2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章 選修4系列 第4講 證明不等式的基本方法講義 理（含解析）.doc

第4講　證明不等式的基本方法 [考綱解讀]　了解不等式證明的基本方法：比較法、綜合法、分析法，并能應(yīng)用它們證明一些簡單的不等式．(重點、難點) [考向預(yù)測]　從近三年高考情況來看，本講是高考命題的一個熱點. 預(yù)測2020年將會考查：①與基本不等式結(jié)合證明不等式；②與恒成立、探索性問題結(jié)合，題型為解答題，屬中檔題型. 1．基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． 定理2：如果a，b>0，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，即兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)． 定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立． 2．比較法 3．綜合法與分析法 (1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立． (2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立． 1．概念辨析 (1)設(shè)x＝a＋2b，S＝a＋b2＋1則S≥x.(　　) (2)若>1，則x＋2y>x－y.(　　) (3)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.(　　) (4)若實數(shù)x，y適合不等式xy>1，x＋y>－2，則x>0，y>0.(　　) 答案　(1)√　(2)　(3)√　(4)√ 2．小題熱身 (1)下列四個不等式：①logx10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　logx10＋lg x＝＋lg x≥2(x>1)，①正確． ab≤0時，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正確； 因為ab≠0，與同號， 所以＝＋≥2，③正確； 由|x－1|＋|x－2|的幾何意義知， |x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正確， 綜上①③④正確．故選C. (2)已知a，b是不相等的正數(shù)，x＝，y＝，z＝(ab)0.25，則x，y，z的大小關(guān)系是(　　) A．x>y>z B．x<y<z C．y>x>z D．y<z<x 答案　C 解析　∵x2＝，y2＝a＋b，z2＝， ∴x2>z2，y2－x2＝＝>0， ∴y2>x2>z2，又x>0，y>0，z>0，∴y>x>z. (3)設(shè)x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為________． 答案　ab≠1或a≠－2 解析　因為x－y＝(a2b2＋5)－(2ab－a2－4a) ＝(a2b2－2ab＋1)＋(a2＋4a＋4) ＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0， 若x>y，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為ab≠1或a≠－2. 題型 　比較法證明不等式 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－2|＋2x－3，記f(x)≤－1的解集為M. (1)求M； (2)當(dāng)x∈M時，證明：x[f(x)]2≤x2f(x)． 解　(1)由已知，得f(x)＝ 當(dāng)x≤2時，由f(x)＝x－1≤－1， 解得x≤0，此時x≤0； 當(dāng)x>2時，由f(x)＝3x－5≤－1， 解得x≤，顯然不成立． 故f(x)≤－1的解集為M＝{x|x≤0}． (2)證明：當(dāng)x∈M時，f(x)＝x－1， 于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1) ＝－x2＋x＝－2＋. 令g(x)＝－2＋， 則函數(shù)g(x)在(－∞，0]上是增函數(shù)， ∴g(x)≤g(0)＝0. x[f(x)]2－x2f(x)≤0，故x[f(x)]2≤x2f(x)． 2．(2018吉林長春模擬)(1)如果關(guān)于x的不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，求實數(shù)m的取值范圍； (2)若a，b均為正數(shù)，求證：aabb≥abba. 解　(1)令y＝|x＋1|＋|x－5|＝可知|x＋1|＋|x－5|≥6，故要使不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，有m≥6. (2)證明：由a，b均為正數(shù)，則要證aabb≥abba， 只要證aa－bbb－a≥1，整理得a－b≥1. 當(dāng)a≥b時，a－b≥0，可得a－b≥1； 當(dāng)a<b時，a－b<0，可得a－b>1. 可知a，b均為正數(shù)時，a－b≥1， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，從而aabb≥abba成立． 1．作差比較法 (1)作差比較法證明不等式的四步驟 (2)作差比較法的應(yīng)用范圍 當(dāng)被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時，一般使用作差比較法． 2．作商比較法 (1)作商比較法證明不等式的一般步驟 (2)作商比較法的應(yīng)用范圍 當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時，一般使用作商比較法．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，P為不等式f(x)>4的解集． (1)求P； (2)證明：當(dāng)m，n∈P時，|mn＋4|>2|m＋n|. 