新版高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯點(diǎn)點(diǎn)睛系列專題 三角函數(shù)學(xué)生版

1 1三角函數(shù)一、高考預(yù)測該專題是高考重點(diǎn)考查的部分，從最近幾年考查的情況看，主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)式的化簡與求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形和平面向量在立體幾何、解析幾何等問題中的應(yīng)用該部分在試卷中一般是23個選擇題或者填空題，一個解答題，選擇題在于有針對性地考查本專題的重要知識點(diǎn)(如三角函數(shù)性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積等)，解答題一般有三個命題方向，一是以考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為主，二是把解三角形與三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換交匯，三是考查解三角形或者解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用由于該專題是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和工具性知識，在試題的難度上不大，一般都是中等難度或者較為容易的試題從近幾年全國各地的高考試題來看,三角函數(shù)這部分的試題有以下特點(diǎn): 1.考小題，重在基礎(chǔ)運(yùn)用 二、知識導(dǎo)學(xué)要點(diǎn)1：三角函數(shù)的概念、同角誘導(dǎo)公式的簡單應(yīng)用1三角函數(shù)的定義是求三角函數(shù)值的基本依據(jù)，如果已知角終邊上的點(diǎn)，則利用三角函數(shù)的定義，可求該角的正弦、余弦、正切值。2同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式的化簡中起著舉足輕重的作用，應(yīng)注意正確選擇公式、注意公式應(yīng)用的條件。要點(diǎn)2：函數(shù)y=Asin(x+)的解析式、圖象問題，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對稱中心。4由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0平移個單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?0)，便得ysin(x)的圖象。途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將ysinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?0)，再沿x軸向左(0)或向右(0平移個單位，便得ysin(x)的圖象。要點(diǎn)3：與三角函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的問題1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像2三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，3對稱軸與對稱中心：的對稱軸為，對稱中心為；的對稱軸為，對稱中心為；對于和、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。要點(diǎn)4：三角變換及求值1兩角和與差的三角函數(shù)；。2二倍角公式；。3三角函數(shù)式的化簡4三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。要點(diǎn)5：正、余弦定理的應(yīng)用1直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：AB90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：ABC。（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。在三角形中考查三角函數(shù)式變換，是近幾年高考的熱點(diǎn)，它是在新的載體上進(jìn)行的三角變換，因此要時刻注意它重要性：一是作為三角形問題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；其二，它畢竟是三角形變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問題獲得解決的突破口。要點(diǎn)6：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換 因?yàn)樵贏BC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。（3）在ABC中，熟記并會證明：A，B，C成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60°；ABC是正三角形的充分必要條件是A，B，C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。在解三角形時，三角形內(nèi)角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），這往往造成有兩解，應(yīng)注意分類討論，但三角形內(nèi)角的余弦為正，該角一定為銳角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角問題，應(yīng)盡量避免求正弦值。要點(diǎn)7：向量與三角函數(shù)的綜合三、易錯點(diǎn)點(diǎn)睛命題角度1 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1函數(shù)=sinx+2|sinx|,x（0，2）的圖像與直線y=k有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則眾的取值范圍是 . 