2020版高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 專題突破四 數(shù)列求和學案（含解析）新人教B版必修5.docx

專題突破四數(shù)列求和學習目標1.掌握分組分解求和法的使用情形和解題要點.2.掌握奇偶并項求和法的使用情形和解題要點.3.掌握裂項相消求和法的使用情形和解題要點.4.進一步熟悉錯位相減法知識點一分組分解求和法思考求和：123.答案123(123n)1.總結(jié)分組分解求和的基本思路：通過分解每一項重新組合，化歸為等差數(shù)列和等比數(shù)列求和知識點二奇偶并項求和法思考求和122232429921002.答案122232429921002(1222)(3242)(9921002)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5050.總結(jié)奇偶并項求和的基本思路：有些數(shù)列單獨看求和困難，但相鄰項結(jié)合后會變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和但當求前n項和而n是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定時，往往需要討論知識點三裂項相消求和法思考我們知道，試用此公式求和：.答案由得11.總結(jié)如果數(shù)列的項能裂成前后抵消的兩項，可用裂項相消求和，此法一般先研究通項的裂法，然后仿照裂開每一項裂項相消求和常用公式：(1)()；(2)()；(3)()；(4)知識點四錯位相減求和法思考記bnn2n，求數(shù)列bn的前n項和Sn.答案Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n+1，得Sn212223242nn2n+12(n1)2n+1.Sn2(n1)2n+1，nN.總結(jié)錯位相減法主要適用于an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和利用“錯位相減法”時，先寫出Sn與qSn的表達式，再將兩式對齊作差，正確寫出(1q)Sn的表達式；(利用此法時要注意討論公比q是否等于1)1并項求和一定是相鄰兩項結(jié)合()2裂項相消一定是相鄰兩項裂項后產(chǎn)生抵消()題型一分組分解求和例1求和：Sn222(x0)解當x1時，Sn222(x2x4x2n)2n2n2n；當x1時，Sn4n.綜上知，Sn反思感悟某些數(shù)列，通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和跟蹤訓練1已知正項等比數(shù)列an中，a1a26，a3a424.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)數(shù)列bn滿足bnlog2an，求數(shù)列anbn的前n項和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q>0)，則解得ana1qn-122n-12n.(2)bnlog22nn，設(shè)anbn的前n項和為Sn，則Sn(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)(2222n)(12n)2n+12n2n.題型二裂項相消求和例2求和：，n2，nN.解，原式(n2，nN)引申探究求和：，n2，nN.解1，原式(n1)以下同例2解法反思感悟求和前一般先對數(shù)列的通項公式變形，如果數(shù)列的通項公式可轉(zhuǎn)化為f(n1)f(n)的形式，常采用裂項求和法跟蹤訓練2求和：1，nN.解an2，Sn2.題型三奇偶并項求和例3求和：Sn1357(1)n(2n1)解當n為奇數(shù)時，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2(2n1)n.當n為偶數(shù)時，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2n.Sn(1)nn (nN)反思感悟通項中含有(1)n的數(shù)列求前n項和時可以考慮使用奇偶并項法，分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)分別進行求和跟蹤訓練3已知數(shù)列1,4，7,10，(1)n(3n2)，求其前n項和Sn.解當n為偶數(shù)時，令n2k(kN)，SnS2k14710(1)n(3n2)(14)(710)(6k5)(6k2)3kn；當n為奇數(shù)時，令n2k1(kN)，SnS2k1S2ka2k3k(6k2)23k.Sn題型四錯位相減求和例4(2018佛山檢測)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足an3Sn2(nN)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列nan的前n項和Tn.解(1)當n1時，a13S123a12，解得a11.當n2時，an3Sn2，an13Sn12，兩式相減得anan13an，化簡得anan1，所以數(shù)列an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以ann-1，nN.(2)由(1)可得nannn-1.Tn102132nn-1，Tn1122(n1)n-1nn，兩式相減得Tn112n-1nnnnn.所以數(shù)列nan的前n項和Tnn.反思感悟用錯位相減要“能識別，按步走，慎化簡”跟蹤訓練4已知數(shù)列an的通項公式為an3n-1，在等差數(shù)列bn中，bn0，且b1b2b315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比數(shù)列(1)求數(shù)列anbn的通項公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項和Tn.解(1)an3n1，a11，a23，a39.在等差數(shù)列bn中，b1b2b315，3b215，則b25.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，又a1b1，a2b2，a3b3成等比數(shù)列，(15d)(95d)64，解得d10或d2.bn0，d10應(yīng)舍去，d2，b13，bn2n1.