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課時分層作業(yè)(十六) 數(shù)學歸納法
(建議用時：40分鐘)
[基礎達標練]
一、選擇題
1．用數(shù)學歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步驗證( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
C [由題知，n的最小值為3，所以第一步驗證n＝3是否成立．]
2．設Sk＝＋＋＋…＋，則Sk＋1為( )
A．Sk＋ B．Sk＋＋
C．Sk＋－ D．Sk＋－
C [因式子右邊各分數(shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)，則由Sk＝＋＋…＋，①
得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②
由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－
＝－.
故Sk＋1＝Sk＋－.]
3．利用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k變到n＝k＋1時，左邊增加了( )
【導學號：31062168】
A．1項 B．k項
C．2k－1項 D．2k項
D [當n＝k時，不等式左邊的最后一項為，而當n＝k＋1時，最后一項為＝，并且不等式左邊和分母的變化規(guī)律是每一項比前一項加1，故增加了2k項．]
4．對于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某學生的證明過程如下：
(1)當n＝1時，≤1＋1，不等式成立．
(2)假設n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即
2的自然數(shù)n都成立
B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立
C．該命題何時成立與k取值無關
D．以上答案都不對
B [由n＝k時命題成立可以推出n＝k＋2時命題也成立．且n＝2，故對所有的正偶數(shù)都成立．]
二、填空題
6．用數(shù)學歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”時，第一步的驗證為________．
[解析] 當n＝1時，左≥右，不等式成立，
∵n∈N*，
∴第一步的驗證為n＝1的情形．
[答案] 當n＝1時，左邊＝4，右邊＝4，左≥右，不等式成立
7．用數(shù)學歸納法證明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1(n2＋n)時，從n＝k到n＝k＋1左邊需要添加的因式是________.
【導學號：31062170】
[解析] 當n＝k時，左端為：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，
當n＝k＋1時，
左端為：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，
由k到k＋1需添加的因式為：(2k＋2)．
[答案] 2k＋2
8．數(shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次計算出a2，a3，a4后，歸納、猜測得出an的表達式為________．
[解析] a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜測an＝.
[答案] an＝
三、解答題
9．(1)用數(shù)學歸納法證明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1(n∈N*)．
(2)求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[解] (1)①當n＝1時，左邊＝12＝1，
右邊＝(－1)0＝1，
左邊＝右邊，等式成立．
②假設n＝k(k∈N*)時，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2
＝(－1)k－1.
則當n＝k＋1時，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)
＝(－1)k.
∴當n＝k＋1時，等式也成立，
根據(jù)①、②可知，對于任何n∈N*等式成立．
(2)①n＝1時，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立．
②假設n＝k時，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
當n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1時，等式也成立．
由①②得，等式對任何n∈N*都成立．
10．已知{fn(x)}滿足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x)).
(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表達式；
(2)用數(shù)學歸納法證明對fn(x)的猜想.
【導學號：31062171】
[解] (1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，
f3(x)＝f1[f2(x)]＝＝
猜想：fn(x)＝，(n∈N*)
(2)下面用數(shù)學歸納法證明 ，fn(x)＝(n∈N*)
①當n＝1時，f1(x)＝，顯然成立；
②假設當n＝k(k∈N*)時，猜想成立，即fk(x)＝，
則當n＝k＋1時，fk＋1＝f1[fk(x)]＝＝，
即對n＝k＋1時，猜想也成立；
結(jié)合①②可知，猜想fn(x)＝對一切n∈N*都成立．
[能力提升練]
1．利用數(shù)學歸納法證明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)時，第二步由k到k＋1時不等式左端的變化是( )
A．增加了這一項
B．增加了和兩項
C．增加了和兩項，同時減少了這一項
D．以上都不對
C [不等式左端共有n＋1項，且分母是首項為n，公差為1，末項為2n的等差數(shù)列，當n＝k時，左端為＋＋＋…＋；當n＝k＋1時，左端為＋＋＋…＋＋＋，對比兩式，可得結(jié)論．]
2．某命題與自然數(shù)有關，如果當n＝k(k∈N*)時該命題成立，則可推得n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知當n＝5時該命題不成立，則可推得( )
【導學號：31062172】
A．當n＝6時，該命題不成立
B．當n＝6時，該命題成立
C．當n＝4時，該命題不成立
D．當n＝4時，該命題成立
C [若n＝4時，該命題成立，由條件可推得n＝5命題成立．
它的逆否命題為：若n＝5不成立，則n＝4時該命題也不成立．]
3．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
[解析] 由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時，增加了一個三角形圖形，
故f(k＋1)＝f(k)＋π.
[答案] π
4．對任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a＝________.
【導學號：31062173】
[解析] 當n＝1時，36＋a3能被14整除的數(shù)為a＝3或5；當a＝3且n＝2時，310＋35不能被14整除，故a＝5.
[答案] 5
5．是否存在a，b，c使等式2＋2＋2＋…＋2＝對一切n∈N*都成立，若不存在，說明理由；若存在，用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論．
[解] 取n＝1,2,3可得，解得：a＝，b＝，c＝.
下面用數(shù)學歸納法證明2＋2＋2＋…＋2＝＝.
即證12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，
①n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，∴等式成立；
②假設n＝k時等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，
則當n＝k＋1時，等式左邊＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，∴當n＝k＋1時等式成立；
由數(shù)學歸納法，綜合①②當n∈N*等式成立，
故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立．
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