2019高考數(shù)學二輪復習 第一篇 微型專題 微專題12 排列、組合與二項式定理練習 理.docx

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12　排列、組合與二項式定理 1.從4本不同的課外讀物中,買3本送給3名同學,每人1本,則不同的送法種數(shù)是(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.12 B.24 C.64 D.81 解析?　4本不同的課外讀物選3本送給3名同學,每人1本,則不同的送法種數(shù)是A43=24. 答案?　B 2.從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動,則男女生都有的選法種數(shù)是(　　). A.18 B.24 C.30 D.36 解析?　(法一)選出的3人中有2名男同學、1名女同學的選法有CC4231=18種,選出的3人中有1名男同學、2名女同學的選法有CC4132=12種,故3名學生中男女生都有的選法有CC4231CC+4132=30種. (法二)所求選法種數(shù)等于從7名同學中任選3名的選法種數(shù),再除去所選3名同學全是男生或全是女生的選法種數(shù),即C73-C43-C33=30. 答案?　C 3.用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為(　　). A.8 B.24 C.48 D.120 解析?　末位數(shù)字排法有A21種,其他位置排法有A43種,共有AA2143=48種. 答案?　C 4.已知x-1x7的展開式的第4項等于5,則x等于(　　). A.17 B.-17 C.7 D.-7 解析?　由T4C=73x4-1x3=5,得x=-17. 答案?　B 能力1 ?　排列問題 　　【例1】　有3名男生、4名女生,在下列不同條件下,求不同的排列方法種數(shù). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)選5人排成一排; (2)排成前后兩排,前排3人,后排4人; (3)(一題多解)全體排成一排,甲不站排頭也不站排尾; (4)全體排成一排,女生必須站在一起; (5)全體排成一排,男生互不相鄰. 解析?　(1)從7人中選5人排列,有A75=76543=2520種排列方法. (2)分兩步完成,先選3人站前排,有A73種排列方法,再將余下4人站后排,有A44種排列方法,共有A73A44=5040種排列方法. (3)(法一:特殊元素優(yōu)先法)先排甲,有5種排列方法,再排其余6人,有A66種排列方法,共有5A66=3600種排列方法. (法二:特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另外6人中的2人,有A62種排法,其他位置安排余下5人,有A55種排列方法,共有A62A55=3600種排列方法. (4)(捆綁法)先將女生看作一個整體與3名男生一起全排列,有A44種排列方法,再將女生全排列,有A44種排列方法,共有A44A44=576種排列方法. (5)(插空法)先排女生,有A44種排列方法,再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生,有A53種排列方法,共有A44A53=1440種排列方法. 　　排列應用問題的分類與解法 (1)對于有限制條件的排列問題,分析問題時有位置分析法、元素分析法,在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則,即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對于分類過多的問題可以采用間接法. (2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法. (1)7人站成兩排隊列,前排3人,后排4人,現(xiàn)將甲、乙、丙3人加入隊列,前排加1人,后排加2人,其他人保持相對位置不變,則不同的加入方法種數(shù)為(　　). A.120 B.240 C.360 D.480 (2)某班準備從甲、乙等7人中選派4人發(fā)言,要求甲、乙2人至少有1人參加,那么不同的發(fā)言順序有(　　). A.30種 B.600種 C.720種 D.840種 解析?　(1)第一步,從甲、乙、丙3人中選1人加入前排,有3種方法,第二步,前排3人形成了4個空位,任選1個空位加入1人,有4種方法,第三步,后排4人形成了5個空位,任選1個空位加入1人,有5種方法,此時形成6個空位,任選1個空位加入1人,有6種方法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,有3456=360種方法. (2)若甲、乙2人只有1人參加,則有C21C53A44=480種方法;若甲、乙2人都參加,則有C22C52A44=240種方法.故共有480+240=720種方法. 答案?　(1)C　(2)C 能力2 ?　組合問題 【例2】　某市工商局對35種商品進行抽樣檢查,已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種. (1)其中某一種假貨必須在內(nèi),不同的取法有多少種? (2)其中某一種假貨不能在內(nèi),不同的取法有多少種? (3)恰有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種? (4)至少有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種? 