解　(1)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝ 由f(x)的單調(diào)性及f(x)>4，得x>2或x<－2. 所以不等式f(x)>4的解集P＝{x|x>2或x<－2}． (2)證明：由(1)可知|m|>2，|n|>2， 所以m2>4，n2>4， 所以(mn＋4)2－4(m＋n)2＝(m2－4)(n2－4)>0， 所以(mn＋4)2>4(m＋n)2， 從而有|mn＋4|>2|m＋n|. 題型 　綜合法證明不等式 (2018合肥三模)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－3|. (1)解不等式f(x)≤x＋1； (2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為c，實數(shù)a，b滿足a>0，b>0，a＋b＝c.求證：＋≥1. 解　(1)f(x)≤x＋1，即|x－1|＋|x－3|≤x＋1. ①當(dāng)x<1時，不等式可化為4－2x≤x＋1，x≥1. 又∵x<1，∴x∈?； ②當(dāng)1≤x≤3時，不等式可化為2≤x＋1，x≥1. 又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3. ③當(dāng)x>3時，不等式可化為2x－4≤x＋1，x≤5. 又∵x>3，∴3<x≤5. 綜上所得，1≤x≤3或3<x≤5，即1≤x≤5. ∴原不等式的解集為[1,5]． (2)證明：由絕對值不等式性質(zhì)得， |x－1|＋|x－3|≥|(1－x)＋(x－3)|＝2， ∴c＝2，即a＋b＝2. 令a＋1＝m，b＋1＝n，則 m>1，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4， ＋＝＋ ＝m＋n＋＋－4 ＝≥＝1，原不等式得證． 1．綜合法證明不等式的方法 (1)綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵； (2)在用綜合法證明不等式時，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的．在運用這些性質(zhì)時，要注意性質(zhì)成立的前提條件． 2．綜合法證明時常用的不等式 (1)a2≥0. (2)|a|≥0. (3)a2＋b2≥2ab，它的變形形式有 a2＋b2≥2|ab|；a2＋b2≥－2ab；(a＋b)2≥4ab； a2＋b2≥(a＋b)2；≥2. (4)≥，它的變形形式有 a＋≥2(a>0)；＋≥2(ab>0)； ＋≤－2(ab<0). 設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，若不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤p或x≥q}． (1)求p，q的值； (2)若實數(shù)a，b，c滿足a(b＋c)＝q，證明：2a2＋b2＋c2－p≥13. 解　(1)由f(x)≥9，得|x－1|＋|x＋2|≥9， 得或 或解得x≤－5或x≥4， 所以不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤－5或x≥4}． 又不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤p或x≥q}， 所以p＝－5，q＝4. (2)若a(b＋c)＝q，則a(b＋c)＝4， 即ab＋ac＝4. 因為ab≤，ac≤， 所以ab＋ac≤＋， 即ab＋ac≤， 即4≤， 所以2a2＋b2＋c2≥8， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時取等號． 而p＝－5，所以2a2＋b2＋c2－p≥13.原命題得證． 題型 　分析法證明不等式 已知函數(shù)f(x)＝|x－3|. (1)若不等式f(x－1)＋f(x)<a的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍； (2)若|a|<1，|b|<3，且a≠0，判斷與f的大小，并說明理由． 解　(1)因為f(x－1)＋f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1，不等式f(x－1)＋f(x)<a的解集為空集，則1≥a即可，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]． (2)>f. 證明：要證>f， 只需證|ab－3|>|b－3a|， 即證(ab－3)2>(b－3a)2， 又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9 ＝(a2－1)(b2－9)． 因為|a|<1，|b|<3，所以(ab－3)2>(b－3a)2成立，所以原不等式成立． 1．分析法的應(yīng)用條件 當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式(a2＋b2≥2ab)、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆． 2．用分析法證“若A則B”這個命題的模式 為了證明命題B為真， 只需證明命題B1為真，從而有…… 只需證明命題B2為真，從而有…… …… 只需證明命題A為真，而已知A為真，故B必真．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下5個不等關(guān)系式子： ①－1>2－；②2－>－；③－>－2；④－2>－；⑤－>2－. (1)上述五個式子有相同的不等關(guān)系，分析其結(jié)構(gòu)特點，請你再寫出一個類似的不等式； (2)請寫出一個更一般的不等式，使以上不等式為它的特殊情況，并證明． 解　(1)－2>－3(答案不唯一)． (2)－>－. 證明：要證原不等式，只需證 ＋>＋， 因為不等式兩邊都大于0，只需證 2a＋3＋2>2a＋3＋2， 只需證>， 只需證a2＋3a＋2>a2＋3a， 只需證2>0，顯然成立，所以原不等式成立．