1i22.3若復(fù)數(shù)z滿足|z|1;|zi|12i|,則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為_(kāi)答案4解析設(shè)zxyi(x,yR),由|z|1及|zi|12i|易得x2y21及x2(y1)25知z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)圖形的面積為54.條件探究1把舉例說(shuō)明1中的“實(shí)軸”改為“虛軸”,求z1z2.解因?yàn)閺?fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,z12i,所以z22i.所以z1z2(2i)(2i)i2225.條件探究2將舉例說(shuō)明1中z1對(duì)應(yīng)的向量繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得z2對(duì)應(yīng)的向量,試求.解如圖所示,z12i,z212i,所以i.復(fù)數(shù)幾何意義及應(yīng)用1復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系,即zabi(a,bR)Z(a,b).2由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問(wèn)題的解決更加直觀提醒:|z|的幾何意義:令zxyi(x,yR),則|z|,由此可知表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|的幾何意義;|z1z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z1,z2的兩點(diǎn)之間的距離.1在復(fù)平面內(nèi),若O(0,0),A(2,1),B(0,3),則在OACB中,點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A22i B22i C1i D1i答案A解析在OACB中,(2,1)(0,3)(2,2),所以點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為22i.2如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)是1,復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足(z1i)z1,則復(fù)數(shù)z1()AiB.iC.iDi答案B解析由圖可知z2i,因?yàn)?z1i)z1,所以z1iiii.題型 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算角度1復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算1(1)(2018天津高考)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)_;(2)已知i是虛數(shù)單位,82018_.答案(1)4i(2)1i解析(1)4i.(2)原式81009i81009i8i10091i425211i.角度2復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用2若復(fù)數(shù)(1i)(cosisin)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_答案,kZ解析(1i)(cosisin)(cossin)(sincos)i,此復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(cossin,sincos)由題意得角終邊所在的區(qū)域如圖所示所以2k<<2k,kZ.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的加減法在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時(shí),可類比合并同類項(xiàng),運(yùn)用法則(實(shí)部與實(shí)部相加減,虛部與虛部相加減)計(jì)算即可(2)復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng),不含i的看作另一類同類項(xiàng),分別合并即可(3)復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式2記住以下結(jié)論,可提高運(yùn)算速度(1)(1i)22i;(2)i;(3)i;(4)bai;(5)i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i(nN).1(2018太原二模)()A2 B2 C. D答案A解析2.2若復(fù)數(shù)z滿足(12i)z1i,則|()A. B. C. D.答案C解析z,|z|.3復(fù)數(shù)zcos75isin75(i是虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi),z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限答案二解析z2(cos75isin75)2(cos275sin275)(2sin75cos75)icos150isin150i,其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限