解析?　(1)從余下的34種商品中選取2種,有C342=561種取法. ∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種. (2)從34種可選商品中選取3種,有C343=5984種取法. ∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種. (3)從20種真貨中選取1種,從15種假貨中選取2種,有C201C152=2100種取法. ∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同取法有2100種. (4)選取2種假貨,有C201C152種取法,選取3種假貨,有C153種取法,共有C201C152+C153=2100+455=2555種取法. ∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同取法有2555種. 　　組合問題常有以下兩類題型變化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取. (2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型:解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法分類復雜時,考慮逆向思維,用間接法處理. (1)在《爸爸去哪兒》第二季第四期中,村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務.已知:①食物投擲地點有遠、近兩處;②由于Grace年紀尚小,所以要么不參與該項任務,但此時另需一位小孩在大本營陪同,要么參與搜尋近處投擲點的食物;③所有參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組,一組去遠處,一組去近處.那么不同的搜尋方案有(　　). A.80種 B.70種 C.40種 D.10種 (2)若從1,2,3,…,9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有(　　). A.60種 B.63種 C.65種 D.66種 解析?　(1)若Grace不參與該項任務,則有CC5142=30種搜尋方案;若Grace參與該項任務,則有C52=10種搜尋方案.故共有30+10=40種搜尋方案,故選C. (2)這9個整數(shù)中共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù),要使取出的4個數(shù)的和為偶數(shù),則這4個數(shù)全為奇數(shù),或全為偶數(shù),或為2個奇數(shù)和2個偶數(shù),故不同的取法共有C54+C44+C52C42=66(種). 答案?　(1)C　(2)D 能力3 ?　排列與組合的綜合應用 【例3】　(1)從0,2中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,組成無重復數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　). A.24 B.18 C.12 D.6 (2)某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的三所中學進行教學交流,每所中學至少派1名教師,則不同的分配方法有(　　). A.80種 B.90種 C.120種 D.150種 解析?　(1)從0,2中選一個數(shù)字0,則0只能排在十位,從1,3,5中選兩個數(shù)字排在個位與百位,共有A32=6個奇數(shù);從0,2中選一個數(shù)字2,則2排在十位(或百位),從1,3,5中選兩個數(shù)字排在百位(或十位)與個位,共有AA2132=12個奇數(shù).故共有A32AA+2132=18個奇數(shù). (2)有兩類情況:①其中一所學校3名教師,另外兩所學校各1名教師的分法有C53A33=60種;②其中一所學校1名教師,另外兩所學校各2名教師的分法有C51C42A22A33=90種.共有150種分法,故選D. 答案?　(1)B　(2)D 　　(1)解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).對于排列組合的綜合題目,一般是將符合要求的元素取出或進行分組,再對取出的元素或分好的組進行排列. (2)不同元素的分配問題,往往是先分組再分配.在分組時,通常有三種類型:①不均勻分組;②均勻分組;③部分均勻分組,注意各種分組類型中,不同分組方法的差異.其次對于相同元素的“分配”問題,常用的方法是采用“隔板法”. (1)若無重復數(shù)字的三位數(shù)滿足條件:①個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù);②所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù).