新編高考數(shù)學(xué)浙江專用總復(fù)習(xí)教師用書：第2章 第5講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) Word版含解析

第第 5 講講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)最新考綱1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景；2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義， 掌握冪的運算； 3.了解指數(shù)函數(shù)的概念， 掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.知 識 梳 理1.根式(1)概念：式子na叫做根式，其中 n 叫做根指數(shù)，a 叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：(na)na(a 使na有意義)；當(dāng) n 為奇數(shù)時，nana，當(dāng) n 為偶數(shù)時，nan|a|a，a0，a，a0，m，nN*，且 n1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 amn1nam(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0；0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ.3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念；函數(shù) yax(a0 且 a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù) x 是變量，函數(shù)的定義域是 R，a 是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a0 時，y1；當(dāng) x0 時，0y1當(dāng) x1；當(dāng) x0 時，0y1)的值域是(0，).()解析(1)由于4（4）44444，故(1)錯.(2)(1)244（1）21，故(2)錯.(3)由于指數(shù)函數(shù)解析式為 yax(a0，且 a1)，故 y2x1不是指數(shù)函數(shù)，故(3)錯.(4)由于 x211，又 a1，ax21a.故 yax21(a1)的值域是a，)，(4)錯.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 1P52 例 5 改編)化簡(2)612(1)0的結(jié)果為()A.9B.7C.10D.9解析原式(26)121817.答案B3.函數(shù) yaxa1(a0，且 a1)的圖象可能是()解析函數(shù) yax1a是由函數(shù) yax的圖象向下平移1a個單位長度得到， A 項顯然錯誤；當(dāng) a1 時，01a1，平移距離小于 1，所以 B 項錯誤；當(dāng) 0a1，平移距離大于 1，所以 C 項錯誤，故選 D.答案D4.(20 xx山東卷)設(shè) a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，則 a，b，c 的大小關(guān)系是()A.abcB.acbC.bacD.bca解析根據(jù)指數(shù)函數(shù) y0.6x在 R 上單調(diào)遞減可得 0.61.50.60.61，bac.答案C5.指數(shù)函數(shù) y(2a)x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是_.解析由題意知 02a1，解得 1a0，b0)；(2)27823(0.002)1210( 52)1( 2 3)0.解(1)原式（a3b2a13b23）12ab2a13b13a3216113b113213ab1.(2)原式2782315001210521827235001210( 52)14910 510 52011679.規(guī)律方法(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，但應(yīng)注意：必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；運算的先后順序.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).【訓(xùn)練 1】 化簡求值：(1)23502221412(0.01)0.5；(2)（a23b1）12a12b136ab5.解(1)原式1144912110012114231101161101615.(2)原式a13b12a12b13a16b56a131216b1213561a.考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例 2】 (1)函數(shù) f(x)1e|x|的圖象大致是()(2)若曲線|y|2x1 與直線 yb 沒有公共點，則 b 的取值范圍是_.解析(1)f(x)1e|x|是偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對稱，又 e|x|1，f(x)的值域為(，0，因此排除 B、C、D，只有 A 滿足.(2)曲線|y|2x1 與直線 yb 的圖象如圖所示，由圖象可知：如果|y|2x1 與直線 yb 沒有公共點，則 b 應(yīng)滿足的條件是b1，1.答案(1)A(2)1，1規(guī)律方法(1)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù) a 與 1 的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論.(2)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.