《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.5.2 綜合法和分析法導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.5.2 綜合法和分析法導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5.docx（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1.5.2 綜合法和分析法
1.理解綜合法和分析法的概念.
2.會(huì)用綜合法、分析法證明較為簡(jiǎn)單的不等式.
自學(xué)導(dǎo)引
1. 綜合法：就是要從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理，逐步推導(dǎo)，從而最后導(dǎo)出要證明的命題.
2.分析法：從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個(gè)命題成立的充分條件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后達(dá)到命題所給出的條件(或者一個(gè)已證明過的定理或一個(gè)明顯的事實(shí)).
基礎(chǔ)自測(cè)
1.設(shè)a，b∈R＋，A＝＋，B＝，則A、B的大小關(guān)系是( )
A.a≥B B.A≤B
C.A>B D.A
，
只須證a＋b＋2>a＋b，
即2>0，∴a，b∈R＋，2>0，
∴A>B，選C.
答案 C
2.若1x，∴l(xiāng)g x2>lg x>(lg x)2，
∴l(xiāng)g x2>(lg x)2>lg(lg x)，選D.
答案 D
3.已知a，b，m都是正數(shù)，在空白處填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào).
(1)當(dāng)a________b時(shí)，>，
(2)當(dāng)a________b時(shí)，≤.
解析 當(dāng)a>b時(shí)，才有>，
當(dāng)a <
知識(shí)點(diǎn)1 綜合法證明不等式
【例1】 已知a，b，c∈R＋，求證：＋＋≥.
證明 ＋＋＋3
＝＋1＋＋1＋＋1
＝＋＋
＝(a＋b＋c)
＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)
≥33
＝.
∴＋＋≥.
●反思感悟：觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征：每個(gè)分式加1，分子就會(huì)含有因式a＋b＋c，從而可以利用基本不等式.
1.已知x，y，z是互不相等的正數(shù)且x＋y＋z＝1，求證：>8.
證明 ∵x、y、z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z＝1.
∴－1＝>，－1＝>
－1＝>
又∵01.
同理>1，>1
∴>8.
知識(shí)點(diǎn)2 分析法證明不等式
【例2】 已知函數(shù)f(x)＝lg，x∈，若x1，x2∈且x1≠x2，求證：[f(x1)＋f(x2)]>f.
證明 要證明原不等式，只需證明
>.
事實(shí)上：∵00，
∵>.
即有l(wèi)g>lg，
故[f(x1)＋f(x2)]>f.
●反思感悟：在分析法中，每次所尋求的應(yīng)是使上一個(gè)結(jié)論成立的充分條件或充要條件，若只找到結(jié)論成立的必要條件則不一定能得到相應(yīng)的結(jié)論.從而造成證明上的邏輯錯(cuò)誤.
2.若a、b∈R＋，且a＋b＝1，求證： ＋ ≤2.
證明 ＋ ≤2
?a＋b＋1＋2 ≤4
? ≤1
?ab＋＋≤1
?ab≤.
∵ab≤＝成立.
∴原不等式成立.
知識(shí)點(diǎn)3 綜合利用綜合法與分析法證明不等式
【例3】 在某兩個(gè)正數(shù)x，y之間，若插入一個(gè)數(shù)a，使x，a，y成等差數(shù)列；若插入兩個(gè)數(shù)b，c，使x，b，c，y成等比數(shù)列，
求證：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).
證明 由條件，得
消去x，y，即得2a＝＋，
且有a>0，b>0，c>0.
要證(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)
只需證a＋1≥
∵≤
∴要證2a≥b＋c，而2a＝＋，
只需證＋≥b＋c
即b3＋c3≥bc(b＋c)，b2＋c2－bc≥bc
(b－c)2≥0，∵上式顯然成立
∴(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)得證.
●反思感悟：綜合法和分析法是思路完全相反的兩種方法.分析法易于探求解題思路.綜合法易于表述，在證明較復(fù)雜的不等式時(shí)，有時(shí)把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用.