故anbn(2n1)3n-1，nN.(2)由(1)知Tn3153732(2n1)3n-2(2n1)3n-1，3Tn33532733(2n1)3n-1(2n1)3n，得2Tn312323223323n-1(2n1)3n32(332333n1)(2n1)3n32(2n1)3n3n(2n1)3n2n3n.Tnn3n，nN.1數(shù)列12n-1的前n項和為_答案Snn2n1，nN解析an12n-1，Snnn2n1.2數(shù)列的前2018項和為_答案解析因為2，所以S201822.3已知數(shù)列an則S100_.答案5000解析由題意得S100a1a2a99a100(a1a3a5a99)(a2a4a100)(02498)(246100)5000.4在數(shù)列an中，a11，an12an2n，nN.(1)設(shè)bn，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)在(1)的條件下求數(shù)列an的前n項和Sn.(1)證明由已知an12an2n，得bn11bn1.bn1bn1，又b1a11.bn是首項為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解由(1)知，bnn，bnn.ann2n-1.Sn1221322n2n-1，兩邊同時乘以2得2Sn121222(n1)2n-1n2n，兩式相減得Sn121222n-1n2n2n1n2n(1n)2n1，Sn(n1)2n1.求數(shù)列的前n項和，一般有下列幾種方法1錯位相減適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和2分組求和把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列3裂項相消有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和4奇偶并項當數(shù)列通項中出現(xiàn)(1)n或(1)n+1時，常常需要對n取值的奇偶性進行分類討論5倒序相加例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導方法一、選擇題1數(shù)列2，4，6，的前n項和Sn為()An21Bn22Cn(n1)Dn(n1)答案C2已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若an，Sn10，則n等于()A90B119C120D121答案C解析an，Sn(1)()()110，n1121，故n120.3數(shù)列，的前n項和為()A.B.C.D.答案B解析由數(shù)列通項公式，得前n項和Sn().4已知數(shù)列an的通項an2n1，nN，由bn所確定的數(shù)列bn的前n項的和是()A.n(n2) B.n(n4)C.n(n5) D.n(n7)答案C解析a1a2an(2n4)n22n.bnn2，bn的前n項和Sn.5如果一個數(shù)列an滿足anan1H (H為常數(shù)，nN)，則稱數(shù)列an為等和數(shù)列，H為公和，Sn是其前n項的和，已知等和數(shù)列an中，a11，H3，則S2019等于()A3016B3015C3026D3013答案C解析S2019a1(a2a3a2019)a11009H11009(3)3026.6在數(shù)列an中，a12，an1anln，nN，則an等于()A2lnnB2(n1)lnnC2nlnnD1nlnn答案A解析an1anln，an1anlnlnln(n1)lnn.又a12，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2lnnln12lnn.二、填空題7若Sn1234(1)n1n，nN，則S50_.答案25解析S5012344950(1)2525.8在數(shù)列an中，已知Sn159131721(1)n1(4n3)，nN，則S15S22S31的值是_答案76解析S1547a15285729，S2241144，S31415a316012161，S15S22S3129446176.三、解答題9已知函數(shù)f(x)2x3x1，點(n，an)在f(x)的圖象上，數(shù)列an的前n項和為Sn，求Sn.解由題得an2n3n1，Sna1a2an(2222n)3(123n)n3n2n12.10已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5a726，an的前n項和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d.因為a37，a5a726，所以解得所以an32(n1)2n1，Sn3n2n22n.所以an2n1，Snn22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn，所以Tn(1)(1)，即數(shù)列bn的前n項和Tn.11設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an322n1，nN.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)由已知，得當n>1時，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222n1，an22n1，而a12，符合上式，所以數(shù)列an的通項公式為an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1，從而22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n1212已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式(2)令cn設(shè)數(shù)列cn的前n項和為Tn，求T2n.解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，由b2S210，a52b2a3，得解得所以an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，則n為奇數(shù)時，cn.n為偶數(shù)時，cn2n1，所以T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)