高等數(shù)學(xué)：第1章 第二節(jié) 數(shù)列的極限

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1、第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS二、數(shù)列的定義二、數(shù)列的定義定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數(shù)編號依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的列的項項,

2、nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一可看作一動點在數(shù)軸上依次取動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)列是整標函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 13nnxx .)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限播放播放.)1(11時

3、的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限問題問題: 當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn 問題問題: “無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:P26:1,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n

4、,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)1(時時只要只要 Nn.1成立成立有有 nx如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有關(guān)有關(guān)與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點所有的點時時當當NaaxNnn :定義定義N 其中其中;:每一個或任給的每一個

5、或任給的 .:至少有一個或存在至少有一個或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時時使使limnxxa由數(shù)列幾何解釋知,在幾何上表示兩點:0,limnnnxxxaxa 1.如果, N,當nN時,總有無窮多個 ,滿足則有判斷命題是否正確判斷命題是否正確答答:錯誤錯誤nx(1)在點a的任何 鄰域U(a, )中都包含了數(shù)列的無限多個點.nx(2)在U(a, )以外,最多只有的有限多個點P26,3(2)答:正確,mN(3)對于任意給定的正數(shù) 存在 當 時 不等式 成立,NNnN1nxam數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nn

6、nn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給1,nx 要使要使,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時時則當則當Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：, 0 任給任給證明數(shù)學(xué)極限存在的方法證明數(shù)學(xué)極限存在的方法(1)對任意給定的正數(shù)對任意給定的正數(shù) ; (2)由由 開始分析倒推，推出開始分析倒推，推出nxa ( )n (3)取取 ，再，再 用語言順述結(jié)論用語言順述結(jié)論N ( )N 例例2(略略) 用數(shù)列極限定義證明用數(shù)列極限定義證明22211limnnnn證證222111nnxnn由231nnn2nnn2n要使要使1nx 對

7、對2n 只要只要2n 即即2N 取取于是于是,對對 當當 nN 時時 , 有有 22211nnn 22211limnnnn即即3()n 0 例例3.lim),(CxCCxnnn 證明證明為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成成立立 ,0 任給任給所以所以,0 ,n對于一切自然數(shù)對于一切自然數(shù).limCxnn 說明說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例4. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,

8、lnln qn,lnlnqN 取取,時時則當則當Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq,lnlnqn 要使要使重要結(jié)論重要結(jié)論1)(設(shè)課堂練習(xí)課堂練習(xí)P26:3四、四、數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)(4個性質(zhì)個性質(zhì))1、有界性有界性例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)列數(shù)列有界有界無界無界a, ba, b若存在常數(shù)若存在常數(shù)naxb使使nx 有界有界無界無界?定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時恒有時恒有使得當使得當則則nnxxaa即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆

9、有皆有則對一切自然數(shù)則對一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .反之不一定成立，例如：反之不一定成立，例如：( 1) n 只要一個定常數(shù)都可以nxaa1a 2、唯一性、唯一性定理定理2 2 收斂數(shù)列的極限值是唯一的收斂數(shù)列的極限值是唯一的. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義由定義,使得使得., 021NN ;1 axNnn時恒有時恒有當當;2 bxNnn時恒有時恒有當當 ,max21NNN 取取時有時有則當則當Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時才能

10、成立時才能成立上式僅當上式僅當ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.例例5(略略).)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的證明數(shù)列證明數(shù)列 nnx證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對于對于,21,成立成立有有時時使得當使得當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即當即當區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.,1, 1兩個數(shù)兩個數(shù)無休止地反復(fù)取無休止地反復(fù)取而而 nx不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的的區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實上事實上nx3.收劍數(shù)列的保號性收劍數(shù)列的保號性lim,0(0),nnxaaa若且或若且或定理定理3 (3 (收斂數(shù)列的保號

11、性收斂數(shù)列的保號性) )則存在正整數(shù)則存在正整數(shù)N N，nN 當當 時，恒有時，恒有0(0)nnxx或或證明：當證明：當a0a0時，由定義，取時，由定義，取02a 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N N，當，當nNnN時，有時，有2naxa022naaxa推論：若數(shù)列推論：若數(shù)列 從某項起有從某項起有0(0)nnxx或或nxlimnnxa 0(0)aa或或且且 則則同理可證同理可證 的情形的情形.0a 證明證明: 反證法反證法;假設(shè)假設(shè)0a 利用性質(zhì)利用性質(zhì)3,存在正整數(shù)存在正整數(shù)N，當當 時時nN 0nx 恒有恒有于已知從某項起于已知從某項起 矛盾矛盾0nx 假設(shè)錯誤假設(shè)錯誤,即有即有0a 取偶數(shù)項取偶

12、數(shù)項,構(gòu)成數(shù)列構(gòu)成數(shù)列1 nxn 111111111,.,.2345678n11111,.,.24682n112nn是是子子 列列取奇數(shù)項取奇數(shù)項,構(gòu)成數(shù)列構(gòu)成數(shù)列11111,.,.35721n 1121nn 是是子子 列列11111,.,.3478還可以得到子數(shù)列還可以得到子數(shù)列子數(shù)列引例子數(shù)列引例:4、子數(shù)列的收斂性、子數(shù)列的收斂性 的子數(shù)列（或子列）的子數(shù)列（或子列）的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的一個數(shù)列稱為原數(shù)列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項在原數(shù)列這些項在原數(shù)列保持保持中任意抽取無限多項并中任意抽取無限多項并定義：在數(shù)列定義：在數(shù)列nnnxxx,21nixxxx,21kn

13、nnxxx .kkknnnnkkxxxkxnnk在子數(shù)列中，是中的第 項，是原數(shù)列中的第項，顯然注意：注意：例如，例如，定理定理4 4 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相同相同證略證略 的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列是數(shù)列是數(shù)列設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒有恒有時時使使,NK 取取,時時則當則當Kk .kKNnnnN. axkn.limaxknk 證畢證畢說明：說明：1. 逆命題不成立，例如：逆命題不成立，例如：( 1) n 2.若數(shù)列若數(shù)列 的兩個子列收劍于不同的極限，則數(shù)的兩個子列收劍于不同的極限，則數(shù)列列 必發(fā)散，用此方

14、法可必發(fā)散，用此方法可 以驗證數(shù)列沒極限以驗證數(shù)列沒極限nxnx3 對數(shù)列對數(shù)列nxlimnnxa 則則212lim,lim,kkkkxaxa 若若課后作業(yè)課后作業(yè),作為結(jié)論記住作為結(jié)論記住P26，8課練：課練：P：26:2五、小結(jié)五、小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性、唯一性、保號性、子數(shù)列的收斂性有界性、唯一性、保號性、子數(shù)列的收斂性.作業(yè)作業(yè):26 : 1-2：1，2，3（做在書上）（做在書上） 4, 5(1，2), 6， 71 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割

15、之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割

16、之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失

17、彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入返回.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察

18、數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限

19、.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限返回五、小結(jié)五、小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性.