2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的幾何性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題知識點(diǎn)一拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)圖形范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)FFFF準(zhǔn)線方程xxyy頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e1通徑長2p知識點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系直線ykxb與拋物線y22px(p>0)的交點(diǎn)個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個數(shù)，即方程k2x22(kbp)xb20解的個數(shù)當(dāng)k0時，若>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點(diǎn)；若0，直線與拋物線有一個公共點(diǎn)；若<0，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)當(dāng)k0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有一個公共點(diǎn)1拋物線沒有漸近線()2過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦長是p.()3若一條直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，則二者一定相切()4拋物線只有一條對稱軸，沒有對稱中心()5拋物線的開口大小由拋物線的離心率決定()題型一拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是()Ax216yBx28yCx28yDx216y答案D解析頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x22py，x22py(p0)由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，知p8，故所求拋物線方程為x216y或x216y.(2)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸，且與圓x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|2，求拋物線方程考點(diǎn)拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題解由已知，拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上，也可能在負(fù)半軸上故可設(shè)拋物線方程為y2ax(a0)設(shè)拋物線與圓x2y24的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)拋物線y2ax(a0)與圓x2y24都關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)A與B關(guān)于x軸對稱，|y1|y2|且|y1|y2|2，|y1|y2|，代入圓x2y24，得x234，x1，A(1，)或A(1，)，代入拋物線方程，得()2a，a3.所求拋物線方程是y23x或y23x.反思感悟把握三個要點(diǎn)確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對稱軸(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線y28x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦點(diǎn)F是OAB的重心，求OAB的周長考點(diǎn)拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對稱性的簡單應(yīng)用解(1)拋物線y28x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x2，x軸，x0.(2)如圖所示，由|OA|OB|可知ABx軸，垂足為點(diǎn)M，又焦點(diǎn)F是OAB的重心，則|OF|OM|.因?yàn)镕(2,0)，所以|OM|OF|3，所以M(3,0)故設(shè)A(3，m)，代入y28x得m224；所以m2或m2，所以A(3,2)，B(3，2)，所以|OA|OB|，所以O(shè)AB的周長為24.題型二直線與拋物線的位置關(guān)系命題角度1直線與拋物線位置關(guān)系的判斷例2已知直線l：ykx1，拋物線C：y24x，當(dāng)k為何值時，l與C：只有一個公共點(diǎn)；有兩個公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線公共點(diǎn)個數(shù)問題解聯(lián)立消去y，得k2x2(2k4)x10.(*)當(dāng)k0時，(*)式只有一個解x，y1，直線l與C只有一個公共點(diǎn)，此時直線l平行于x軸當(dāng)k0時，(*)式是一個一元二次方程，(2k4)24k216(1k)當(dāng)>0，即k<1，且k0時，l與C有兩個公共點(diǎn)，此時直線l與C相交；當(dāng)0，即k1時，l與C有一個公共點(diǎn)，此時直線l與C相切；當(dāng)<0，即k>1時，l與C沒有公共點(diǎn)，此時直線l與C相離綜上所述，當(dāng)k1或0時，l與C有一個公共點(diǎn)；當(dāng)k<1，且k0時，l與C有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)k>1時，l與C沒有公共點(diǎn)反思感悟直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線l：ykxb，拋物線：y22px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此時直線與拋物線有一個交點(diǎn)，該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合(2)若k20，當(dāng)>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點(diǎn)；當(dāng)0時，直線與拋物線相切，有一個交點(diǎn)；當(dāng)<0時，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，直線l：yxb與拋物線C：x24y相切于點(diǎn)A.(1)求實(shí)數(shù)b的值；(2)求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線公共點(diǎn)個數(shù)問題解(1)由得x24x4b0.(*)因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)即為x24x40，解得x2.將其代入x24y，得y1.故點(diǎn)A(2,1)因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y1的距離，即r|1(1)|2，所以圓A的方程為(x2)2(y1)24.命題角度2直線與拋物線的相交弦問題例3已知拋物線方程為y22px(p>0)，過此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|p，求AB所在的直線方程考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題解由題意知焦點(diǎn)F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx軸，則|AB|2pp，不滿足題意所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為yk，k0.