考場錯解 =的值域?yàn)?0，3)，與y=k有交點(diǎn)，k0，3 ( ) A.橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動個單位長度 考場錯解將函數(shù)y=sin(2x+)的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像，再向右平行移動子個單位長度后得函數(shù)y=sin(x+)=cosx 專家把脈 選B有兩處錯誤，一是若將函數(shù)=sin(2x+)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，(縱坐標(biāo)標(biāo)不變)所得函數(shù)y=sin(4x+)，而不是=sin(x+)，二是將函數(shù)y= 對癥下藥 選C 將函數(shù)y=sin(2x+)圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像；再向左平行移動子個單位長度后便得y=sin(x+)=cosx的圖像故選C3設(shè)函數(shù)=sin(2x+)(-<<0)，y=圖像的一條對稱軸是直線x=. (1)求； (2)求函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間； (3)畫出函數(shù)y=在區(qū)間0，上的圖像 考場錯解 (1)x=是函數(shù)y=的圖像的對稱軸，sin(2×+)=±1， +=k+k 專家把脈以上解答錯在第（2）小題求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，令處，因若把看成一個整體u，則y=sinu的周期為2。故應(yīng)令，解得的x范圍才是原函數(shù)的遞增區(qū)間.解得所以函數(shù)y=sin(2x-)的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）由知x0y-1010故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間0,上圖像是5. 求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間。 考場錯解 對癥下藥函數(shù)y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-)故該函數(shù)的最小正周期是.當(dāng)2x-=2k-時，即x=k-時，y有最小值令2k-2x-2k+，kZ解得k-xk+，kZ令K=0時，-x又0x，0x， K=1時， x 又0x.命題角度2三角函數(shù)的恒等變形 1設(shè)為第四象限的角，若，則tan2= . 考場錯解 填± 考場錯解 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+ 2sinxcosx+cos2x=()2，即2sinxcosx=-. 專家把脈 以上解答在利用三角恒等變形化簡時出現(xiàn)了錯誤即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)變形時認(rèn)為2sin2 =1+cosx，用錯了公式，因?yàn)?2sin2 =1-cosx因此原式化簡結(jié)果是錯誤的 對癥下藥解法1(1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+.又- <x<0，sinx<0，cosx>0，sinx-cosx<0sinx-cosx= (2) 解法2 (1)聯(lián)立方程由得slnx=-cosx，將其代入，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，cosx=-或(cosx=)-<x<0，故sinx-cosx=-( 2 ) =sinxcosx(2-cosx-sinx)= 3已知6sin2+sincos-2cos2=0，求sin(2+)的值 考場錯解 由已知得(3sin+2cos)(2sin-cos)=03sin+2cos=0或2sin-cos=0 tan=-或tan=又sin(2+)=sin2cos+cos2·sin將tan=時代入上式得即專家把脈 上述解答忽視了題設(shè)條件提供的角的范圍的運(yùn)用，(,)，tan<0，tan=應(yīng)舍去，因此原題只有一解 將代入上式得sin(2+)= 專家把脈 上面解答在三角恒等變形中，用錯了兩個公式：1+cos2x2sin2x；sin(+x)sinx因?yàn)?cos2x=1-2sin2x=2cos2x-11+cos2x=2cos2x由誘導(dǎo)公式“奇變偶不變”知sin(+x)=cosx對癥下藥 =其中角滿足由已知有=4，解之得，a= 考場錯解 設(shè)S為十字形的面積，則S=2xy=2sin· cos=sin2(<) (2)當(dāng)sin2=1即=時，S最大，S的最大值為1 解法2 S=2sincos-cos2，S=2cos2- 2sin2+2sin·cos=2cos2+sin2 A2x>3sinx B2x<3sinx C2x=3sinx D與x的取值有關(guān)考場錯解 選A 設(shè)=2x-3sinx，= 2-3cosx，0<x<f(x)>0在(0，)上是增函數(shù) >=0即2x>3sinx，選A 專家把脈=3(-cosx)當(dāng)0<x<時，不一定恒大于0，只有當(dāng)x(arccos)時才大于0因而原函數(shù)在(0，)先減后增函數(shù)，因而2x與3sinx的大小不確定 (3)設(shè)在(0，+)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序a1,a2，an，證明：<an+1-an< 的全部正實(shí)根,且滿足a1<a2<a3，an，那么對于an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)·tan(an+1-an) 