2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章 選修4系列 第4講 證明不等式的基本方法講義 理（含解析）.doc

第4講證明不等式的基本方法考綱解讀了解不等式證明的基本方法：比較法、綜合法、分析法，并能應(yīng)用它們證明一些簡(jiǎn)單的不等式(重點(diǎn)、難點(diǎn))考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn). 預(yù)測(cè)2020年將會(huì)考查：與基本不等式結(jié)合證明不等式；與恒成立、探索性問(wèn)題結(jié)合，題型為解答題，屬中檔題型.1基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b>0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)定理3：如果a，b，cR，那么，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立2比較法3綜合法與分析法(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立1概念辨析(1)設(shè)xa2b，Sab21則Sx.()(2)若>1，則x2y>xy.()(3)|ab|ab|2a|.()(4)若實(shí)數(shù)x，y適合不等式xy>1，xy>2，則x>0，y>0.()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)下列四個(gè)不等式：logx10lg x2(x>1)；|ab|<|a|b|；2(ab0)；|x1|x2|1，其中恒成立的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案C解析logx10lg xlg x2(x>1)，正確ab0時(shí)，|ab|a|b|，不正確；因?yàn)閍b0，與同號(hào)，所以2，正確；由|x1|x2|的幾何意義知，|x1|x2|1恒成立，正確，綜上正確故選C.(2)已知a，b是不相等的正數(shù)，x，y，z(ab)0.25，則x，y，z的大小關(guān)系是()Ax>y>z Bx<y<zCy>x>z Dy<z<x答案C解析x2，y2ab，z2，x2>z2，y2x2>0，y2>x2>z2，又x>0，y>0，z>0，y>x>z.(3)設(shè)xa2b25，y2aba24a，若x>y，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為_(kāi)答案ab1或a2解析因?yàn)閤y(a2b25)(2aba24a)(a2b22ab1)(a24a4)(ab1)2(a2)2>0，若x>y，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為ab1或a2.題型 比較法證明不等式1設(shè)函數(shù)f(x)|x2|2x3，記f(x)1的解集為M.(1)求M；(2)當(dāng)xM時(shí)，證明：xf(x)2x2f(x)解(1)由已知，得f(x)當(dāng)x2時(shí)，由f(x)x11，解得x0，此時(shí)x0；當(dāng)x>2時(shí)，由f(x)3x51，解得x，顯然不成立故f(x)1的解集為Mx|x0(2)證明：當(dāng)xM時(shí)，f(x)x1，于是xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x1)x2x2.令g(x)2，則函數(shù)g(x)在(，0上是增函數(shù)，g(x)g(0)0.xf(x)2x2f(x)0，故xf(x)2x2f(x)2(2018吉林長(zhǎng)春模擬)(1)如果關(guān)于x的不等式|x1|x5|m的解集不是空集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若a，b均為正數(shù)，求證：aabbabba.解(1)令y|x1|x5|可知|x1|x5|6，故要使不等式|x1|x5|m的解集不是空集，有m6.(2)證明：由a，b均為正數(shù)，則要證aabbabba，只要證aabbba1，整理得ab1.當(dāng)ab時(shí)，ab0，可得ab1；當(dāng)a<b時(shí)，ab<0，可得ab>1.可知a，b均為正數(shù)時(shí)，ab1，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，從而aabbabba成立1作差比較法(1)作差比較法證明不等式的四步驟(2)作差比較法的應(yīng)用范圍當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)，一般使用作差比較法2作商比較法(1)作商比較法證明不等式的一般步驟(2)作商比較法的應(yīng)用范圍當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時(shí)，一般使用作商比較法 已知函數(shù)f(x)|x1|x1|，P為不等式f(x)>4的解集(1)求P；(2)證明：當(dāng)m，nP時(shí)，|mn4|>2|mn|.解(1)f(x)|x1|x1|由f(x)的單調(diào)性及f(x)>4，得x>2或x<2.所以不等式f(x)>4的解集Px|x>2或x<2(2)證明：由(1)可知|m|>2，|n|>2，所以m2>4，n2>4，所以(mn4)24(mn)2(m24)(n24)>0，所以(mn4)2>4(mn)2，從而有|mn4|>2|mn|.題型 綜合法證明不等式(2018合肥三模)已知函數(shù)f(x)|x1|x3|.(1)解不等式f(x)x1；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為c，實(shí)數(shù)a，b滿足a>0，b>0，abc.求證：1.解(1)f(x)x1，即|x1|x3|x1.當(dāng)x<1時(shí)，不等式可化為42xx1，x1.又x<1，x；當(dāng)1x3時(shí)，不等式可化為2x1，x1.又1x3，1x3.當(dāng)x>3時(shí)，不等式可化為2x4x1，x5.又x>3，3<x5.綜上所得，1x3或3<x5，即1x5.原不等式的解集為1,5(2)證明：由絕對(duì)值不等式性質(zhì)得，|x1|x3|(1x)(x3)|2，c2，即ab2.令a1m，b1n，則m>1，n>1，am1，bn1，mn4，mn41，原不等式得證1綜合法證明不等式的方法(1)綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵；(2)在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件2綜合法證明時(shí)常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的變形形式有a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2(ab)2；2.(4)，它的變形形式有a2(a>0)；2(ab>0)；2(ab<0).設(shè)函數(shù)f(x)|x1|x2|，若不等式f(x)9的解集是x|xp或xq(1)求p，q的值；(2)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a(bc)q，證明：2a2b2c2p13.解(1)由f(x)9，得|x1|x2|9，得或或解得x5或x4，所以不等式f(x)9的解集是x|x5或x4又不等式f(x)9的解集是x|xp或xq，所以p5，q4.(2)若a(bc)q，則a(bc)4，即abac4.因?yàn)閍b，ac，所以abac，即abac，即4，所以2a2b2c28，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)而p5，所以2a2b2c2p13.原命題得證題型 分析法證明不等式已知函數(shù)f(x)|x3|.(1)若不等式f(x1)f(x)<a的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若|a|<1，|b|<3，且a0，判斷與f的大小，并說(shuō)明理由解(1)因?yàn)閒(x1)f(x)|x4|x3|x43x|1，不等式f(x1)f(x)<a的解集為空集，則1a即可，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1(2)>f.證明：要證>f，只需證|ab3|>|b3a|，即證(ab3)2>(b3a)2，又(ab3)2(b3a)2a2b29a2b29(a21)(b29)因?yàn)閨a|<1，|b|<3，所以(ab3)2>(b3a)2成立，所以原不等式成立1分析法的應(yīng)用條件當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆2用分析法證“若A則B”這個(gè)命題的模式為了證明命題B為真，只需證明命題B1為真，從而有只需證明命題B2為真，從而有只需證明命題A為真，而已知A為真，故B必真 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下5個(gè)不等關(guān)系式子：1>2；2>；>2；2>；>2.(1)上述五個(gè)式子有相同的不等關(guān)系，分析其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，請(qǐng)你再寫出一個(gè)類似的不等式；(2)請(qǐng)寫出一個(gè)更一般的不等式，使以上不等式為它的特殊情況，并證明解(1)2>3(答案不唯一)(2)>.證明：要證原不等式，只需證>，因?yàn)椴坏仁絻蛇叾即笥?，只需證2a32>2a32，只需證>，只需證a23a2>a23a，只需證2>0，顯然成立，所以原不等式成立