2020高考數(shù)學刷題首選卷 考點測試7 函數(shù)的奇偶性與周期性 理（含解析）.docx

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考點測試7　函數(shù)的奇偶性與周期性 高考概覽 考綱研讀 1．結合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義 2．會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性 3．了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性 一、基礎小題 1．若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則實數(shù)a＝(　　) A． B． C． D．1 答案　A 解析　函數(shù)f(x)的定義域為xx≠－且x≠a． ∵奇函數(shù)定義域關于原點對稱． ∴a＝．故選A． 2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)，則f(1)＋f(4)＋f(7)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．4 答案　B 解析　由題意知f(－x)＝－f(x)且f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝f(1)＋f(0)＋f(－1)＝0．故選B． 3．已知f(x)為奇函數(shù)，在[3，6]上是增函數(shù)，且在[3，6]上的最大值為8，最小值為－1，則2f(－6)＋f(－3)＝(　　) A．－15 B．－13 C．－5 D．5 答案　A 解析　因為函數(shù)在[3，6]上是增函數(shù)，所以f(6)＝8，f(3)＝－1．又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－28＋1＝－15．故選A． 4．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝x2－x，則當x<0時，函數(shù)f(x)的最大值為(　　) A．－ B． C． D．－ 答案　B 解析　解法一：設x<0，則－x>0，所以f(－x)＝x2＋x，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－2＋，所以當x<0時，函數(shù)f(x)的最大值為．故選B． 解法二：當x>0時，f(x)＝x2－x＝2－，最小值為－，因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當x<0時，函數(shù)f(x)的最大值為．故選B． 5．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)．當x∈(0，2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝(　　) A．－2 B．2 C．－98 D．98 答案　A 解析　由f(x＋2)＝－f(x)，得f(7)＝－f(5)＝f(3)＝－f(1)＝－2．故選A． 6．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝(　　) A．ex－e－x B．(ex＋e－x) C．ex＋e－x D．(ex－e－x) 答案　D 解析　因為f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．故選D． 7．已知函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，對于任意x∈R總有f(－x)＋f(x)＝0，且g(－1)＝1，則g(1)＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 答案　D 解析　因為對于任意x∈R總有f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)為奇函數(shù)，f(－1)＝g(－1)＋1＝－g(1)－1＝－f(1)，所以g(1)＝－3，故選D． 8．若定義域為R的函數(shù)f(x)在(4，＋∞)上為減函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，則(　　) A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6) 答案　D 解析　由y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，得f(－x＋4)＝f(x＋4)，則f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)，C錯誤；又f(x)在(4，＋∞)上為減函數(shù)，則f(5)>f(6)，即f(3)>f(2)，A錯誤；f(5)>f(2)，B錯誤；f(3)>f(6)，D正確．故選D． 9．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，若不等式f(a)≥f(x)對任意x∈[1，2]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1] B．[－1，1] C．(－∞，2] D．[－2，2] 答案　B 解析　因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，則不等式f(a)≥f(x)對任意x∈[1，2]恒成立等價于f(a)≥f(x)max＝f(1)，所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，即實數(shù)a的取值范圍為[－1，1]，故選B． 10．已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，則f(x)(　　) A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù) C．為非奇非偶函數(shù) D．奇偶性不能確定 答案　B 解析　令x＝y(tǒng)＝0，則2f(0)＝2f2(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1．令x＝0，則f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，即f(－y)＝f(y)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．故選B． 11．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________． 答案　4 解析　因為f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)對于任意的x都成立，即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)， 所以x2＋(a－4)x－4a＝x2＋(4－a)x－4a，所以a－4＝4－a，即a＝4． 12．設函數(shù)f(x)＝x3cosx＋1．若f(a)＝11，則f(－a)＝________． 答案?。? 解析　記g(x)＝x3cosx，則g(x)為奇函數(shù)，故g(－a)＝－g(a)＝－[f(a)－1]＝－10，故f(－a)＝g(－a)＋1＝－9． 二、高考小題 13．(2018全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 答案　C 解析　因為f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)， 所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4， 因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)， 因為f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 因為f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，從而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，故選C． 14．