《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.5.3 反證法和放縮法導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.5.3 反證法和放縮法導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5.docx（8頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1.5.3 反證法和放縮法
1.理解反證法和放縮法的概念.
2.會用反證法和放縮法證明較簡單的不等式.
自學(xué)導(dǎo)引
1.反證法：首先假設(shè)要證明的命題是不正確的，然后利用公理，已有的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件(或已證明過的定理，或明顯成立的事實(shí))矛盾的結(jié)論，以此說明假設(shè)的結(jié)論不成立，從而原來的結(jié)論正確.
2.放縮法：將所需證明的不等式的值適當(dāng)放大(或縮小)使它由繁化簡，達(dá)到證明目的.如果所要證明的不等式中含有分式，把分母放大，則相應(yīng)分式的值縮小，反之，把分母縮小，則分式的值放大.
基礎(chǔ)自測
1.設(shè)M＝＋＋＋…＋，則( )
A.M＝1 B.M<1
C.M>1 D.M與1大小關(guān)系不定
解析 M是210項(xiàng)求和，
M＝＋＋＋…＋
<＋＋＋…＋＝1，故選B.
答案 B
2.已知a，b∈R＋，下列各式中成立的是( )
A.cos2θlg a＋sin2θlg b
lg(a＋b)
C.acos2θbsin2θ＝a＋b
D.acos2θbsin2θ>a＋b
解析 cos2θlg a＋sin2θlg b＝cos2θlg a＋(1－cos2θ)lg b＝cos2θlg＋lg b0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求證：a>0，b>0，c>0.
證明 假設(shè)a、b、c不全是正數(shù)，
即至少有一個小于或等于0.
又abc>0，不妨假設(shè)a<0，則bc<0.
∵b＋c>－a>0，∴－a(b＋c)>0.
∴a(b＋c)<0，又∵bc<0，∴bc＋a(b＋c)<0.
即ab＋bc＋ca<0.
這與已知ab＋bc＋ca>0矛盾.
∴假設(shè)不成立.
故a>0，b>0，c>0成立.
●反思感悟：用反證法證明不等式，其實(shí)質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出與已知條件或公理相矛盾的結(jié)論，從而肯定原命題成立.
1.設(shè)a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.證明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立.
證明 由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假設(shè)a2＋a＜2與b2＋b＜2同時成立，則由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab＝1矛盾.故a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立.
知識點(diǎn)2 放縮法證明不等式
【例2】 設(shè)Sn＝＋＋…＋，
求證：不等式＋＋…＋
＝1＋2＋…＋n＝.
且Sn<＋＋…＋＝＋＋…＋
<＋＋＋…＋＝
∴c，
求證：＋>.
證明 ∵a＋b>c，∴a＋b－c>0，由真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：
<＝
＝＋<＋
∴＋>.
●反思感悟：函數(shù)的單調(diào)性和“真分?jǐn)?shù)的分子、分母同加上一正數(shù)，所得新分?jǐn)?shù)的值變大”的性質(zhì)都是放縮的重要依據(jù).
3.求證：＋＋＋…＋<3 (n∈N*).
證明 設(shè)S＝＋＋＋…＋，
將等式兩邊乘以得S＝＋＋＋…＋.
將兩式相減得
S＝＋2－
＝＋1－.∴S＝3－，又>0，
∴S<3，即＋＋＋…＋<3 (n∈N*).
課堂小結(jié)
1.用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：
(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面.當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的.
(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證；否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法.
(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾、有的與假設(shè)矛盾、有的與已知事實(shí)相違背等等.推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.
2.放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一.放縮必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，常用的放縮法有增項(xiàng)、減項(xiàng)、利用分式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用已知不等式、利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮等.
隨堂演練
1.設(shè)a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是“P、Q、R同時大于零”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分且必要條件 D.既不充分又不必要條件
解析 必要性是顯然成立的
當(dāng)PQR>0時，若P，Q，R不同時大于零，則其中兩個為負(fù)，一個為正，不妨設(shè)P>0，Q<0，R<0，則Q＋R＝2c<0，這與c>0矛盾，即充分性也成立.
