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第2課時 正弦定理和余弦定理
學習目標 1.熟練掌握正弦、余弦定理及其變形形式.2.掌握用兩邊夾角表示的三角形面積.
3.能利用正弦、余弦定理解決有關三角形的恒等式化簡、證明及形狀判斷等問題．
知識點一 正弦定理、余弦定理及常見變形
1．正弦定理及常見變形
(1)＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圓的半徑)；
(2)a＝＝＝2RsinA；
(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.
2．余弦定理及常見變形
(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC；
(2)cosA＝，
cosB＝，
cosC＝.
知識點二 用兩邊夾角表示的三角形面積公式
一般地，三角形面積等于兩邊及夾角正弦乘積的一半，即S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
思考1 S△ABC＝absinC中，bsinC的幾何意義是什么？
答案 BC邊上的高．
思考2 如何用AB，AD，角A表示?ABCD的面積？
答案 S?ABCD＝ABADsinA.
1．當b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形．( )
2．△ABC中，若cos2A＝cos2B，則A＝B.( √ )
3．在△ABC中，恒有a2＝(b－c)2＋2bc(1－cosA)．( √ )
4．△ABC中，若c2－a2－b2>0，則角C為鈍角．( √ )
5．△ABC的面積S＝abc(其中R為△ABC外接圓半徑)．( √ )
題型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 在△ABC中，若ccosB＝bcosC，cosA＝，求sinB的值．
解 由ccosB＝bcosC，結(jié)合正弦定理，
得sinCcosB＝sinBcosC，
故sin(B－C)＝0，∵0
0，所以能組成銳角三角形．
2．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，則sinB等于( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 由2b2－2a2＝ac＋2c2，得2(a2＋c2－b2)＋ac＝0.
由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB，
∴4accosB＋ac＝0.
∵ac≠0，∴4cosB＋1＝0，cosB＝－，
又B∈(0，π)，∴sinB＝＝.
3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60，則邊c等于( )
A．1B．2C．4D．6
答案 C
解析 ∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，
∴13＝c2＋9－2c3cos 60，
即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．
4．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60，則ab的值為( )
A.B．8－4C．1D.
答案 A
解析 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC
＝(a＋b)2－2ab－2abcosC，
∴(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cosC)
＝2ab(1＋cos60)＝3ab＝4，
∴ab＝.
5．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c2－b2＝ab，C＝，則的值為( )
A.B．1C．2D．3
答案 C
解析 由余弦定理得c2－b2＝a2－2abcosC＝a2－ab＝ab，所以a＝2b，所以由正弦定理得＝＝2.
6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，則C等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由正弦定理＝和3sinA＝5sinB，
得3a＝5b，即b＝a，
又b＋c＝2a，∴c＝a，
由余弦定理得cosC＝＝－，
∴C＝.
7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是( )
A.B.C.D．3
答案 C
解析 由題意得c2＝a2＋b2－2ab＋6，
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，
∴－2ab＋6＝－ab，即ab＝6.
∴S△ABC＝absinC＝.
8．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin∠BAC等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 在△ABC中，由余弦定理，得
AC2＝BA2＋BC2－2BABCcos∠ABC
＝()2＋32－23cos＝5.
∴AC＝，由正弦定理＝，得
sin∠BAC＝＝＝＝.
二、填空題
9．若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB，則B＝.
答案 45
解析 由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝.
又因為B為三角形的內(nèi)角，所以B＝45.
10．在△ABC中，角A，B，C的對邊a，b，c滿足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8，則△ABC的面積為．
答案 2
解析 因為b2＋c2＝a2＋bc，
所以cosA＝＝，所以A＝，
三角形面積S＝bcsinA＝8＝2.
11．在△ABC中，a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則A＝.
答案 30
解析 由sinC＝2sinB及正弦定理，得c＝2b，
把它代入a2－b2＝bc，得a2－b2＝6b2，
即a2＝7b2.
由余弦定理，得
cosA＝＝＝＝，
又0
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1.1.2
余弦定理第2課時正弦定理和余弦定理學案含解析新人教B版必修5
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