2019高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題1 三角函數(shù)、解三角形 第2講 解三角形學(xué)案 文.doc

第2講解三角形高考統(tǒng)計定方向熱點題型真題統(tǒng)計命題規(guī)律題型1：利用正、余弦定理解三角形2018全國卷T16；2018全國卷T7；2018全國卷T112017全國卷T11；2017全國卷T16；2017全國卷T152016全國卷T4；2016全國卷T15；2015全國卷T171.高考對此部分的考查為“一小”或“一大”，近三年高考以“一小”為主.2.小題出現(xiàn)在411或1516題的位置上，有成為壓軸小題的趨勢.題型2：正、余弦定理的綜合應(yīng)用2016全國卷T9；2015全國卷T17；2014全國卷T162014全國卷T173.解答題重點考查解三角形問題，出現(xiàn)在第17題位置上，難度中等.題型1利用正、余弦定理解三角形核心知識儲備1正弦定理及其變形在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)變形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理及其變形在ABC中，a2b2c22bccos A.變形：cos A，b2c2a22bccos A.3三角形面積公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.高考考法示例角度一求解三角形中的邊角問題【例11】(2016全國卷)(1)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.(2)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin Acsin Casin Cbsin B.求B；若A75，b2，求a，c.解由正弦定理，得a2c2acb2.由余弦定理，得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45.sin Asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故ab1.cb2.角度二與三角形有關(guān)的面積問題【例12】(1)(2018全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為_由bsin Ccsin B4asin Bsin C，得sinBsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因為sin Bsin C0，所以sin A.因為b2c2a28，cos A，所以bc，所以SABCbcsin A.(2)(2018溫州模擬)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A，b2a2c2.求tan C的值；若ABC的面積為3，求b的值；解由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，cos 2Bsin2C，又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2；由tan C2，C(0，)得sin C，cos C，又sin Bsin(AC)sin，sin B，由正弦定理得cb，又A，bcsin A3，bc6，故b3.方法歸納1關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口2在三角形中，正、余弦定理可以實現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有b2c2和bc兩項，二者的關(guān)系b2c2(bc)22bc經(jīng)常用到 (教師備選)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面積的最大值解(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面積Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時，等號成立因此ABC面積的最大值為1.對點即時訓(xùn)練1(2018全國卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，則AB()A4B.C. D2A因為cos ，所以cos C2cos2 1221.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，所以AB4.故選A.2(2018紹興模擬)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大??；(2)若sin A，求ABC的面積解(1)由題意得，sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin，由ab得，AB，又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C；(2)由c，sin A，得a，由ac，得AC，從而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以ABC的面積為Sacsin B.題型2正、余弦定理的綜合應(yīng)用全國卷考查解三角形問題常與平面幾何交匯，題目中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)的幾何元素如高、角平分線、線段的垂直平分線、三角形內(nèi)切圓等；地方卷常與平面向量交匯考查，解三角形還常與不等式，三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題高考考法示例【例2】(1)(2016全國卷)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則sin A()A.B.C.D.(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且tan B，則tan B等于()A. B.1 C2 D2 (3)如圖214，山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ABC120；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ADC150；從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長為_米圖214(1)D(2) D(3)400(1)如圖，AD為ABC中BC邊上的高設(shè)BCa，由題意知ADBCa，B，易知BDADa，DCa.在RtABD中，由勾股定理得，ABa.同理，在RtACD中，ACa.SABCABACsinBACBCAD，aasinBACaa，sinBAC.由得accos B，則cos B，又cos B，因此，即a2c2b21，故tan B2.(3)如題圖，在ABD中，BD400米，ABD120.ADC150，ADB30，DAB1801203030由正弦定理，可得.