2018年秋高中數(shù)學第三章不等式 3.1 不等關系與不等式學案新人教A版必修5.doc

上傳人：tia****nde

文檔編號：6277225

上傳時間：2020-02-21

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3.1　不等關系與不等式學習目標：1.了解不等式的性質(zhì)(重點).2.能用不等式(組)表示實際問題中的不等關系(難點)． [自主預習探新知] 1．不等符號與不等關系的表示： (1)不等符號有＜，≤，＞，≥，≠； (2)不等關系用不等式來表示． 2．不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 思考：不等式a≥b和a≤b有怎樣的含義？ [提示]　①不等式a≥b應讀作：“a大于或等于b”，其含義是a>b或a＝b，等價于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一個正確，則a≥b正確． ②不等式a≤b應讀作：“a小于或等于b”，其含義是ab?bb，b>c?a>c 性質(zhì)3(可加性) a>b?a＋c>b＋c 推論 a＋b>c?a>c－b 性質(zhì)4(可乘性) a>b，c>0?ac>bc a>b，c<0?acb，c>d?a＋c>b＋d 性質(zhì)6(不等式同向正數(shù)可乘性) a>b>0，c>d>0?ac>bd 性質(zhì)7(乘方性) a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1) 性質(zhì)8(開方性) a>b>0? >(n∈N，n≥2) 思考：關于不等式的性質(zhì)，下列結論中正確的有哪些？ (1)a>b且c>d則a－c>b－d. (2)a>b則ac>bc. (3)a>b>0且c>d>0則>. (4)a>b>0則an>bn. (5)a>b則>. [提示]　對于不等式的性質(zhì)，有可加性但沒有作差與作商的性質(zhì)， (1)中例如5>3且4>1時，則5－4>3－1是錯的，故(1)錯． (2)中當c≤0時，不成立． (3)中例如5>3且4>1，則>是錯的，故(3)錯． (4)中對n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，則3－1>2－1顯然錯，故(4)錯． (5)因為>0，所以a>b，故(5)正確．因此正確的結論有(5)． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)不等式x≥2的含義是指x不小于2.(　　) (2)若ab，則ac>bc一定成立．(　　) (4)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)　(4)　提示：(1)正確．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2. (2)正確．不等式a≤b表示ab，則ac>bc不一定成立． (4)錯誤．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.滿足a＋c>b＋d，但不滿足a>b. 2．大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機要安全通過該橋，應使車貨總重量T不超過40噸，用不等式表示為(　　) A．T<40　　　　　　　 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 C　[限重就是不超過，可以直接建立不等式T≤40.] 3．已知a>b，c>d，且cd≠0，則(　　) 【導學號：91432263】 A．a(chǎn)d>bc B．a(chǎn)c>bc C．a(chǎn)－c>b－d D．a(chǎn)＋c>b＋d D　[a，b，c，d的符號未確定，排除A、B兩項；同向不等式相減，結果未必是同向不等式，排除C項，故選D項．] 4．設m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，則m，n的大小關系是________． m≥n　[m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.] [合作探究攻重難] 用不等式表示不等關系　用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，要求菜園的面積不小于110 m2，靠墻的一邊長為x m．試用不等式表示其中的不等關系. 【導學號：91432264】 [解]　由于矩形菜園靠墻的一邊長為x m，而墻長為18 m，所以00，>0，(－)2≥0， ∴≥0，當且僅當a＝b時等號成立． ∴＋≥＋(當且僅當a＝b時取等號)．法二：(作商法)＝＝＝＝＝1＋≥1，當且僅當a＝b時取等號． ∵＋>0，＋>0， ∴＋≥＋(當且僅當a＝b時取等號)．法三：(平方后作差)∵2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2， ∴2－(＋)2＝. ∵a>0，b>0， ∴≥0，又＋>0，＋>0，故＋≥＋(當且僅當a＝b時取等號)． [規(guī)律方法]　 1．作差法比較兩個數(shù)大小的步驟及變形方法： (1)作差法比較的步驟：作差→變形→定號→結論． (2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④對數(shù)與指數(shù)的運算性質(zhì)；⑤分母或分子有理化；⑥分類討論． 2．如果兩實數(shù)同號，亦可采用作商法來比較大小，即作商后看商是大于1，等于1，還是小于1. [跟蹤訓練] 2．已知x<1，比較x3－1與2x2－2x的大?。? [解]　(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1). 因為x<1，所以x－1<0. 又2＋>0，所以(x－1)<0. 所以x3－1<2x2－2x. 不等式性質(zhì)的應用 [探究問題] 1．小明同學做題時進行如下變形： ∵2a>b>0，求證：>. 【導學號：91432266】思路探究：①如何證明<？②由<怎樣得到<？ [解]　∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0. 由?<， ?>. 母題探究：1.(變條件，變結論)將例題中的條件“c>a>b>0”變?yōu)椤癮>b>0，c<0”證明：>. [證明]　因為a>b>0，所以ab>0，>0. 于是a>b，即>.由c<0，得>. 2．(變條件，變結論)將例題中的條件“c>a>b>0”變?yōu)椤耙阎?b及c>d，推不出 ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等． (3)準確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤． [當堂達標固雙基] 1．某校對高一美術生劃定錄取分數(shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式組表示為________．　[“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，所以] 2．若<<0，則下列不等式：①a＋b|b|；③a0，所以a＋b，兩邊同乘|ab|，得|b|>|a|，故②錯誤；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，故③錯誤．] 3．已知a，b均為實數(shù)，則(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)． <　[因為(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．] 4．若80.求證：≤. 【導學號：91432268】 [證明]　因為bc－ad≥0，所以ad≤bc，因為bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.

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