(2017全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3] 答案　D 解析　∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1． 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3．故選D． 15．(2017天津高考)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25．1)，b＝g(20．8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 答案　C 解析　依題意a＝g(－log25．1)＝(－log25．1)f(－log25．1)＝log25．1f(log25．1)＝g(log25．1)． 因為奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，可設0＜x1＜x2， 則0＝f(0)時，f＝f．則f(6)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 答案　D 解析　當x>時，由f＝f，可得當x>0時，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故選D． 17．(2018全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝ln (－x)＋1，f(a)＝4，則f(－a)＝________． 答案?。? 解析　∵f(x)＋f(－x)＝ln (－x)＋1＋ln (＋x)＋1＝ln (1＋x2－x2)＋2＝2， ∴f(a)＋f(－a)＝2，∵f(a)＝4，∴f(－a)＝－2． 18．(2016江蘇高考)設f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1)上，f(x)＝ 其中a∈R．若f＝f，則f(5a)的值是________． 答案?。? 解析　∵f(x)是周期為2的函數(shù)， ∴f＝f＝f， f＝f＝f． 又∵f＝f， 所以f＝f， 即－＋a＝，解得a＝， 則f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－． 三、模擬小題 19．(2018河南洛陽一模)已知函數(shù)y＝f(x)滿足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，且f(1)＝，設F(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(3)＝(　　) A． B． C．π D． 答案　B 解析　由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，則f(x＋2)＝f(x－2)，則f(x)＝f(x＋4)．所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝．故選B． 20．(2018河北石家莊一模)已知奇函數(shù)f(x)在x>0時單調(diào)遞增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，則x的取值范圍為(　　) A．{x|02} B．{x|x<0或x>2} C．{x|x<0或x>3} D．{x|x<－1或x>1} 答案　A 解析　∵奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，∴函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且f(－1)＝0，則－11時，f(x)>0；x<－1或00即－11，解得02，故選A． 21．(2018湖北荊州一模)下列函數(shù)是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是增函數(shù)的是(　　) A．y＝ex B．y＝tanx C．y＝x3－x D．y＝ln 答案　D 解析　函數(shù)y＝ex不是奇函數(shù)，不滿足題意；函數(shù)y＝tanx是奇函數(shù)，但在整個定義域內(nèi)不是增函數(shù)，不滿足題意；函數(shù)y＝x3－x是奇函數(shù)，當x∈－，時，y′＝3x2－1<0，為減函數(shù)，不滿足題意；函數(shù)y＝ln 是奇函數(shù)，在定義域(－2，2)內(nèi)，函數(shù)t＝＝－1－為增函數(shù)，函數(shù)y＝ln t也為增函數(shù)，故函數(shù)y＝ln 在定義域內(nèi)為增函數(shù)，滿足題意．故選D． 22．(2018山西太原一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝4x2＋2，設g(x)＝f(x)－2x2，若g(x)的最大值和最小值分別為M和m，則M＋m＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　由g(x)＝f(x)－2x2，得g(－x)＝f(－x)－2x2，兩式相加，可得g(－x)＋g(x)＝2，故g(x)的圖象關于(0，1)對稱，其最高點、最低點也關于(0，1)對稱，所以M＋m＝2，故選B． 23．(2018湖南祁陽二模)已知偶函數(shù)fx＋，當x∈－，時，f(x)＝x＋sinx，設a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，則(　　) A．a(chǎn)0且a≠1)是定義域為R的奇函數(shù)． (1)求k的值； (2)若f(1)＝－，不等式f(3x－t)＋f(－2x＋1)≥0對x∈[－1，1]恒成立，求實數(shù)t的最小值． 解　(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(0)＝2k－1－1＝0，解得k＝1． (2)由(1)知f(x)＝ax－a－x，因為f(1)＝－， 所以a－＝－，解得a＝或a＝－(舍去)， 故f(x)＝x－x，則易知函數(shù)y＝f(x)是R上的減函數(shù)，∵f(3x－t)＋f(－2x＋1)≥0， ∴f(3x－t)≥f(2x－1)，∴3x－t≤2x－1，∴t≥x＋1，即t≥x＋1在[－1，1]上恒成立，則t≥2，即實數(shù)t的最小值是2． 2．(2018安徽合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ 是奇函數(shù)． (1)求實數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)設x<0，則－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x． 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2． (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結合f(x)的圖象(如圖所示)知所以10，且a≠1)． (1)求函數(shù)f(x)＋g(x)的定義域； (2)判斷函數(shù)f(x)－g(x)的奇偶性，并予以證明； (3)求使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合． 解　(1)由題意得∴－11時，0<1－x2<1，∴01，不等式無解， 綜上，當a>1時，使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合為{x|0x＋m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解　(1)∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， 即log＝－log，∴＝， 整理得1－x2＝1－a2x2，∴a2＝1，解得a＝1， 當a＝1時，＝－1，不符合題意舍去， ∴a＝－1． (2)證明：由(1)可得f(x)＝log， 設x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x1>1，∴x1－x2<0，(x2－1)(x1－1)>0， ∴<0，∴<， ∴l(xiāng)og>log，即f(x2)>f(x1)． ∴f(x)是(1，＋∞)上的增函數(shù)． (3)依題意得m

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