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1、11課時跟蹤檢測課時跟蹤檢測(五五十十八八)坐標系坐標系1求雙曲線求雙曲線 C：x2y2641 經過經過：x3x，2yy，變換后所得曲線變換后所得曲線 C的焦點坐標的焦點坐標解：解：設曲線設曲線 C上任意一點上任意一點 P(x，y)，由上述可知，將由上述可知，將x13x，y2y代入代入 x2y2641得得x294y2641，化簡得，化簡得x29y2161，即即x29y2161 為曲線為曲線 C的方程，的方程，可見仍是雙曲線，則焦點可見仍是雙曲線，則焦點 F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)為所求為所求2(1)把化圓的直角坐標方程把化圓的直角坐標方程 x2y2r2(r0)化為極坐標方程；化為極坐標方程
2、；(2)把曲線的極坐標方程把曲線的極坐標方程8sin 化為直角坐標方程化為直角坐標方程解：解：(1)將將 xcos ，ysin 代入代入 x2y2r2，得得2cos22sin2r2，2(cos2sin2)r2，r所以，以極點為圓心、半徑為所以，以極點為圓心、半徑為 r 的圓的極坐標方程為的圓的極坐標方程為r(02)(2)法一：法一：把把 x2y2，sin y代入代入8sin ，得得 x2y28yx2y2，即即 x2y28y0，即，即 x2(y4)216法二：法二：方程兩邊同時乘以方程兩邊同時乘以，得得28sin ，即即 x2y28y03在極坐標系中，曲線在極坐標系中，曲線 C 的方程為的方程為
3、2312sin2，點，點 R2 2，4 (1)以極點為原點，極軸為以極點為原點，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標系，把曲線軸的正半軸，建立平面直角坐標系，把曲線 C 的極坐標方的極坐標方程化為直角坐標方程，程化為直角坐標方程，R 點的極坐標化為直角坐標；點的極坐標化為直角坐標；(2)設設 P 為曲線為曲線 C 上一動點，以上一動點，以 PR 為對角線的矩形為對角線的矩形 PQRS 的一邊垂直于極軸，求矩的一邊垂直于極軸，求矩形形PQRS 周長的最小值，及此時周長的最小值，及此時 P 點的直角坐標點的直角坐標解：解：(1)xcos ，ysin ，曲線曲線 C 的直角坐標方程為的直角坐標方
4、程為x23y21，點點 R 的直角坐標為的直角坐標為 R(2,2)(2)設設 P( 3cos ，sin )，根據題意可得根據題意可得|PQ|2 3cos ，|QR|2sin ，|PQ|QR|42sin(60)，當當30時，時，|PQ|QR|取最小值取最小值 2，矩形矩形 PQRS 周長的最小值為周長的最小值為 4，此時點此時點 P 的直角坐標為的直角坐標為32，12 4在直角坐標系在直角坐標系 xOy 中中，以以 O 為極點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線曲線 C 的極的極坐標方程為坐標方程為cos3 1，M，N 分別為分別為 C 與與 x 軸，軸，y 軸的
5、交點軸的交點(1)寫出寫出 C 的直角坐標方程，并求的直角坐標方程，并求 M，N 的極坐標；的極坐標；(2)設設 MN 的中點為的中點為 P，求直線，求直線 OP 的極坐標方程的極坐標方程解：解：(1)由由cos3 1 得得12cos 32sin 1從而從而 C 的直角坐標方程為的直角坐標方程為12x32y1，即，即 x 3y2當當0 時，時，2，所以，所以 M(2,0)當當2時，時，2 33，所以，所以 N2 33，2 (2)由由(1)知知 M 點的直角坐標為點的直角坐標為(2,0)，N 點的直角坐標為點的直角坐標為0，2 33所以所以 P 點的直角坐標為點的直角坐標為1，33 ，則則 P
6、點的極坐標為點的極坐標為2 33，6 ，所以直線所以直線 OP 的極坐標的極坐標方程為方程為6(R)5(20 xx成都模擬成都模擬)在直角坐標系在直角坐標系 xOy 中，半圓中，半圓 C 的直角坐標方程為的直角坐標方程為(x1)2y21(0y1)以以 O 為極點，為極點，x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系軸的非負半軸為極軸建立極坐標系(1)求求 C 的極坐標方程；的極坐標方程；(2)直直線線 l 的極坐標方程是的極坐標方程是(sin 3cos )5 3， 射射線線 OM： 3與半與半圓圓 C 的交點的交點為為 O，P，與直線，與直線 l 的交點為的交點為 Q，求線段，求線段 PQ 的長的長解：