由于+(n-1)<an<+(n-1)，+n< an+1<+n，則<an+1-an<由于tanan+1·tanan>0，由式知tan(an-1，-an)< 0由此可知an+1-an必在第二象限<an+1-an< 專家把脈上面解答的錯誤出現(xiàn)在第三小題的證明，設(shè)x0是f(x0)的根，則認(rèn)為x0是的一個極值點(diǎn)，沒有判斷在(+k，x0)和(x0+k)上的符號是否異號，這顯然是錯誤的 對癥下藥 (1)證明：由函數(shù)f(x)的定義，對任意整數(shù)k，有f(x+2k)-(x)=(x+2k)sin(x+2k)- xsinx=(x+2k)sinx-xsinx=2ksinx (3)證明：設(shè)x0>0是=0的任意正實(shí)根，即x0-tanx0，則存在一個非負(fù)整數(shù)k，使x0(+k，+k)，即x0在第二或第四象限內(nèi)由式=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號可列表如下：X()的符號K為奇數(shù)-0+K為偶數(shù)+0-所以滿足=0的正根x0都為f(x)的極值點(diǎn)由題設(shè)條件，a1,a2，an為方程x=-tanx的全部正實(shí)根且滿足a1<a2<<an那么對于n=1，2， 命題角度4 向量及其運(yùn)算1如圖6-1，在 RtABC中，已知BC=a，若長為 2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問與的夾角取何值時的值最大?并求出這個最大值 考場錯解此后有的學(xué)生接著對上式進(jìn)行變形，更多的不知怎樣繼續(xù) 又a+b與a+b的夾角為銳角，(a+b)·(a+ b)>0，且a+b(a+b)(其中 k,>0)由(a+b)· (a+b)>0，得|a|2+|b|2+(2+1)a·b>0即32+11 +3>0，解得>由a+b (a+b)，得1,，即1，綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍是(-，,1)(1，+) 3已知O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足，則AOB與AOC的面積之比為 ( ) A1 B. D2 AOB的面積與AOC的面積之比為3：2，選B(2)不妨設(shè)A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，則由專家會診向量的基本概念是向量的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時應(yīng)注意對向量的夾角、模等概念的理解，不要把向量與實(shí)數(shù)胡亂類比；向量的運(yùn)算包括兩種形式：(1)向量式；(2)坐標(biāo)式；在學(xué)習(xí)時不要過分偏重坐標(biāo)式，有些題目用向量式來進(jìn)行計(jì)算是比較方便的，那么對向量的加、減法法則、定比分點(diǎn)的向量式等內(nèi)容就應(yīng)重點(diǎn)學(xué)習(xí)，在應(yīng)用時不要出錯，解題時應(yīng)善于將向量用一組基底來表示，要會應(yīng)用向量共線的充要條件來解題.命題角度5 平面向量與三角、數(shù)列 (2)函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量c=(m,n)平移后得到y(tǒng)=2sin2(x+m)-n的圖像，即y=f(x)的圖像，由（1）得f(x)=2sin2(x+y=f(x)的圖像，由（1）得f(x)=2sin2(2.已知i,j分別為x軸，y軸正方向上的單位向量，（1）求考場錯解（1）由已知有專家把脈向量是一個既有方向又有大小的量，而錯解中只研究大小而不管方向，把向量與實(shí)數(shù)混為一談，出現(xiàn)了很多知識性的錯誤.對癥下藥 （1） 3.在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23),Pn(n，2n)，其中n是正整數(shù)，對平面上任一點(diǎn)Ao，記A1為Ao關(guān)于點(diǎn)P1的對稱點(diǎn)，A2為A1，關(guān)于點(diǎn)P2的對稱點(diǎn)，An為An-1關(guān)于點(diǎn)Pn的對稱點(diǎn) 考場錯解 第(2)問，由(1)知=(2，4)，依題意，將曲線C按向量(2，4)平移得到 因此，曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖像，其中g(shù)(x)是以 3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x(-2，1)時，g(x)=1g(x+2)-4，于是，當(dāng)x(1，4)時，g(x)=1g(x-1)-4專家會診向量與三角函數(shù)、數(shù)列綜合的題目，實(shí)際上是以向量為載體考查三角函數(shù)、數(shù)列的知識，解題的關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積等知識將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)、數(shù)列的問題，轉(zhuǎn)化時不要把向量與實(shí)數(shù)搞混淆，一般來說向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目難度不大，向量與數(shù)列結(jié)合的題目，綜合性強(qiáng)、能力要求較高 命題角度6平面向量與平面解析幾何 1(典型例題)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為，一個焦點(diǎn)F(-m，0)(m是大于0的常數(shù))(1)求橢圓的方程； (2)設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、Q的直線l與y 軸交于點(diǎn)M，若，求化時出現(xiàn)錯誤，依題意應(yīng)轉(zhuǎn)化為再分類求解k 對癥下藥 (1)設(shè)所求橢圓方程為1 (a>b>O) 