2020版高考數(shù)學一輪復習 第11章 算法復數(shù)推理與證明 第5講 數(shù)學歸納法講義 理（含解析）.doc

第5講數(shù)學歸納法考綱解讀1.了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的命題(重點)2.數(shù)學歸納法的主要作用是證明與自然數(shù)有關的不等式及數(shù)列問題(難點)考向預測從近三年高考情況來看，對本講并沒有直接涉及，當遇到與正整數(shù)n有關的不等式的證明，且其他方法不易證時，可以考慮用數(shù)學歸納法進行證明求解.數(shù)學歸納法的定義一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：1(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立；2(歸納遞推)假設nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當nk1時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，上述證明方法叫做數(shù)學歸納法1概念辨析(1)用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n1時結論成立()(2)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù)都增加了一項()(3)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設可以不用()(4)用數(shù)學歸納法證明等式“12222n22n31”，驗證n1時，左邊式子應為122223.()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)下列結論能用數(shù)學歸納法證明的是()Ax>sinx，x(0，)Bexx1(xR)C12n1(nN*)Dsin()sincoscossin(，R)答案C解析數(shù)學歸納法是用來證明與自然數(shù)有關的命題的一種方法，由此可知C符合題意(2)用數(shù)學歸納法證明1aa2an1(a1，nN*)，在驗證n1時，等式左邊的項是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案C解析驗證n1時，等式左邊的項是1aa2.(3)用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，當?shù)诙郊僭On2k1(kN*)命題為真時，進而需證n_時，命題亦真答案2k1解析由于步長為2，所以2k1后一個奇數(shù)應為2k1.題型 用數(shù)學歸納法證明恒等式設i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，0,2)用數(shù)學歸納法證明：(cosisin)ncosnisinn.證明當n1時，左邊右邊cosisin，所以命題成立；假設當nk時，命題成立，即(cosisin)kcoskisink，則當nk1時，(cosisin)k1(cosisin)k(cosisin)(coskisink)(cosisin)(coskcossinksin)i(sinkcoscosksin)cos(k1)isin(k1)，所以當nk1時，命題成立綜上，由和可得，(cosisin)ncosnisinn.數(shù)學歸納法證明等式的思路和注意點(1)思路：用數(shù)學歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少(2)注意點：由nk時等式成立，推出nk1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標；二要充分利用歸納假設，進行合理變形，正確寫出證明過程提醒：歸納假設就是證明nk1時命題成立的條件，必須用上，否則就不是數(shù)學歸納法.用數(shù)學歸納法證明：(nN*)證明當n1時，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立假設nk(k1，kN*)時，等式成立即，當nk1時，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立由知，對nN*，原等式成立題型 用數(shù)學歸納法證明不等式用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式>均成立證明當n2時，左邊1，右邊.左邊>右邊，不等式成立假設當nk(k2，且kN*)時不等式成立即>.則當nk1時，>>.當nk1時，不等式也成立由知對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式成立應用數(shù)學歸納法證明不等式應注意的問題(1)適用范圍：當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時，應用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法(2)關鍵：用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由nk成立，推證nk1時也成立，證明時用上歸納假設后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明.求證：當n1(nN*)時，(12n)n2.證明(1)當n1時，左邊右邊，命題成立當n2時，左邊(12)>22，命題成立(2)假設當nk(k2)時命題成立，即(12k)k2.則當nk1時，有左邊(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).當k2時，11，左邊k21(k1)k22k1(k1)2.這就是說當nk1時，命題成立由(1)(2)可知當n1(nN*)時原命題成立題型 歸納猜想證明如圖，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)(0<y1<y2<<yn)是曲線C：y23x(y0)上的n個點，點Ai(ai,0)(i1,2,3，n)在x軸的正半軸上，且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐標原點)(1)寫出a1，a2，a3；(2)求出點An(an,0)(nN*)的橫坐標an關于n的表達式解(1)設P1(x1，y1)，A1(a1,0)，則x1，即a12x1，由y23x得y1，由|A0P1|OA1|得，a1，即a1a，即a1>0，所以a12，同理可得a26，a312.(2)依題意，得xn，yn，由此及y3xn得2(an1an)，即(anan1)22(an1an)由(1)可猜想：ann(n1)(nN*)下面用數(shù)學歸納法予以證明：當n1時，命題顯然成立；假設當nk時命題成立，即有ank(k1)，則當nk1時，由歸納假設及(ak1ak)22(akak1)得ak1k(k1)22k(k1)ak1，即a2(k2k1)ak1k(k1)(k1)(k2)0，解得ak1(k1)(k2)或ak1k(k1)<ak(不符合題意，舍去)即當nk1時，命題成立由知，命題成立. 歸納猜想證明的應用策略一般思路是：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結論，然后用數(shù)學歸納法證明這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關的命題中有著廣泛的應用其關鍵是歸納、猜想出公式.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn1且an>0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項公式；(2)證明通項公式的正確性解(1)當n1時，由已知得a11，a2a120.所以a11(a1>0)當n2時，由已知得a1a21，將a11代入并整理得a2a220.所以a2(a2>0)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)證明：由(1)知，當n1,2,3時，通項公式成立假設當nk(k3，kN*)時，通項公式成立，即ak.由ak1Sk1Sk，將ak代入上式并整理，得a2ak120，解得ak1(負值舍去)即當nk1時，通項公式也成立由和，可知對所有nN*，an都成立