2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 考點(diǎn)測(cè)試25 解三角形的應(yīng)用 理（含解析）.docx

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考點(diǎn)測(cè)試25　解三角形的應(yīng)用 一、基礎(chǔ)小題 1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β之間的關(guān)系是(　　) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90 D．α＋β＝180 答案　B 解析　根據(jù)仰角與俯角的含義，畫(huà)圖即可得知． 2．在△ABC中，若A，B，C成等差數(shù)列，且AC＝，BC＝2，則A＝(　　) A．135 B．45 C．30 D．45或135 答案　B 解析　因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60．由正弦定理，得＝，則sinA＝．又BC＜AC，所以A＜B，故A＝45．故選B． 3．海上有三個(gè)小島A，B，C，測(cè)得∠BAC＝135，AB＝6，AC＝3，若在B，C兩島的連線段之間建一座燈塔D，使得燈塔D到A，B兩島距離相等，則B，D間的距離為(　　) A．3 B． C． D．3 答案　B 解析　由題意可知，D為線段AB的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，設(shè)BD＝t．由余弦定理可得BC2＝62＋(3)2－263cos∠BAC＝90，解得BC＝3．由 cos∠ABC＝＝， 解得t＝．故選B． 4．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為(　　) A．海里/小時(shí) B．34海里/小時(shí) C．海里/小時(shí) D．34海里/小時(shí) 答案　A 解析　如圖所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34． ∴v＝＝(海里/小時(shí))．故選A． 5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若＝＝，則△ABC的形狀為(　　) A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．有一個(gè)角為30的直角三角形 D．有一個(gè)角為30的等腰三角形 答案　B 解析　由正弦定理，得＝＝，又＝＝，兩式相除，得1＝tanB＝tanC，所以B＝C＝45．所以A＝90，故△ABC為等腰直角三角形．故選B． 6．如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測(cè)量方法：①測(cè)量A，C，b；②測(cè)量a，b，C；③測(cè)量A，B，a，則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號(hào)為(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案　D 解析　由題意可知，在①②③三個(gè)條件下三角形均可唯一確定，通過(guò)解三角形的知識(shí)可求出AB．故選D． 7．一艘海監(jiān)船在某海域?qū)嵤┭埠奖O(jiān)視，由A島向正北方向行駛80海里至M處，然后沿東偏南30方向行駛50海里至N處，再沿南偏東30方向行駛30海里至B島，則A，B兩島之間的距離是________海里． 答案　70 解析　依題意畫(huà)出圖形，連接AN，則在△AMN中，應(yīng)用余弦定理可得AN2＝502＋802－25080cos60，即AN＝70．應(yīng)用余弦定理可得cos∠ANM＝＝，所以sin∠ANM＝．在△ANB中，應(yīng)用余弦定理可得AB2＝(30)2＋702－23070cos∠ANB，而cos∠ANB＝cos(150－∠ANM)＝cos150cos∠ANM＋sin150sin∠ANM＝， 所以AB＝＝70． 8．某中學(xué)舉行升旗儀式，在坡度為15的看臺(tái)E點(diǎn)和看臺(tái)的坡腳A點(diǎn)，分別測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為30和60，量得看臺(tái)坡腳A點(diǎn)到E點(diǎn)在水平線上的射影B點(diǎn)的距離為10 m，則旗桿的高是________m． 答案　10(3－) 解析　由題意得∠DEA＝45，∠ADE＝30，AE＝，所以AD＝＝，因此CD＝ADsin60＝sin60＝10(3－)． 二、高考小題 9．(2016全國(guó)卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cosA＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　解法一：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意知AD＝BD＝BC，則CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推論可知，cos∠BAC＝＝＝－．故選C． 解法二：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意知AD＝BD＝BC，則CD＝BC，在Rt△ADC中，AC＝BC， sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，又因?yàn)椤螧＝， 所以cos∠BAC＝cos＝cos∠DACcos－sin∠DACsin＝－＝－．故選C． 10．(2018北京高考)若△ABC的面積為(a2＋c2－b2)，且∠C為鈍角，則∠B＝________；的取值范圍是________． 答案　　(2，＋∞) 解析　依題意有acsinB＝(a2＋c2－b2)＝2accosB，則tanB＝，∵0<∠B<π，∴∠B＝． ＝＝＝＋＝＋，∵∠C為鈍角，∴－∠A>， 又∠A>0，∴0<∠A<，則0，故>＋＝2． 故的取值范圍為(2，＋∞)． 11．(2018江蘇高考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為_(kāi)_______． 答案　9 解析　解法一：依題意畫(huà)出圖形，如圖所示． 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC， 即csin60＋asin60 ＝acsin120，∴a＋c＝ac，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)＋＝5＋＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，c＝3時(shí)取“＝”． 解法二：作DE∥CB交AB于E， ∵BD為∠ABC的平分線， ∴＝＝， ∵DE∥CB， ∴＝＝＝， ∴＝，＝． ∴＝＋． ∴＝＋2， ∴1＝2＋2＋2||||－， ∴1＝，∴ac＝a＋c，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)＋＝5＋＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，c＝3時(shí)取“＝”． 解法三：以B為原點(diǎn)，BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則D(1，0)，∵AB＝c，BC＝a， ∴A，c，C，－a． ∵A，D，C三點(diǎn)共線，∴∥， ∴1－－a＋c－1＝0， ∴ac＝a＋c，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)＋＝5＋＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，c＝3時(shí)取“＝”． 12．(2015全國(guó)卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75，BC＝2，則AB的取值范圍是________． 答案　(－，＋) 解析　解法一：如圖所示， 因?yàn)椤螦＝∠B＝∠C＝75， 所以∠D＝135． 因?yàn)锽C＝2， 所以當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)， 由正弦定理可得＝，解得AB＝－． 當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，由正弦定理可得 ＝，解得AB＝＋． 因?yàn)锳BCD為平行四邊形， 所以AB∈(－，＋)． 所以AB的取值范圍是(－，＋)． 解法二：如圖所示，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB于點(diǎn)F，則BFAD，所以AD＝3． (2)在△ABD中，＝， 又由cos∠BAD＝，得sin∠BAD＝， 所以sin∠ADB＝， 則sin∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝． 因?yàn)椤螦DB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C， 所以cosC＝． 在Rt△ADC中，cosC＝， 則tanC＝＝＝，所以AC＝3． 則△ABC的面積S＝ABACsin∠BAC ＝33＝6． 6．(2018鄭州質(zhì)檢)在△ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccosB＝2a＋b． (1)求角C的大??； (2)若△ABC的面積S＝c，求ab的最小值． 解　解法一：(1)因?yàn)?ccosB＝2a＋b， 所以2c＝2a＋b，化簡(jiǎn)得a2＋b2－c2＝－ab， 所以cosC＝＝－． 又因?yàn)?

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