【訓(xùn)練2】(1)(20 xx福建五校聯(lián)考)定義運算aba，ab，b，ab，則函數(shù)f(x)12x的圖象是()(2)方程 2x2x 的解的個數(shù)是_.解析(1)因為當(dāng) x0 時，2x1；當(dāng) x0 時，2x1.則 f(x)12x2x，x0，1，x0，圖象 A 滿足.(2)方程的解可看作函數(shù) y2x和 y2x 的圖象交點的橫坐標(biāo)， 分別作出這兩個函數(shù)圖象(如圖).由圖象得只有一個交點，因此該方程只有一個解.答案(1)A(2)1考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(易錯警示)【例 3】 (1)下列各式比較大小正確的是()A.1.72.51.73B.0.610.62C.0.80.11.250.2D.1.70.30.93.1(2)已知函數(shù) f(x)13ax24x3.若 a1，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值.(1)解析A 中，函數(shù) y1.7x在 R 上是增函數(shù)，2.53，1.72.51.73，錯誤；B 中，y0.6x在 R 上是減函數(shù)，10.62，正確；C 中，(0.8)11.25，問題轉(zhuǎn)化為比較 1.250.1與 1.250.2的大小.y1.25x在 R 上是增函數(shù)，0.10.2，1.250.11.250.2，即 0.80.11, 00.93.10.93.1，錯誤.故選 B.答案B(2)解當(dāng) a1 時，f(x)13x24x3，令 ux24x3(x2)27.在(，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，而 y13u在 R 上單調(diào)遞減，所以 f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，即函數(shù) f(x)的遞增區(qū)間是(2，)，遞減區(qū)間是(，2).令 h(x)ax24x3，y13h（x），由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)應(yīng)有最小值1，因此必有a0，12a164a1，解得 a1，即當(dāng) f(x)有最大值 3 時，a 的值等于 1.由 f(x)的值域是(0，)知，ax24x3 的值域為 R，則必有 a0.規(guī)律方法(1)比較指數(shù)式的大小的方法是：能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.易錯警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時， 當(dāng)?shù)讛?shù) a 與“1”的大小關(guān)系不確定時，要分類討論.【訓(xùn)練 3】 (1)(20 xx天津卷)已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)2|xm|1(m 為實數(shù))為偶函數(shù)，記 af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則 a，b，c 的大小關(guān)系為()A.abcB.cabC.acbD.cba(2)設(shè)函數(shù) f(x)x13，x8，2ex8，x0時，f(x)為增函數(shù)，log0.53log23，所以 log25|log23|0，所以 bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)，故 bac，選 B.(2)當(dāng) x8 時，f(x)x133，x27，即 8x27；當(dāng) x8 時，f(x)2ex83 恒成立，故 x8.綜上，x(，27.答案(1)B(2)(，27思想方法1.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡運算.2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令 x1 得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù) a 的大小，當(dāng)?shù)讛?shù) a 與 1 的大小關(guān)系不確定時應(yīng)分 0a1 兩種情況分類討論.易錯防范1.對與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題，要弄清楚復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，并且一定要注意函數(shù)的定義域.2.對可化為 a2xbaxc0 或 a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式， 常借助換元法解題，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40 分鐘)一、選擇題1.(20 xx衡水中學(xué)模擬)若 a23x，bx2，clog23x，則當(dāng) x1 時，a，b，c 的大小關(guān)系是()A.cabB.cbaC.abcD.ac1 時，0a23 x1，clog23x0，所以 ca1，b1，b0C.0a0D.0a1，b0解析由 f(x)axb的圖象可以觀察出，函數(shù) f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以 0a1.函數(shù) f(x)axb的圖象是在 f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以 b0.答案D3.(20 xx德州一模)已知 a3525，b2535，c2525，則()A.abcB.cbaC.cabD.bc25，b25，ac，bc0，且 a1)，如果以 P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)為端點的線段的中點在 y 軸上，那么 f(x1)f(x2)等于()A.1B.aC.2D.a2解析以 P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)為端點的線段的中點在 y 軸上，x1x20.