2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 綜合檢測 新人教A版選修1 -1.doc

綜合檢測 時間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．命題“若a>b，則a＋1>b”的逆否命題是(　　) A．若a＋1≤b，則a>b B．若a＋1<b，則a>b C．若a＋1≤b，則a≤b D．若a＋1<b，則a<b 解析：“若a>b，則a＋1>b”的逆否命題為“若a＋1≤b，則a≤b”，故選C. 答案：C 2．函數(shù)y＝(x－a)(x－b)在x＝a處的導(dǎo)數(shù)為(　　) A．a(chǎn)b B．－a(a－b) C．0 D．a(chǎn)－b 解析：∵y＝x2－(a＋b)x＋ab，∴y′＝2x－(a＋b)， ∴y′＝2a－(a＋b)＝a－b. 答案：D 3．過點P(1，－3)的拋物線的標準方程為(　　) A．x2＝y(tǒng)或x2＝－y B．x2＝y(tǒng) C．y2＝－9x或x2＝y(tǒng) D．x2＝－y或y2＝9x 解析：P(1，－3)在第四象限，所以拋物線只能開口向右或向下，設(shè)方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－y. 答案：D 4．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(3,9) B．(－∞，－1)，(3，＋∞) C．(－1,3) D．(－∞，3)，(9，＋∞) 解析：∵f(x)＝x3－3x2－9x， ∴f　′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)． 令f　′(x)>0知x>3或x<－1. 答案：B 5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意得＝， e2＝＝1＋＝1＋＝. 答案：A 6．設(shè)a，b，c均為正實數(shù)，則“a>b”是“ac>bc”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：根據(jù)充分性和必要性的概念判斷．因為a，b，c是正實數(shù)，所以a>b等價于ac>bc，即“a>b”是“ac>bc”的充要條件，故選C. 答案：C 7．已知命題p：?x∈(－∞，0)，2x<3x；命題q：?x∈R，f(x)＝x3－x2＋6的極大值為6，則下面選項中真命題是(　　) A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∨(綈q) C．p∨(綈q) D．p∧q 解析：由2x<3x得()x<1，當x<0時，()x>1，所以命題p為假命題．綈p為真，選B. 答案：B 8．已知曲線y＝x4＋ax2＋1在點(－1，a＋2)處切線的斜率為8，則a＝(　　) A．9 B．6 C．－9 D．－6 解析：y′＝4x3＋2ax，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在點(－1，a＋2)處的切線斜率k＝y(tǒng)′＝－4－2a＝8，解得a＝－6. 答案：D 9．雙曲線－＝1與橢圓＋＝1(a>0，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a，b，m為邊長的三角形一定是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 解析：雙曲線的離心率e＝，橢圓的離心率e＝，由已知ee＝1，即＝1，化簡，得a2＋b2＝m2. 答案：C 10.已知f(x)的導(dǎo)函數(shù)f　′(x)圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能是圖中的(　　) 解析：∵x∈(－∞，－2)時，f　′(x)<0，∴f(x)為減函數(shù)；同理f(x)在(－2,0)上為增函數(shù)，(0，＋∞)上為減函數(shù)． 答案：A 11．已知函數(shù)y＝f(x)，數(shù)列{an}的通項公式是an＝f(n)(n∈N*)，那么“函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”一定成立．當函數(shù)y＝f(x)在[1,2]上先減后增，且f(1)<f(2)時，數(shù)列{an}也可以單調(diào)遞增，因此“函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A. 答案：A 12．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，若P為其上一點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為(　　) A．(1,3) B．(1,3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|＝4a， ∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|， ∴6a≥2c，≤3， 故雙曲線離心率的取值范圍是(1,3]，選B. 答案：B 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上) 13．函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋2a(a>0)的極大值為正數(shù)，極小值為負數(shù)，則a的取值范圍是________． 解析：∵f　′(x)＝3x2－3a2 ＝3(x－a)(x＋a)(a>0)， ∴f　′(x)>0時，得：x>a或x<－a， f　′(x)<0時，得－a<x<a. ∴當x＝a時，f(x)有極小值，x＝－a時，f(x)有極大值． 由題意得：解得a>1. 答案：(1，＋∞) 14．若命題“?x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意可知，Δ＝(1－a)2－4>0， 解得a<－1或a>3. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 15．過拋物線C：y2＝4x的焦點F作直線l交拋物線C于A，B兩點，若A到拋物線準線的距離為4，則|AB|＝________. 解析：設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵y2＝4x，∴拋物線準線為x＝－1，F(xiàn)(1,0)，又A到拋物線準線的距離為4， ∴xA＋1＝4，∴xA＝3，∵xAxB＝＝1，∴xB＝， ∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋＋2＝. 答案： 16. 已知雙曲線x2－y2＝1，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為________． 解析：由雙曲線的方程可知a＝1，c＝， ∴||PF1|－|PF2||＝2a＝2， ∴|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4， ∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝8， ∴2|PF1||PF2|＝4， ∴(|PF1|＋|PF2|)2＝8＋4＝12， ∴|PF1|＋|PF2|＝2. 答案：2 三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)已知c>0，設(shè)命題p：函數(shù)y＝cx為減函數(shù)．