7、解：(1)由由 xcos ，ysin ，所以半圓，所以半圓 C 的極坐標方程是的極坐標方程是2cos ，0，2 (2)設設(1，1)為點為點 P 的極坐標，則有的極坐標，則有12cos 1，13，解得解得11，13，設設(2，2)為為點點Q 的極坐標，的極坐標，則有則有2 sin 2 3cos 2 5 3，23，解得解得25，23，由于由于12，所以，所以|PQ|12|4，所以線段，所以線段 PQ 的長為的長為 46在極坐標系中，已知直線在極坐標系中，已知直線 l 過點過點 A(1,0)，且其向上的方向與極軸的正方向所成的最，且其向上的方向與極軸的正方向所成的最小正角為小正角為3，求：，求：(
8、1)直線的極坐標方程；直線的極坐標方程；(2)極點到該直線的距離極點到該直線的距離解：解：(1)如圖，由正弦定理得如圖，由正弦定理得sin231sin3即即sin3sin2332，所求直線的極坐標方程為所求直線的極坐標方程為sin332(2)作作 OHl，垂足為，垂足為 H，在在OHA 中，中，OA1，OHA2，OAH3，則則 OHOAsin332，即極點到該直線的距離等于，即極點到該直線的距離等于327(20 xx全國乙卷全國乙卷)在直角坐標系在直角坐標系 xOy 中中，曲線曲線 C1的參數方程為的參數方程為xacos t，y1asin t(t 為參為參數，數，a0)在以坐標原點為極點，在以
9、坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線 C2：4cos (1)說明說明 C1是哪一種曲線，并將是哪一種曲線，并將 C1的方程化為極坐標方程；的方程化為極坐標方程；(2)直線直線 C3的極坐標方程為的極坐標方程為0，其中，其中0滿足滿足 tan 02，若曲線，若曲線 C1與與 C2的公共點都的公共點都在在 C3上，求上，求 a解：解：(1)消去參數消去參數 t 得到得到 C1的普通方程為的普通方程為 x2(y1)2a2，則，則 C1是以是以(0,1)為圓心，為圓心，a 為為半徑的圓半徑的圓將將 xcos ，ysin 代入代入 C1的普通方程中的普通方
10、程中，得到得到 C1的極坐標方程為的極坐標方程為22sin 1a20(2)曲線曲線 C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組的公共點的極坐標滿足方程組22sin 1a20，4cos .若若0，由方程組得，由方程組得 16cos28sin cos 1a20，由已知由已知 tan 2，可得，可得 16cos28sin cos 0，從而從而 1a20，解得，解得 a1(舍去舍去)或或 a1當當 a1 時，極點也為時，極點也為 C1，C2的公共點，且在的公共點，且在 C3上上所以所以 a18(20 xx廣州五校聯(lián)考廣州五校聯(lián)考)在極坐標系中在極坐標系中，圓圓 C 是以點是以點 C2，6 為圓心為圓心，2
11、為半徑的圓為半徑的圓(1)求圓求圓 C 的極坐標方程；的極坐標方程；(2)求圓求圓 C 被直線被直線 l：512(R)所截得的弦長所截得的弦長解：解：法一法一：(1)設所求圓上任意一點設所求圓上任意一點 M(，)，如圖，如圖，在在 RtOAM 中，中，OMA2，AOM26，|OA|4因為因為 cosAOM|OM|OA|，所以所以|OM|OA|cosAOM，即即4cos26 4cos6 ，驗證可知，極點驗證可知，極點 O 與與 A4，6 的極坐標也滿足方程，的極坐標也滿足方程，故故4cos6 為所求為所求(2)設設 l：512(R)交圓交圓 C 于點于點 P，在，在 RtOAP 中，中，OPA2，易得易得AOP4，所以所以|OP|OA|cosAOP2 2法二法二：(1)圓圓 C 是將圓是將圓4cos 繞極點按順時針方向旋轉繞極點按順時針方向旋轉6而得到的圓，而得到的圓，所以圓所以圓 C 的極坐標方程是的極坐標方程是4cos6 (2)將將512代入圓代入圓 C 的極坐標方程的極坐標方程4cos6 ，得得2 2，所以圓所以圓 C 被直線被直線 l：512(R)所截得的弦長為所截得的弦長為 2 2
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