，得AD400(米)在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理可得AC2AD2CD22ADCDcosADC(400)280022400800cos 150400213，解得AC400(米)故索道AC的長為400米方法歸納1求解與三角形相關(guān)的平面幾何問題的策略一般先將所給的圖形拆分成若干個三角形，根據(jù)已知條件確定解三角形的先后順序，再根據(jù)各個三角形之間的關(guān)系，交叉使用公共條件，求得結(jié)果，同時注意相關(guān)平面幾何知識的應(yīng)用2求解三角形與平面向量交匯問題的策略利用解三角形的知識解決平面向量問題是高考在知識的交匯處命制試題的一個熱點解決這類試題的基本方法是根據(jù)正、余弦定理求出平面向量的模和夾角，從而達(dá)到利用解三角形求解平面向量數(shù)量積的目的對點即時訓(xùn)練1(2018長春模擬)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_由a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，故(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，又根據(jù)正弦定理，得(ab)(ab)(cb)c，化簡得，b2c2a2bc，故cos A，所以A60，又b2c2bc4bc，故SBACbcsin A.2(2017山東高考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b3，6，SABC3，求A和a.解因為6，所以bccos A6.又SABC3，所以bcsin A6.因此tan A1.又0<A<，所以A.又b3，所以c2.由余弦定理a2b2c22bccos A，得a29823229，所以a.1(2018全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ABC的面積為，則C()A. B. C. D.C因為SABCabsin C，所以absin C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2absin C，即cos Csin C，所以在ABC中，C.故選C.2(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()A.B.C.D.B因為a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C.又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C為ABC的內(nèi)角，故sin C0，則sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.從而sin Csin A.由A知C為銳角，故C.故選B.3(2014全國卷)如圖215，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點從A點測得M點的仰角MAN60，C點的仰角CAB45以及MAC75；從C點測得MCA60.已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.圖215150根據(jù)圖示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)4(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC，求ABD的面積解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面積與ACD面積的比值為1.又ABC的面積為42sinBAC2，所以ABD的面積為.一、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化【例1】第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計的如圖1，會標(biāo)是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較大的銳角為，那么tan_.圖1思路點撥本題先根據(jù)題意確定大、小正方形的邊長，再由直角三角形中銳角的三角函數(shù)值確定角滿足的條件，由此依據(jù)相關(guān)的三角函數(shù)公式進(jìn)行計算即可解析依題意得大、小正方形的邊長分別是1,5，于是有5sin 5cos 1，即有sin cos .從而(sin cos )22(sin cos )2，則sin cos ，因此sin ，cos ，tan ，故tan7.答案7體會領(lǐng)悟1 700多年前，趙爽繪制了極富創(chuàng)意的弦圖，采用“出入相補”原理使得勾股定理的證明不證自明.該題取材于第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，題干大氣，設(shè)問自然，流露出豐富的文化內(nèi)涵.既巧妙地考查了三角函數(shù)的相關(guān)知識，又豐富了弦圖的內(nèi)涵，如正方形四邊相等寓言各國及來賓地位平等，小正方形和三角形緊緊簇?fù)碓谝黄穑砻鞲鲊鴶?shù)學(xué)家要密切合作交流，等等.二、三角函數(shù)與其它知識交匯創(chuàng)新預(yù)測1：三角函數(shù)與數(shù)列問題的交匯【例2】設(shè)ansin，nN*，Sna1a2an，則在S1，S2，S100中，正數(shù)的個數(shù)是()A16B72C86D100解析易知S10，S20，S30，S40，S50，S60，S70.S8sinsinsinsinsinsinsin0，S9sinsinsin0，S10sinsin0，S11sinsinsin0，S12sinsin0，S13sin0，S14sinsin0，S1，S2，S100中，S130，S140，S270，S280，S410，S420，S550，S560，S690，S700，S830，S840，S970，S980，共14個在S1，S2，S100中，正數(shù)的個數(shù)是1001486(個)【答案】C預(yù)測2：三角函數(shù)與方程問題的交匯【例3】已知一元二次方程x2xp0的兩根是直角三角形ABC中兩個銳角A，B的正弦值，則實數(shù)p_.解析由題意知AB，則sin Bcos A，又即則有12p2，解得p.答案預(yù)測3：解三角形與平面向量、不等式交匯【例4】在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ac3，b3.(1)求cos B的最小值；(2)若3，求A的大小解(1)由余弦定理可得cos B11，當(dāng)且僅當(dāng)ac時，等號成立，此時cos B取得最小值.(2)因為3，所以accos B3.由(1)可得cos B1，所以ac6，cos B.故sin B.由ac3及ac6可解得a2或a.由正弦定理知.當(dāng)a2時，sin Asin B1，所以A.同理，當(dāng)a時，求得A.所以A的大小為或.體會領(lǐng)悟解決三角函數(shù)與其他知識的交匯問題，可利用數(shù)形結(jié)合思想.利用“數(shù)形結(jié)合”思想還可以解決以下問題：(1)討論含有參數(shù)的方程解的個數(shù)問題.(2)求三角函數(shù)解析式中含有參數(shù)的最值問題.(3)求一些特殊函數(shù)的周期.(4)利用三角函數(shù)圖象對實際問題作出分析等.三、規(guī)范答題解三角形滿分心得(1)寫全得分步驟：對于解題過程中是得分點的步驟有則給分，無則沒分，所以得分點步驟一定要寫全，如第（1）問中只要寫出就有分，第（2）問中求出就有分.（2）寫明得分關(guān)鍵：對于解題過程中的關(guān)鍵點，有則給分，無則沒分，所以在答題時要寫清得分關(guān)鍵點，如第（1）問中由正弦定理得；第(2)問由余弦定理得b2c2bc9.（3）計算正確是得分保證：解題過程中計算準(zhǔn)確，是得滿分的根本保證，如化簡如果出現(xiàn)錯誤，本題的第（2）問就全錯了，不能得分.