2018年秋高中數(shù)學 第三章 不等式 3.1 不等關系與不等式學案 新人教A版必修5.doc

3.1　不等關系與不等式 學習目標：1.了解不等式的性質(重點).2.能用不等式(組)表示實際問題中的不等關系(難點)． [自 主 預 習探 新 知] 1．不等符號與不等關系的表示： (1)不等符號有＜，≤，＞，≥，≠； (2)不等關系用不等式來表示． 2．不等式中的文字語言與符號語言之間的轉換 大于 大于等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 思考：不等式a≥b和a≤b有怎樣的含義？ [提示]?、俨坏仁絘≥b應讀作：“a大于或等于b”，其含義是a>b或a＝b，等價于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一個正確，則a≥b正確． ②不等式a≤b應讀作：“a小于或等于b”，其含義是a<b或a＝b，等價于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一個正確，則a≤b正確． 3．比較兩實數(shù)a，b大小的依據(jù) 思考：x2＋1與2x兩式都隨x的變化而變化，其大小關系并不顯而易見．你能想個辦法，比較x2＋1與2x的大小，而且具有說服力嗎？ [提示]　作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x. 4．不等式的性質 名稱 式子表達 性質1(對稱性) a>b?b<a 性質2(傳遞性) a>b，b>c?a>c 性質3(可加性) a>b?a＋c>b＋c 推論 a＋b>c?a>c－b 性質4(可乘性) a>b，c>0?ac>bc a>b，c<0?ac<bc 性質5(不等式同向可加性) a>b，c>d?a＋c>b＋d 性質6(不等式同向正數(shù)可乘性) a>b>0，c>d>0?ac>bd 性質7(乘方性) a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1) 性質8(開方性) a>b>0? >(n∈N，n≥2) 思考：關于不等式的性質，下列結論中正確的有哪些？ (1)a>b且c>d則a－c>b－d. (2)a>b則ac>bc. (3)a>b>0且c>d>0則>. (4)a>b>0則an>bn. (5)a>b則>. [提示]　對于不等式的性質，有可加性但沒有作差與作商的性質， (1)中例如5>3且4>1時，則5－4>3－1是錯的，故(1)錯． (2)中當c≤0時，不成立． (3)中例如5>3且4>1，則>是錯的，故(3)錯． (4)中對n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，則3－1>2－1顯然錯，故(4)錯． (5)因為>0，所以a>b，故(5)正確．因此正確的結論有(5)． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)不等式x≥2的含義是指x不小于2.(　　) (2)若a<b或a＝b之中有一個正確，則a≤b正確．(　　) (3)若a>b，則ac>bc一定成立．(　　) (4)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)　(4)　 提示：(1)正確．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2. (2)正確．不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一個正確，則a≤b一定正確． (3)錯誤．由不等式的可乘性知，當不等式兩端同乘以一個正數(shù)時，不等號方向不變，因此若a>b，則ac>bc不一定成立． (4)錯誤．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.滿足a＋c>b＋d，但不滿足a>b. 2．大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機要安全通過該橋，應使車貨總重量T不超過40噸，用不等式表示為(　　) A．T<40　　　　　　　 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 C　[限重就是不超過，可以直接建立不等式T≤40.] 3．已知a>b，c>d，且cd≠0，則(　　) 【導學號：91432263】 A．ad>bc B．ac>bc C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d D　[a，b，c，d的符號未確定，排除A、B兩項；同向不等式相減，結果未必是同向不等式，排除C項，故選D項．] 4．設m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，則m，n的大小關系是________． m≥n　[m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.] [合 作 探 究攻 重 難] 用不等式表示不等關系 　用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，要求菜園的面積不小于110 m2，靠墻的一邊長為x m．試用不等式表示其中的不等關系. 【導學號：91432264】 [解]　由于矩形菜園靠墻的一邊長為x m，而墻長為18 m，所以0<x≤18， 這時菜園的另一條邊長為＝(m)． 因此菜園面積S＝x，依題意有S≥110，即x≥110， 故該題中的不等關系可用不等式表示為 [規(guī)律方法]　 1．此類問題的難點是如何正確地找出題中的顯性不等關系和隱性不等 關系． 2．當問題中同時滿足幾個不等關系，則應用不等式組來表示它們之間 的不等關系，另外若問題有幾個變量，選用幾個字母分別表示這些變量 即可． 3．用不等式(組)表示不等關系的步驟： (1)審清題意，明確表示不等關系的關鍵詞語：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)適當?shù)脑O未知數(shù)表示變量． (3)用不等號表示關鍵詞語，并連接變量得不等式． [跟蹤訓練] 1．某礦山車隊有4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關系的不等式． [解]　設每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，則 即 比較兩數(shù)(式)的大小 　已知a，b為正實數(shù)，試比較＋與＋的大小. 