又f(x)ax，f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01.答案A5.(20 xx西安調(diào)研)若函數(shù) f(x)a|2x4|(a0，且 a1)，滿足 f(1)19，則 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(，2B.2，)C.2，)D.(，2解析由 f(1)19，得 a219，解得 a13或 a13(舍去)，即 f(x)13|2x4|.由于 y|2x4|在(，2上遞減，在2，)上遞增，所以 f(x)在(，2上遞增，在2，)上遞減.答案B二、填空題6.3213760814422323_.解析原式2313123421423132.答案27.(20 xx溫州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x，x1，12x1，x1，則f(f(2)_， 不等式f(x3)1 時，即 x4 時，12x315，當(dāng) x31 時，即 x4 時，x312，解得 x72，綜上所述不等式 f(x3)f(2)的解集為x|x5.答案12x|x58.(20 xx安徽江淮十校聯(lián)考)已知 max(a，b)表示 a，b 兩數(shù)中的最大值.若 f(x)maxe|x|，e|x2|，則 f(x)的最小值為_.解析f(x)ex，x1，e|x2|，x1.當(dāng) x1 時，f(x)exe(x1 時，取等號)，當(dāng) xe，因此 x1 時，f(x)有最小值 f(1)e.答案e三、解答題9.已知 f(x)1ax112 x3(a0，且 a1).(1)討論 f(x)的奇偶性；(2)求 a 的取值范圍，使 f(x)0 在定義域上恒成立.解(1)由于 ax10，則 ax1，得 x0，所以函數(shù) f(x)的定義域為x|x0.對于定義域內(nèi)任意 x，有f(x)1ax112 (x)3ax1ax12 (x)311ax112 (x)31ax112 x3f(x).f(x)是偶函數(shù).(2)由(1)知 f(x)為偶函數(shù)，只需討論 x0 時的情況，當(dāng) x0 時，要使 f(x)0，即1ax112 x30，即1ax1120，即ax12（ax1）0，則 ax1.又x0，a1.因此 a1 時，f(x)0.10.已知定義域為 R 的函數(shù) f(x)2xb2x1a是奇函數(shù).(1)求 a，b 的值；(2)解關(guān)于 t 的不等式 f(t22t)f(2t21)0.解(1)因為 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，所以 f(0)0，即1b2a0，解得 b1，所以 f(x)2x12x1a.又由 f(1)f(1)知214a1211a，解得 a2.(2)由(1)知 f(x)2x12x121212x1.由上式易知 f(x)在(，)上為減函數(shù)(此處可用定義或?qū)?shù)法證明函數(shù) f(x)在 R 上是減函數(shù)).又因為 f(x)是奇函數(shù)，所以不等式 f(t22t)f(2t21)0 等價于 f(t22t)2t21，即 3t22t10，解不等式可得 t1 或 t13，故原不等式的解集為t|t1 或 t13 .能力提升題組(建議用時：25 分鐘)11.若存在正數(shù) x 使 2x(xa)0，所以由 2x(xa)x12x，令 f(x)x12x，則函數(shù) f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以 f(x)f(0)01201，所以 a1.答案D12.已知函數(shù) f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是()A.a0，b0，c0B.a0C.2a2cD.2a2c2解析作出函數(shù) f(x)|2x1|的圖象如圖中實線所示，abf(c)f(b)，結(jié)合圖象知 a0，0c1，02a1，12c2，f(a)|2a1|12af(c)，即 12a2c1，2a2c0，g（x） ，x0， 且 a1)對應(yīng)的圖象如圖所示，那么 g(x)_.解析依題意，f(1)12，a12，f(x)12x，x0.當(dāng) x0.g(x)f(x)12x2x.答案2x(xf(x)的實數(shù) x 的范圍；(2)若 f(x)9x對任意的 xR 恒成立，求實數(shù) m 的范圍.解(1)當(dāng) m415時，f(x1)f(x)，則4156x14x14156x4x，整理得436x34x，即32x322，解得 x2，即實數(shù) x 的取值范圍是(2，).(2)因為對任意的 xR，f(x)9x恒成立，則 m6x4x9x，整理得 m4x9x6x23x123x.對任意的 xR，23x0，所以23x123x2，則 m2，即實數(shù) x 的取值范圍是(，2.15.(20 xx天津期末)已知函數(shù) f(x)exex(xR，且 e 為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)判斷函數(shù) f(x)的單調(diào)性與奇偶性；(2)是否存在實數(shù) t， 使不等式 f(xt)f(x2t2)0 對一切 xR 都成立？若存在，求出 t；若不存在，請說明理由.解(1)f(x)ex1ex，f(x)ex1ex，f(x)0 對任意 xR 都成立，f(x)在 R 上是增函數(shù).又f(x)的定義域為 R，且 f(x)exexf(x)，f(x)是奇函數(shù).(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函數(shù)和奇函數(shù)， 則f(xt)f(x2t2)0對一切xR都成立，f(x2t2)f(tx)對一切 xR 都成立，x2t2tx 對一切 xR 都成立，t2tx2xx12214對一切 xR 都成立，t2t(x2x)min14t2t14t1220，又t1220，t1220，t12.存在 t12，使不等式 f(xt)f(x2t2)0 對一切 xR 都成立.