由消去x，整理得ky22pykp20.由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2，y1y2p2.所以|AB|2pp，解得k2.所以AB所在的直線方程為2xyp0或2xyp0.引申探究本例條件不變，求弦AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離解如圖，過A，B分別作準(zhǔn)線x的垂線交準(zhǔn)線于C，D點(diǎn)由定義知|AC|BD|p，則梯形ABDC的中位線|ME|p，M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為pp.反思感悟求拋物線弦長問題的方法(1)一般弦長公式|AB|x1x2|y1y2|.(2)焦點(diǎn)弦長設(shè)過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p，然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立、消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2即可跟蹤訓(xùn)練3已知yxm與拋物線y28x交于A，B兩點(diǎn)(1)若|AB|10，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若OAOB，求實(shí)數(shù)m的值考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線的綜合問題解由得x2(2m8)xm20.由(2m8)24m26432m>0，得m<2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x282m，x1x2m2，y1y2m(x1x2)x1x2m28m.(1)因?yàn)閨AB|10，所以m，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意(2)因?yàn)镺AOB，所以x1x2y1y2m28m0，解得m8或m0(舍去)所以m8，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意與拋物線有關(guān)的最值問題典例求拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80的最小距離考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線的綜合問題解方法一設(shè)A(t，t2)為拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線4x3y80的距離d2.所以當(dāng)t時，d有最小值.方法二如圖，設(shè)與直線4x3y80平行的拋物線的切線方程為4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.故最小距離為.素養(yǎng)評析(1)求拋物線上一點(diǎn)到定直線的距離的最值，最常見的解題思路：一是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行消元代換，得到有關(guān)距離的含變量的代數(shù)式，以計算函數(shù)最值來解決二是轉(zhuǎn)化兩平行線間距離代入兩平行線間距離公式可求得(2)建立形與數(shù)的聯(lián)系，提升數(shù)形結(jié)合的能力，有利于優(yōu)化解題的方式與方法1已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()AB1CD答案C解析因?yàn)閽佄锞€C：y22px的準(zhǔn)線為x，且點(diǎn)A(2,3)在準(zhǔn)線上，故2，解得p4，所以y28x，所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，這時直線AF的斜率kAF.2以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與x軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28y答案C解析設(shè)拋物線方程為y22px或y22px(p>0)，由題意知p4，拋物線方程為y28x或y28x.3已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.B3C.D.答案A解析拋物線y22x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線是l，由拋物線的定義知點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線l的距離，因此要求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值，可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值，結(jié)合圖形(圖略)不難得出相應(yīng)的最小值等于焦點(diǎn)F到點(diǎn)(0,2)的距離，因此所求距離之和的最小值為.4過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|_.答案8解析易知拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3(1)4.由拋物線的定義易得|AB|8.5已知過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則p_.答案2解析設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，易知過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F，且傾斜角為45的直線方程為yx，把xy代入y22px，得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2.|AB|8，|y1y2|4，(y1y2)24y1y2(4)2，即(2p)24(p2)32.又p>0，p2.1拋物線的中點(diǎn)弦問題用點(diǎn)差法較簡便2軸對稱問題，一是抓住對稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系3在直線和拋物線的綜合問題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點(diǎn)問題解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化一、選擇題1若拋物線y2x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.B.C.D.答案B解析由題意知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離，因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，而F，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程得y，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.2已知拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線與曲線x2y24x50相切，則p的值為()A2B1C.D.