由已知得c=m，2梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，|AB|=ACBD，M為CD的中點(diǎn) (1)求點(diǎn)M的軌跡方程； (2)過M作AB的垂線，垂足為N，若存在常數(shù)o，使，且P點(diǎn)到A、B的距離和為定值，求點(diǎn)P的軌跡C的方程 考場錯解 第(2)問：設(shè)P(x，y)，M(xo，yo)，則N(0，yo) x-xo=-ox,y-yo=o(yo-y)，o=-1 專家把脈 對分析不夠，匆忙設(shè)坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)際上M、N、P三點(diǎn)共線，它們的縱坐標(biāo)是相等的，導(dǎo)致后面求出o=-1是錯誤的 對癥下藥 (1)解法1：設(shè)M(x，y)，則C(x，-1+即(x，y-1)·(x，y+1)=0，得x2+y2=1，又x0，M的軌跡方程是:x2+y2=1(x0)解法2：設(shè)AC與BD交于E，連結(jié)EM、EO，AC+BD，CED=AEB=90°，又M、O分3ABCD是邊長為2的正方形紙片，以某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)。都落在AD上，記為B'；折痕l與AB交于點(diǎn)E，使M滿足關(guān)系式 (1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的軌跡方程； (2)若曲線C是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對稱的 對癥下藥 (1)解法1以AB所在的直線為y軸，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖6-6所示的直角坐標(biāo)系，別 A(0，1)，B(0，-1)，設(shè)E(0，t)，則由已知有0t1，由(2)由(1)結(jié)合已知條件知C的方程是x2=-4y (-2x2)，由知F(0，)，設(shè)過F的直線的斜率為k，則方程為y=，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得x1=-x2，聯(lián)立直線方程和C得方程是x2 +4kx-2=0，由-2x2知上述方程在-2，2內(nèi)有兩個解，由；次函數(shù)的圖像知，由x=-x2可得由韋達(dá)定理得8k2=. 考場錯解 (1)設(shè)橢圓方程為，F(xiàn)(c，0)聯(lián)立y=x-c與得(專家把脈與(3，-1)共線，不是相等，錯解中，認(rèn)為(3，-1)，這是錯誤的，共線是比例相等 (x，y)=(x1，y1)+(x2，y2)， M(x，y)在橢圓上， (x1+x2)23(y1+y2)2=3b2 即2()+2(x1x2+2y1y2)= 3b2 由(1)知x2+x2= x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2=0 又又，代入得 2+2=1故2+2為定值，定值為1 1在ABC中，sinA+cosA=AB=3，求tanA的值和ABC的面積=sin(45°+60°)= 當(dāng)A=165°時，tanA=tan(45°+ 120°)=-2+，sinA=sin(45°+120°) 對癥下藥 解法1sinA+cosA=<180°，A-45°=60°，得A=105°tanA=tan(45°+60°)=-2-，sinA=sin(45°+60°)= ,SABC= 解法2 sinA+cosA=又0°<A<180°，sinA>0,cosA<0, .專家把脈沒有考慮x的范圍，由于三角形的兩邊之差應(yīng)小于第三邊，兩邊之和應(yīng)大于第三邊，1<x<3.對癥下藥 （前同錯解）1<x<3, x=應(yīng)舍去，正方形的邊長為四、典型習(xí)題導(dǎo)練1、在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知B60°（）若cos(BC)，求cosC的值；（）若a5，·5，求ABC的面積2、在中,角所對的邊分別為,且成等差數(shù)列（）求角的大小;（）若，試求周長的范圍.3、如圖，在中，是斜邊上一點(diǎn)，且，記.()求的值； （）若,求的大小. 4、已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若，求的值 5、設(shè)函數(shù).求的最小正周期；已知分7、己知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期。（2）記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，若，、b=1、c=，求a的值9、已知函數(shù)，若的最大值為1（1）求的值，并求的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）在中，角、的40東300AB20北C11、如圖，位于處的信息中心獲悉：在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西且相距海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援.求線段的長度及的值；求的值.12、如圖4，某測量人員，為了測量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C；找到一個點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C；并測量得到數(shù)據(jù)：，DC=CE=1（百米）.（1）求DCDE的面積；（2）求A，B之間的距離.13、在ABC中，所對邊分別為，且滿足（）求的值；（）求的值. 14、如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2，是正三角形（1）將四邊形ABCD的面積表示為的函數(shù)；（）求的最大值及此時的值15、ABC中，角A,B,C所對的邊分別為且滿足()求角C的大??；18、在中，向量，向量，且滿足.求角的大??；求的取值范圍.