2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12章 選修4系列 第4講 證明不等式的基本方法講義 理(含解析).doc
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第4講證明不等式的基本方法考綱解讀了解不等式證明的基本方法:比較法、綜合法、分析法,并能應(yīng)用它們證明一些簡單的不等式(重點(diǎn)、難點(diǎn))考向預(yù)測從近三年高考情況來看,本講是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn). 預(yù)測2020年將會考查:與基本不等式結(jié)合證明不等式;與恒成立、探索性問題結(jié)合,題型為解答題,屬中檔題型.1基本不等式定理1:如果a,bR,那么a2b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號成立定理2:如果a,b0,那么,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號成立,即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)定理3:如果a,b,cR,那么,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),等號成立2比較法3綜合法與分析法(1)綜合法:一般地,從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立(2)分析法:從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義,公理或已證明的定理,性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立1概念辨析(1)設(shè)xa2b,Sab21則Sx.()(2)若1,則x2yxy.()(3)|ab|ab|2a|.()(4)若實(shí)數(shù)x,y適合不等式xy1,xy2,則x0,y0.()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)下列四個(gè)不等式:logx10lg x2(x1);|ab|1),正確ab0時(shí),|ab|a|b|,不正確;因?yàn)閍b0,與同號,所以2,正確;由|x1|x2|的幾何意義知,|x1|x2|1恒成立,正確,綜上正確故選C.(2)已知a,b是不相等的正數(shù),x,y,z(ab)0.25,則x,y,z的大小關(guān)系是()Axyz Bxyxz Dyzz2,y2x20,y2x2z2,又x0,y0,z0,yxz.(3)設(shè)xa2b25,y2aba24a,若xy,則實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件為_答案ab1或a2解析因?yàn)閤y(a2b25)(2aba24a)(a2b22ab1)(a24a4)(ab1)2(a2)20,若xy,則實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件為ab1或a2.題型 比較法證明不等式1設(shè)函數(shù)f(x)|x2|2x3,記f(x)1的解集為M.(1)求M;(2)當(dāng)xM時(shí),證明:xf(x)2x2f(x)解(1)由已知,得f(x)當(dāng)x2時(shí),由f(x)x11,解得x0,此時(shí)x0;當(dāng)x2時(shí),由f(x)3x51,解得x,顯然不成立故f(x)1的解集為Mx|x0(2)證明:當(dāng)xM時(shí),f(x)x1,于是xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x1)x2x2.令g(x)2,則函數(shù)g(x)在(,0上是增函數(shù),g(x)g(0)0.xf(x)2x2f(x)0,故xf(x)2x2f(x)2(2018吉林長春模擬)(1)如果關(guān)于x的不等式|x1|x5|m的解集不是空集,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若a,b均為正數(shù),求證:aabbabba.解(1)令y|x1|x5|可知|x1|x5|6,故要使不等式|x1|x5|m的解集不是空集,有m6.(2)證明:由a,b均為正數(shù),則要證aabbabba,只要證aabbba1,整理得ab1.當(dāng)ab時(shí),ab0,可得ab1;當(dāng)ab時(shí),ab1.可知a,b均為正數(shù)時(shí),ab1,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立,從而aabbabba成立1作差比較法(1)作差比較法證明不等式的四步驟(2)作差比較法的應(yīng)用范圍當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí),一般使用作差比較法2作商比較法(1)作商比較法證明不等式的一般步驟(2)作商比較法的應(yīng)用范圍當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時(shí),一般使用作商比較法 已知函數(shù)f(x)|x1|x1|,P為不等式f(x)4的解集(1)求P;(2)證明:當(dāng)m,nP時(shí),|mn4|2|mn|.解(1)f(x)|x1|x1|由f(x)的單調(diào)性及f(x)4,得x2或x4的解集Px|x2或x2,|n|2,所以m24,n24,所以(mn4)24(mn)2(m24)(n24)0,所以(mn4)24(mn)2,從而有|mn4|2|mn|.題型 綜合法證明不等式(2018合肥三模)已知函數(shù)f(x)|x1|x3|.(1)解不等式f(x)x1;(2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為c,實(shí)數(shù)a,b滿足a0,b0,abc.求證:1.解(1)f(x)x1,即|x1|x3|x1.當(dāng)x1時(shí),不等式可化為42xx1,x1.又x3時(shí),不等式可化為2x4x1,x5.又x3,3x5.綜上所得,1x3或31,n1,am1,bn1,mn4,mn41,原不等式得證1綜合法證明不等式的方法(1)綜合法證明不等式,要著力分析已知與求證之間,不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換,恰當(dāng)選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵;(2)在用綜合法證明不等式時(shí),不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí),要注意性質(zhì)成立的前提條件2綜合法證明時(shí)常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab,它的變形形式有a2b22|ab|;a2b22ab;(ab)24ab;a2b2(ab)2;2.(4),它的變形形式有a2(a0);2(ab0);2(ab0).設(shè)函數(shù)f(x)|x1|x2|,若不等式f(x)9的解集是x|xp或xq(1)求p,q的值;(2)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a(bc)q,證明:2a2b2c2p13.解(1)由f(x)9,得|x1|x2|9,得或或解得x5或x4,所以不等式f(x)9的解集是x|x5或x4又不等式f(x)9的解集是x|xp或xq,所以p5,q4.(2)若a(bc)q,則a(bc)4,即abac4.因?yàn)閍b,ac,所以abac,即abac,即4,所以2a2b2c28,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號而p5,所以2a2b2c2p13.原命題得證題型 分析法證明不等式已知函數(shù)f(x)|x3|.(1)若不等式f(x1)f(x)a的解集為空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若|a|1,|b|3,且a0,判斷與f的大小,并說明理由解(1)因?yàn)閒(x1)f(x)|x4|x3|x43x|1,不等式f(x1)f(x)f.證明:要證f,只需證|ab3|b3a|,即證(ab3)2(b3a)2,又(ab3)2(b3a)2a2b29a2b29(a21)(b29)因?yàn)閨a|1,|b|(b3a)2成立,所以原不等式成立1分析法的應(yīng)用條件當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法,且和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系,較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí),可用分析法來尋找證明途徑,使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆2用分析法證“若A則B”這個(gè)命題的模式為了證明命題B為真,只需證明命題B1為真,從而有只需證明命題B2為真,從而有只需證明命題A為真,而已知A為真,故B必真 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下5個(gè)不等關(guān)系式子:12;2;2;2;2.(1)上述五個(gè)式子有相同的不等關(guān)系,分析其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),請你再寫出一個(gè)類似的不等式;(2)請寫出一個(gè)更一般的不等式,使以上不等式為它的特殊情況,并證明解(1)23(答案不唯一)(2).證明:要證原不等式,只需證,因?yàn)椴坏仁絻蛇叾即笥?,只需證2a322a32,只需證,只需證a23a2a23a,只需證20,顯然成立,所以原不等式成立- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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