3.已知a、b是不等的正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2.
求證：1a2＋ab＋b2＝a＋b，
且a＋b>0，兩邊同除以a＋b，得a＋b>1.
欲證a＋b<，即證3(a＋b)<4，由于a＋b>0，
可證3(a＋b)2<4(a＋b)，而a＋b＝a2＋ab＋b2，
即3(a2＋2ab＋b2)<4(a2＋ab＋b2)，得a2－2ab＋b2>0.
(a－b)2>0，∵a≠b，則不等式成立，
故a＋b<成立.
∴10 B.logab＋logba－2>0
C.logab＋logba＋2≥0 D.logab＋logba＋2≤0
解析 ∵00，y>0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
證明 因?yàn)閤>0，y>0，
所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33＝9xy.
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1.a>0，b>0，下列不等式中不成立的是( )
A.＋≥2 B.a2＋b2≥2ab
C.＋≥a＋b D.＋≥2＋
解析 由∈(0，＋∞)且∈(0，＋∞)，得＋≥2 ，所以A成立，B顯然成立，不等式C可變形為a3＋b3≥a2b＋ab2?(a2－b2)(a－b)≥0.
答案 D
2.設(shè)a、b、x、y均為正數(shù)，且a、b為常數(shù)，x、y為變量，若x＋y＝1，則＋的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析?。埽?，故選B.
答案 B
3.已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是( )
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
解析 由已知3x>x＋y＋z＝0，3z0，z<0.由得：xy>xz.
答案 C
4.已知x>0，y>0，M＝，N＝＋，則M、N的大小關(guān)系是________.
解析 N＝＋＝
＝
N－M＝
＝>0，∴N>M.
答案 N>M
5.設(shè)a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，則不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一個(gè)充要條件是______________.
解析 a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]
而a、b、c不全相等?(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2>0
∴a3＋b3＋c3≥3abc?a＋b＋c≥0.
答案 a＋b＋c≥0
6.已知|a|<1，|b|<1，求證：<1.
證明 要證<1，只需證|a＋b|<|1＋ab|，
也只需證a2＋2ab＋b2<1＋2ab＋a2b2，
即證(1－a2)－b2(1－a2)>0，
也就是(1－a2)(1－b2)>0，
∵|a|<1，|b|<1，∴最后一個(gè)不等式顯然成立.
因此原不等式成立.
綜合提高
7.如果0b>c，則與的大小關(guān)系為______________.
解析 ∵a－b>0，b－c>0，
∴≤＝
∴≤.
答案 ≤
10.設(shè)a＞b＞c，且＋≥恒成立，則m的取值范圍是________.
解析 ∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.
又(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)]≥22＝4，∴m∈(－∞，4].
答案 (－∞，4]
11.已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，
求證：|ac＋bd|≤1.
證明 方法一：(分析法)
要證|ac＋bd|≤1，只需證明(ac＋bd)2≤1.
即證a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.
∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.
∴上式即證a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，
即證(ad－bc)2≥0.
∵a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，
∴(ad－bc)2≥0成立.
∴|ac＋bd|≤1.
方法二：(綜合法)
∵a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，
∴|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＋
＝＝1.
方法三：(三角換元法)
∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，
∴可令a＝sin α，b＝cos α，c＝sin β，d＝cos β，
∴|ac＋bd|＝|sin αsin β＋cos αcos β|
＝|cos(α－β)|≤1.
12.設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d.證明：
(1)若ab＞cd，則＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件.
證明 (1)因?yàn)?＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(＋)2＞(＋)2.
因此＋＞＋.
(2)①若|a－b|＜|c－d|，則(a－b)2＜(c－d)2,
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
由(1)，得＋＞＋.
②若＋＞＋，則(＋)2＞(＋)2，
即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因?yàn)閍＋b＝c＋d，
所以ab＞cd，
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|＜|c－d|.
綜上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件.
2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.5.2 綜合法和分析法導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5.docx
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