【導學號：91432265】 思路探究：注意結構特征，嘗試用作差法或者作商法比較大?。? [解]　 法一：(作差法)－(＋)＝＋＝＋＝＝. ∵a，b為正實數(shù)， ∴＋>0，>0，(－)2≥0， ∴≥0， 當且僅當a＝b時等號成立． ∴＋≥＋(當且僅當a＝b時取等號)． 法二：(作商法)＝＝＝＝＝1＋≥1，當且僅當a＝b時取等號． ∵＋>0，＋>0， ∴＋≥＋(當且僅當a＝b時取等號)． 法三：(平方后作差)∵2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2， ∴2－(＋)2＝. ∵a>0，b>0， ∴≥0， 又＋>0，＋>0，故＋≥＋(當且僅當a＝b時取等號)． [規(guī)律方法]　 1．作差法比較兩個數(shù)大小的步驟及變形方法： (1)作差法比較的步驟：作差→變形→定號→結論． (2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④對數(shù)與指數(shù)的運算 性質；⑤分母或分子有理化；⑥分類討論． 2．如果兩實數(shù)同號，亦可采用作商法來比較大小，即作商后看商是大 于1，等于1，還是小于1. [跟蹤訓練] 2．已知x<1，比較x3－1與2x2－2x的大?。? [解]　(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1). 因為x<1，所以x－1<0. 又2＋>0， 所以(x－1)<0. 所以x3－1<2x2－2x. 不等式性質的應用 [探究問題] 1．小明同學做題時進行如下變形： ∵2<b<3， ∴<<， 又∵－6<a<8， ∴－2<<4. 你認為正確嗎？為什么？ 提示：不正確．因為不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個負數(shù)，不等號方向改變，在本題中只知道－6<a<8.不明確a值的正負．故不能將<<與－6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘． 2．由－6<a<8，－4<b<2，兩邊分別相減得－2<a－b<6，你認為正確嗎？ 提示：不正確．因為同向不等式具有可加性與可乘性．但不能相減或相除，解題時要充分利用條件，運用不等式的性質進行等價變形，而不可隨意“創(chuàng)造”性質． 3．你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 這怎么與－2<a＋b<2矛盾了呢？ 提示：利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉化不是等價變形．本題中將2<a－b<4與－2<a＋b<2兩邊相加得0<a<3，又將－4<b－a<－2與－2<a＋b<4兩邊相加得出－3<b<2，又將該式與0<a<3兩邊相加得出－3<a＋b<3，多次使用了這種轉化，導致了a＋b范圍的擴大． 　已知c>a>b>0，求證：>. 【導學號：91432266】 思路探究：①如何證明<？②由<怎樣得到<？ [解]　∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0. 由?<， ?>. 母題探究：1.(變條件，變結論)將例題中的條件“c>a>b>0”變?yōu)椤癮>b>0，c<0”證明：>. [證明]　因為a>b>0，所以ab>0，>0. 于是a>b，即>.由c<0，得>. 2．(變條件，變結論)將例題中的條件“c>a>b>0”變?yōu)椤耙阎?<a<8,2<b<3”如何求出2a＋b，a－b及的取值范圍． [解]　因為－6<a<8,2<b<3，所以－12<2a<16， 所以－10<2a＋b<19.又因為－3<－b<－2，所以－9<a－b<6.又<<， (1)當0≤a<8時，0≤<4； (2)當－6<a<0時，－3<<0. 由(1)(2)得－3<<4. [規(guī)律方法]　 1．利用不等式的性質證明不等式注意事項 (1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一 定要在理解的基礎上， 記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活 準確地加以應用． (2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條 件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則． 2．利用不等式性質求代數(shù)式的范圍要注意的問題 (1)恰當設計解題步驟，合理利用不等式的性質． (2)運用不等式的性質時要切實注意不等式性質的前提條件，切不可用 似乎是很顯然的理由，代替不等式的性質，如由a>b及c>d，推不出 ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等． (3)準確使用不等式的性質，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤． [當 堂 達 標固 雙 基] 1．某校對高一美術生劃定錄取分數(shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式組表示為________． 　[“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，所以] 2．若<<0，則下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b中，正確的不等式有________個. 【導學號：91432267】 1　[由<<0，得a<0，b<0，故a＋b<0且ab>0，所以a＋b<ab，即①正確；由<<0，得>，兩邊同乘|ab|，得|b|>|a|，故②錯誤；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，故③錯誤．] 3．已知a，b均為實數(shù)，則(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)． <　[因為(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．] 4．若8<x<10,2<y<4，則的取值范圍是________． (2,5)　[∵2<y<4，∴<<. ∵8<x<10，∴2<<5.] 5．若bc－ad≥0，bd>0.求證：≤. 【導學號：91432268】 [證明]　因為bc－ad≥0，所以ad≤bc， 因為bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.