答案 C
2.已知a，b，c，d都是正數(shù)，S＝＋＋＋，則S的取值范圍是________.
答案 (1，2)
3.用反證法證明：如果a，b為正數(shù)，則a3＋b3≥a2b＋ab2.
證明 假設(shè)a3＋b32)，則( )
A.p>q B.p0，
∴p≥2＋2＝4，而q＝2－(a－2)2＋2，
根據(jù)a>2，可得q<22＝4，∴p>q.
答案 A
2.不等式a>b與>能同時成立的充要條件是( )
A.a>b>0 B.a>0>b
C.<<0 D.>>0
解析 充分性顯然.下面用反證法說明必要性.
若a，b同號且a>b，則有<，
此時不能保證a>b與>同時成立，
∴a，b只能異號，即a>0>b.
答案 B
3.若f(x)＝，a，b都為正數(shù)，A＝f，G＝f()，H＝f，則( )
A.A≤G≤H B.A≤H≤G
C.G≤H≤A D.H≤G≤A
解析 ∵a，b為正數(shù)，
∴≥＝≥＝，
又∵f(x)＝為單調(diào)減函數(shù)，
∴f≤f()≤f，
∴A≤G≤H.
答案 A
4.設(shè)x>0，y>0，A＝，B＝＋，則A與B的大小關(guān)系為________.
解析 ∵A＝＋ (x>0，y>0)<＋＝B，∴Am時，求證：<2.
證明 由已知得：|x|>m≥|a|，
|x|>m≥|b|，|x|>m≥1，
∴|x|2>m2≥|b|1＝|b|
∴≤＋
＝＋<＋＝2，
故原不等式成立.
綜合提高
7.已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，則a，b，c三數(shù)( )
A.全為正數(shù)
B.至多有兩個為正數(shù)
C.至多有一個為正數(shù)
D.全為負(fù)數(shù)
解析 假設(shè)a，b，c不全為正數(shù)，
∵abc>0，∴有兩個負(fù)數(shù)一個正數(shù)，
不妨設(shè)a，b為負(fù)數(shù)，c為正數(shù)，
∵a＋b＋c>0，c>－(a＋b)>0，
又∵ab＋bc＋ca>0，ab>－(bc＋ca)＝－c(a＋b)≥(a＋b)2，
這與(a＋b)2≥4ab矛盾，故假設(shè)錯誤，∴a，b，c全為正數(shù).選A.
答案 A
8.若實(shí)數(shù)m>n，正數(shù)a>b，A＝(an＋bn)m，B＝(am＋bm)n，則( )
A.A>B
B.Ab>0，∴0<<1.又m>n，∴>，
∴amn>amn，
即A>B，故選A.
答案 A
9.若|a|<1，|b|<1，則|a＋b|＋|a－b|與2的大小關(guān)系是________________.
解析 當(dāng)(a＋b)(a－b)≥0時，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2；
當(dāng)(a＋b)(a－b)<0時，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.
綜上，|a＋b|＋|a－b|<2.
答案 |a＋b|＋|a－b|<2
10.設(shè)a、b、c、d∈R，a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，則abcd的最小值等于________.
答案?。?
11.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求證：a，b，c中至少有一個大于.
證明 ∵abc＝1>0，∴a，b，c都為正，或者a，b，c中有一正二負(fù).又a＋b＋c＝0，
∴a，b，c中只能是一正二負(fù).
不妨設(shè)a>0，b<0，c<0，則b＋c＝－a，bc＝，
即b，c為方程x2＋ax＋＝0的兩個負(fù)實(shí)根，
∴Δ＝a2－≥0，
解得a≥> ＝，
∴a，b，c中至少有一個大于.
12.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)證明{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明＋＋…＋<.
證明 (1)由an＋1＝3an＋1
得an＋1＋＝3.
又a1＋＝，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列.
an＋＝，
因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝.
(2)由(1)知＝.
因?yàn)楫?dāng)n≥1時，3n－1≥23n－1，所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.
所以＋＋…＋<.
2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.5.3 反證法和放縮法導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5.docx
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