答案A解析曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y29，其表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x，由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得23，解得p2.3若拋物線y24x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為()A4B5C6D7考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)拋物線定義的直接應(yīng)用答案A解析由題意，知拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x1，拋物線y24x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則P(3，2)，點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為314，點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為4.故選A.4拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，若OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36，則p的值為()A2B4C6D8答案D解析OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑圓的面積為36，圓的半徑為6.又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|，6，p8.5已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，其上的三個點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)之比為345，則以|FA|，|FB|，|FC|為邊長的三角形()A不存在B必是銳角三角形C必是鈍角三角形D必是直角三角形答案B解析設(shè)A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，x13k，x24k，x35k(k>0)，由拋物線定義得|FA|3k，|FB|4k，|FC|5k，易知三者能構(gòu)成三角形，|FC|所對角為最大角，由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù)，故該三角形必是銳角三角形6等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，則AOB的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2答案B解析因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或所以易得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.7已知點(diǎn)(x，y)在拋物線y24x上，則zx2y23的最小值是()A2B3C4D0答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在拋物線y24x上，所以x0，因?yàn)閦x2y23x22x3(x1)22，所以當(dāng)x0時，z最小，其最小值為3.8過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則A1FB1等于()A45B90C60D120答案B解析如圖，由拋物線定義知|AA1|AF|，|BB1|BF|，AA1FAFA1，又AA1FA1FO，AFA1A1FO，同理BFB1B1FO，于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.二、填空題9已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線yx與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為_答案y24x解析設(shè)拋物線方程為y2kx(k0)，與yx聯(lián)立方程組，消去y，得x2kx0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2), x1x2k.又P(2,2)為AB的中點(diǎn)，2.k4.y24x.10已知拋物線y28x，過動點(diǎn)M(a,0)，且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若|AB|8，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(2，1解析將l的方程yxa代入y28x，得x22(a4)xa20，則4(a4)24a2>0，a>2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22(a4)，x1x2a2，|AB|8，即1.2<a1.11拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.考點(diǎn)拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題答案6解析拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F，準(zhǔn)線方程為y.代入1得.要使ABF為等邊三角形，則tan，解得p236，又p>0，所以p6.三、解答題12過點(diǎn)Q(4,1)作拋物線y28x的弦AB，若弦AB恰被Q平分，求弦AB所在直線的方程解設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有y8x1，y8x2，兩式相減，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)點(diǎn)Q是弦AB的中點(diǎn)，y1y22，于是4，即直線AB的斜率為4，故弦AB所在直線的方程為y14(x4)，即4xy150.13已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線截直線x2y10所得的弦長為，求此拋物線的方程解設(shè)拋物線方程為x2ay(a0)，由方程組消去y，得2x2axa0.直線與拋物線有兩個交點(diǎn)，(a)242a>0，即a<0或a>8.設(shè)兩交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|.|AB|，即a28a480，解得a4或a12，所求拋物線的方程為x24y或x212y.14已知傾斜角為的直線l過拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)F，拋物線C上存在點(diǎn)P與x軸上一點(diǎn)Q(5,0)關(guān)于直線l對稱，則p等于()A.B1C2D3考點(diǎn)拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對稱性的簡單應(yīng)用答案C解析由題意得，F(xiàn)，設(shè)P(x0，y0)，直線PQ的方程為y(x5)，由得3(x05)22px0，又|FP|FQ|，即x0，由解得(舍去)或綜上，p2.15已知過點(diǎn)A(4,0)的動直線l與拋物線G：x22py (p>0)相交于B，C兩點(diǎn)當(dāng)直線l的斜率是時，4.(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍解(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，由題意知直線l的方程為x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由及p>0，得y11，y24，p2，故拋物線G的方程為x24y.(2)易知，直線l的斜率必存在設(shè)l：yk(x4)，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.線段BC的中垂線方程為y2k24k(x2k)，線段BC的中垂線在y軸上的截距為b2k24k22(k1)2，對于方程，由16k264k>0，得k>0或k<4.故b的取值范圍是(2，)