則這樣的三位數(shù)的個數(shù)是(　　). A.540 B.480 C.360 D.200 (2)國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育,在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生,畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教,現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教,有　　　　種不同的分派方法. 解析?　(1)由個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)知,個位數(shù)字、十位數(shù)字1奇1偶,有CCA515122=50種排法.所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù),則百位數(shù)字是奇數(shù),有C41=4(種)滿足題意的選法.故滿足題意的三位數(shù)共有504=200(個). (2)先把6個畢業(yè)生平均分成3組,有C62C42C22A33種分法,再將3組畢業(yè)生分到3所學校,有A33=6種分法,故6個畢業(yè)生平均分到3所學校,共有C62C42C22A33A33=90種分派方法. 答案?　(1)D　(2)90 能力4 ?　展開式中的特定項或項的系數(shù) 【例4】　(1)x2-12x6的展開式中,常數(shù)項是(　　). A.-54 B.54 C.-1516 D.1516 (2)若x+13xn的展開式中前三項的系數(shù)分別為A,B,C,且滿足4A=9(C-B),則展開式中x2的系數(shù)為　　　　. 解析?　(1)Tr+1C=6r(x2)6-r-12xr=C-12r6rx12-3r,令12-3r=0,解得r=4,∴常數(shù)項為C-12464=1516. (2)由題意得A=1,B=n3,C=Cn29=n(n-1)18, ∴4=9n2-n18-n3,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍去). 在x+13x8的展開式中,∵其通項Tr+1=C8rx8-r13xr=C8r3rx8-2r,令8-2r=2,得r=3,∴展開式中x2的系數(shù)為5627. 答案?　(1)D　(2)5627 　　(1)二項式定理的核心是通項公式,求解此類問題可以分兩步完成:第一步,根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式,建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負整數(shù),且n≥r,如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等);第二步,根據(jù)所求的指數(shù),再求所求的項. (2)求兩個多項式的積的特定項,可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解. (1)已知x-ax5的展開式中x32的系數(shù)為30,則實數(shù)a=　　　　. (2)已知x2+mx5的展開式中x7的系數(shù)為-10,則x的系數(shù)為　　　　.(用數(shù)字作答) 解析?　(1)x-ax5的展開式的通項為Tr+1C=5r(x)5-r-axr=(-aC)r5rx5-2r2. 依題意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1C51=30,解得a=-6. (2)二項式x2+mx5的展開式的通項為Tr+1=C5rx2(5-r)mxr=mrC5rx10-3r. 令10-3r=7,得r=1,∴mC51=-10, 解得m=-2. 令10-3r=1,得r=3, ∴展開式中x的系數(shù)為(-2)3C53=-80. 答案?　(1)-6　(2)-80 一、選擇題 1.從6本不同的書中選出4本,分別發(fā)給4名同學,已知其中2本書不能發(fā)給甲同學,則不同的分配方法有(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.180種 B.220種 C.240種 D.260種 解析?　因為其中2本書不能發(fā)給甲同學,所以甲只能從剩下的4本書中分得1本,然后從余下的5本書中選3本分給3名同學,故有A41A53=240種分配方法. 答案?　C 2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=(　　). A.x5 B.x5-1 C.x5+1 D.(x-1)5-1 解析?　逆用二項式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1. 答案?　B 3.從1,3,5,7,9這五個數(shù)中,每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a,b,共可得到lga-lgb的不同值的個數(shù)是(　　). A.9 B.10 C.18 D.20 解析?　∵lga-lgb=lgab(a>0,b>0), ∴l(xiāng)gab有多少個不同的值,只需看ab不同值的個數(shù). 從1,3,5,7,9中任取兩個不同的數(shù),得到ab的值有A52個,又13與39相同,31與93相同,∴l(xiāng)ga-lgb的不同值的個數(shù)是A52-2=18. 答案?　