命題q：當x∈時，函數(shù)f(x)＝x＋>恒成立．如果p或q為真命題，p且q為假命題，求c的取值范圍． 解析：由命題p為真知，0<c<1， 由命題q為真知，2≤x＋≤， 要使此式恒成立，需<2，即c>， 若p或q為真命題，p且q為假命題， 則p、q中必有一真一假， 當p真q假時， c的取值范圍是0<c≤； 當p假q真時，c的取值范圍是c≥1. 綜上可知，c的取值范圍是. 18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(x∈[－1,2])，且函數(shù)f(x)在x＝1和x＝－處都取得極值． (1)求a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解析：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由題易知，解得 (2)由(1)知，f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)， ∵當x∈時，f′(x)>0； 當x∈時，f′(x)<0； 當x∈(1,2]時，f′(x)>0. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1,2]． 19．(12分)已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點． (1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求線段AB的中點M到準線的距離． 解析：(1)因為直線l的傾斜角為60，如圖．所以其斜率k＝tan 60＝，又F(，0)． 所以直線l的方程為y＝(x－)． 聯(lián)立消去y得 x2－5x＋＝0. 若設(shè)A(x1，y1)， B(x2，y2)．則x1＋x2＝5， 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p. ∴|AB|＝5＋3＝8. (2)設(shè)A(x1，y1)，B (x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點M的橫坐標是3，又準線方程是x＝－，所以M到準線的距離等于3＋＝. 20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ex－f(0)x＋x2(e是自然對數(shù)的底數(shù))． (1)求函數(shù)f(x)的解析式和單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)g(x)＝x2＋a與函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[－1,2]上恰有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)由已知得f　′(x)＝ex－f(0)＋x， 令x＝1，得f　′(1)＝f　′(1)－f(0)＋1， 即f(0)＝1. 又f(0)＝，所以f　′(1)＝e. 從而f(x)＝ex－x＋x2. 顯然f　′(x)＝ex－1＋x在R上單調(diào)遞增且f　′(0)＝0， 故當x∈(－∞，0)時，f　′(x)<0； 當x∈(0，＋∞)時，f　′(x)>0. ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)， 單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)． (2)由f(x)＝g(x)得a＝ex－x. 令h(x)＝ex－x，則h　′(x)＝ex－1. 由h　′(x)＝0得x＝0. 所以當x∈(－1,0)時，h　′(x)<0； 當x∈(0,2)時，h　′(x)>0. ∴h(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增． 又h(0)＝1，h(－1)＝1＋，h(2)＝e2－2且h(－1)<h(2)． ∴兩個圖象恰有兩個不同的交點時，實數(shù)a的取值范圍是. 21．( 13分)如圖，已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，點A，B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為. (1)求橢圓C的標準方程； (2)已知點E(3,0)，設(shè)點P，Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求的取值范圍． 解析：(1)由離心率e＝＝， 得＝＝.∴a＝2b.① ∵原點O到直線AB的距離為， 直線AB的方程為bx－ay＋ab＝0，∴＝.② 將①代入②，得b2＝9，∴a2＝36. 則橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)∵EP⊥EQ，∴＝0， ∴＝(－)＝2 設(shè)P(x，y)，則y2＝9－， ∴＝2＝(x－3)2＋y2 ＝x2－6x＋9＋9－. ＝(x－4)2＋6. ∵－6≤x≤6.∴6≤(x－4)2＋6≤81， 則的取值范圍為[6,81]． 22．(13分)在一定面積的水域中養(yǎng)殖某種魚類，每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量p是網(wǎng)箱個數(shù)x的一次函數(shù)，如果放置4個網(wǎng)箱，則每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量為16噸；如果放置7個網(wǎng)箱，則每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量為10噸，由于該水域面積限制，最多只能放置10個網(wǎng)箱． (1)試問放置多少個網(wǎng)箱時，總產(chǎn)量Q最高？ (2)若魚的市場價為m萬元/噸，養(yǎng)殖的總成本為(5ln x＋1)萬元． ①當m＝0.25時，應(yīng)放置多少個網(wǎng)箱才能使總收益y最大？ ②當m≥0.25時，求使得收益y最高的所有可能的x值組成的集合． 解析：(1)設(shè)p＝ax＋b，由已知得所以所以p＝－2x＋24，所以Q＝px＝(－2x＋24)x＝－2(x－6)2＋72(x∈N*，x≤10)，所以當x＝6時，f(x)最大，即放置6個網(wǎng)箱時，可使總產(chǎn)量達到最大． (2)總收益為y＝f(x)＝(－2x2＋24x)m－(5ln x＋1)(x∈N*，x≤10)， ①當m＝0.25時，f(x)＝(－2x2＋24x)－(5ln x＋1)＝－x2＋6x－5ln x－1，所以f　′(x)＝－， 當1<x<5時，f　′(x)>0，當5<x<10時，f　′(x)<0，所以x＝5時，函數(shù)取得極大值，也是最大值．所以應(yīng)放置5個網(wǎng)箱才能使總收益y最大； ②當m≥0.25時，f(x)＝(－2x2＋24x)m－(5ln x＋1)， 所以f　′(x)＝， 令f　′(x)＝0，即－4mx2＋24mx－5＝0，因為m≥0.25，所以Δ＝16m(36m－5)>0，方程－4mx2＋24mx－5＝0的兩根分別為x1＝3－，x2＝3＋，因為m≥0.25，所以x1≤1.5≤x2<6，所以當x∈(1，x2)時，f　′(x)>0，當x2<x<10時，f　′(x)<0，所以x＝x2時，函數(shù)取得極大值，也是最大值． 所以使得收益y最高的所有可能的x值組成的集合為{5,6}．