新編廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項檢測試題:28 函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性
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新編廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項檢測試題:28 函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性
函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性一、奇偶性1、奇函數(shù)的定義:一般地,如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個,都有,那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。 (1)定義域必須關(guān)于原點對稱;(2)對定義中的任意一個,都有;(3)圖象特征:奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱。(這是判斷奇函數(shù)的直觀方法)2、偶函數(shù)定義:一般地,如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個,都有,那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。(1)定義域必須關(guān)于原點對稱;(2)對定義中的任意一個,都有;(3)圖象特征:偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱。(這是判斷偶函數(shù)的直觀方法)二、周期性周期函數(shù)的定義:對于定義域內(nèi)的每一個,都存在非零常數(shù),使得恒成立,則稱函數(shù)具有周期性,叫做的一個周期,則()也是的周期,所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期,并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期。例如,狄利克雷函數(shù),當(dāng)為有理數(shù)時,取1;當(dāng)為非有理數(shù)時,取0。(1)如果函數(shù)滿足且,(和是不相等的常數(shù)),則是以為為周期的周期函數(shù)。(2)如果奇函數(shù)滿足(),則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。(3)如果偶函數(shù)滿足(),則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。 三、對稱性1、函數(shù)圖象本身的對稱性(自身對稱)題設(shè):函數(shù)對定義域內(nèi)一切來說,其中為常數(shù),函數(shù)滿足:(1)函數(shù)圖象關(guān)于直線成軸對稱;(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱;(3)函數(shù)圖象關(guān)于直線成軸對稱;(4)函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱(偶函數(shù));(5)函數(shù)圖象關(guān)于成中心對稱;(6)函數(shù)圖象關(guān)于原點成中心對稱(奇函數(shù));(7)如果函數(shù)滿足且,(和是不相等的常數(shù)),則是以為為周期的周期函數(shù);(8)如果奇函數(shù)滿足(),則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù);(9)如果偶函數(shù)滿足(),則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。2、兩個函數(shù)的圖象對稱性(相互對稱)(利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解)(1)曲線與關(guān)于軸對稱。(2)曲線與關(guān)于軸對稱。(3)曲線與的圖象關(guān)于原點對稱;(4)曲線與的圖象關(guān)于直線對稱。(5)曲線與關(guān)于直線對稱。(6)曲線關(guān)于直線對稱曲線為。(7)曲線關(guān)于直線對稱曲線為。(8)曲線關(guān)于直線對稱曲線為。(9)曲線關(guān)于點對稱曲線為。注意:設(shè),都有且有個實根,則所有實根之和為。例1:已知滿足,當(dāng)時且,若,求大小關(guān)系?解:由已知得,對稱軸,也為一條對稱軸,例2:若函數(shù),有,求。解:,知的圖象關(guān)于對稱,而的對稱中心 , ,則。例3:設(shè)是定義在上的函數(shù),均有,當(dāng)時,求當(dāng)時,的解析式。解:由有得設(shè),則,;,當(dāng)時,。