C 4.10名同學合影,站成了前排3人,后排7人,現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排,其他人的相對順序不變,則不同調(diào)整方法的種數(shù)為(　　). A.C72A55 B.C72A22 C.C72A52 D.C72A53 解析?　首先從后排的7人中抽2人,有C72種方法;再把2個人在5個位置中選2個位置進行排列有A52種.由分步乘法計數(shù)原理知不同調(diào)整方法的種數(shù)為CA7252. 答案?　C 5.設5x-1xn的展開式的各項系數(shù)之和為M,各二項式系數(shù)之和為N,若M-N=240,則展開式中x的系數(shù)為(　　). A.500 B.150 C.20 D.5 解析?　由已知條件得4n-2n=240,解得n=4, Tr+1=C4r(5x)4-r-1xr=(-1)r54-rC4rx4-3r2, 令4-3r2=1,得r=2,故T3=150x.故選B. 答案?　B 6.有六人排成一排,其中甲只能在排頭或排尾,乙、丙兩人必須相鄰,則滿足要求的排法有(　　). A.34種 B.48種 C.96種 D.144種 解析?　特殊元素優(yōu)先安排,先讓甲從排頭、排尾中選取一個位置,有C21種選法,再將乙、丙相鄰,捆綁在一起看作一個元素,與其余三個元素全排列,最后乙、丙可以換位,故共有C21A44A22=96種排法. 答案?　C 7.甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐,若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座,則坐法種數(shù)為(　　). A.10 B.16 C.20 D.24 解析?　一排共有8個座位,現(xiàn)有兩人就坐,故有6個空座.∵要求每人左右均有空座,∴在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐,即有A52=20種坐法. 答案?　C 8.已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為(　　). A.29 B.210 C.211 D.212 解析?　由題意知Cn3C=n7,解得n=10,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2n-1=29. 答案?　A 9.在2018年的自主招生中,某校高三奧賽班有5名同學獲得甲、乙兩所高校的推薦資格,且每人限推薦一所高校.若這兩所高校中每個學校都至少有1名同學獲得推薦,則這5名同學不同的推薦方案共有(　　). A.20種 B.30種 C.36種 D.40種 解析?　將推薦方案分成兩類:一類是一所高校推薦3人,另一所高校推薦2人;另一類是一所高校推薦4人,另一所高校推薦1人.所以共有CA5322CA+5422=30種不同的推薦方案,故選B. 答案?　B 10.在x2-13xn的展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式的常數(shù)項為(　　). A.-7 B.7 C.-28 D.28 解析?　依題意有n2+1=5,∴n=8.二項式x2-13x8的展開式的通項公式Tk+1=(-1)kC128-k8kx8-43k,令8-43k=0,得k=6,故常數(shù)項為T7=(-1)6C12286=7. 答案?　B 二、填空題 11.某班主任準備請2016屆畢業(yè)生做報告,要從甲、乙等8人中選4人發(fā)言,要求甲、乙2人至少有1人參加,若甲、乙同時參加,則他們發(fā)言中間需恰隔1人,那么不同的發(fā)言順序共有　　　　種.(用數(shù)字作答) 解析?　若甲、乙同時參加,有ACCA22615122=120種發(fā)言順序;若甲、乙2人中只有1人參加,有CCA216344=960種發(fā)言順序.從而不同的發(fā)言順序共有1080種. 答案?　1080 12.現(xiàn)有2個紅球、3個黃球、4個白球,同色球不加區(qū)分,將這9個球排成一列,有　　　　種不同的排列方法.(用數(shù)字作答) 解析?　第一步,從9個位置中選出2個位置,分給相同的紅球,有C92種選法;第二步,從剩余的7個位置中選出3個位置,分給相同的黃球,有C73種選法;第三步,剩下的4個位置全部分給4個白球,有1種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,排列方法共有CC9273=1260(種). 答案?　1260 13.從6名同學中選派4人分別參加數(shù)學、物理、化學、生物四科知識競賽,若其中甲、乙2名同學不能參加生物競賽,則選派方案共有　　　　種.(用數(shù)字作答) 解析?　特殊位置優(yōu)先考慮,既然甲、乙都不能參加生物競賽,則先從另外4人中選擇1人參加,有C41種選派方案;然后從剩下的5人中選擇3人分別參加剩下的三科知識競賽,有A53種選派方案.故共有CA4153=460=240種選派方案. 答案?　240 14.2x+1x-15的展開式中常數(shù)項是　　　　.(用數(shù)字作答) 解析?　2x+1x-15=2x+1x-15=(-1)+2x+1x5的展開式中,通項公式為Tr+1=C5r(-1)5-r2x+1xr, 其中2x+1xr的通項公式為 Tk+1=Crk(2x)r-k1xk=2r-kCrkxr-2k, 令r-2k=0,則k=0,r=0或k=1,r=2或k=2,r=4. 因此常數(shù)項為C50(-1)5+C52(-1)32C21+C54(-1)22C42=-161. 答案?　-161