新教材2021-2022學(xué)年人教A版選擇性必修第一冊 -　傾斜角與斜率 學(xué)案.docx

第二章DIERZHANG直線和的方程2.1直線的傾斜角與斜率課前-自主探究2.1.1傾斜角與斜率內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1. 在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的兒何要素.2. 理解直線的傾斜角和斜率的概念.3. 經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.4. 掌握傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系.數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算自主預(yù)習(xí)基礎(chǔ)認(rèn)知授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第31頁教材提煉知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角預(yù)習(xí)教材，思考問題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)P(2,2)可以作出多少條直線？這些直線區(qū)別在哪里呢？如何表示這些直線的方向呢？提示無數(shù)條.區(qū)別是它們的方向不同.這些直線相對于x軸的傾斛程度不同，也就是它們與x軸所成的角不同.因此，我們可以利用這樣的角來表示這些直線的方向.知識(shí)梳理定義當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，玉軸正向與直線/向上的方向之間所成的角a叫做直線/的傾斜角規(guī)定當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線/的傾斜角為0。記法a圖示*范圍0°Wa<180。作用(1) 表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度;(2) 確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的兒何要素是：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角,二者缺一不可知識(shí)點(diǎn)二直線的斜率預(yù)習(xí)教材，思考問題我們知道：兩點(diǎn)確定一條直線，進(jìn)而它的傾斜角也就確定了，那么任給直線/上兩點(diǎn)P|(M，>1)，P2(X2,>2)(其中引正松)，直線/的傾斜角a與R,P2兩點(diǎn)的坐標(biāo)有什么樣的內(nèi)在聯(lián)系呢？清用向量法探究下列問題：(1)己知直線/經(jīng)過0(0,0),01,1),a與(),P的坐標(biāo)有什么關(guān)系?提示如圖，OP=(1J),由正切函數(shù)的定義，得tana=.(2)類似地,如果直線/經(jīng)過R(l,。)，必(一1,2),a與R,戶2的坐標(biāo)有什么關(guān)系?提示如圖，汗2=(-2,2),平移舟2到矛，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,2),且直線OP的傾斜角也是a.由正切函數(shù)的定義,傾斜角也是a.由正切函數(shù)的定義,(3)般地,如果直線/經(jīng)過兩點(diǎn)P|(X1，yi),P2S，J2),xix2f那么a與Pl,P2的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系？提示如圖，當(dāng)向量奇2的方向向上時(shí)，P>2=（X2X|,關(guān)一），1）.平移奇2到泣，則V9V1點(diǎn)P的坐標(biāo)為（X2xi,關(guān)一y1）,且直線0P的傾斜角也是由正切函數(shù)的定義，有tana=.尤2X1當(dāng)向量局|的方向向上時(shí)，PP=（X-X2t一歸）.平移呼|到則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（由viX2,yiy2）,且直線OP的傾斜角也是a.如圖，由正切函數(shù)的定義，也有tana=*=XX2知識(shí)梳理直線/的傾斜角«與直線I上的兩點(diǎn)P1（A1，V）,P2（X2,），2）3*“）的坐標(biāo)有如下關(guān)系：tana=丑.X1X（2）我們把-條直線的傾斜角。的正切值叫做這條直線的斜率.常用小寫字母k表示，即k=tan_a.（3）傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個(gè)角度刻畫了直線相對于x軸的傾斜程度，它們的對應(yīng)關(guān)系：圖示-*%傾斜角（范圍）1=0。0°<a<90°=90。9()°<a<180°斜率（范圍）0k>0不存在kVQ若直線/的斜率為奴它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（x,y），則k=l自主檢測1. 下圖中。能表示直線/的傾斜角的是（）A.B.C.D.解析：結(jié)合直線/的傾斜角的概念可知可以，選C.答案：c2.（教材P55練習(xí)2改編）在直角坐標(biāo)系中，一條直線的斜率為寸，則此直線的傾斜角A.30°B.60°C.120°D.150°解析：由題意得tana=S，又Aa=60°.答案：B3.（教材P55練習(xí)3改編）過點(diǎn)皿）、可（一皿，0）的直線的斜率是（）B.-1答案：A4. 若過A（4,y）,BQ,一3）兩點(diǎn)的直線的傾斜角是45。，則y=.3v解析：直線的傾斜角為45°,則其斜率為A=tan45°=I.由斜率公式，得2_4=】'解得）,=-1.答案：一15. 已知4（1,1）,伙3,5）,C（a,7）,D（-l,b）四點(diǎn)在同一直線上，求直線的斜率及、b的值.51解析：由題意知，k,B=3_=2,由如c=W=2,由如c=W=2,解得a=4；=2,解得b=-3,=2,解得b=-3,故直線的斜率為2,a=4,b=3.課堂-互動(dòng)探究以例示法核心突碰授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第32頁探究一求直線的傾斜角例1(1)設(shè)直線/過原點(diǎn)，其傾斜角為“，將直線/繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到直線4,則直線K的傾斜角為()A. a+45。B. 。一135。C. 35°aD. 當(dāng)0。&<135。時(shí)，傾斜角為a+45。,當(dāng)135°WaV180。時(shí)，傾斜角為，一135。(2)設(shè)直線A過原點(diǎn)，其傾斜角a=15。，直線4與/2的交點(diǎn)為A,且匕與/2向上的方向之間所成的角為75。，則直線古的傾斜角為.分析對于(1),由于a不確定，需分情況討論；對于(2),畫出圖象，利用圖象求解.解析(1)根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：因?yàn)?°a<180°,顯然A,R,C未分類討論，均不全面，不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知：當(dāng)0°<«<135°,/1的傾斜角為a+45。;當(dāng)135°WaV180°時(shí),4的傾斜角為45°+a-180°=a-135°.故選D.(2)設(shè)直線的傾斜角為a,由圖可知，a=l5°+75°=90°,二直線也的傾斜南為90°.答案(1)D(2)90°方法提升直線的傾斜角可以看作是由x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的最小正角.所以求直線的傾斜角時(shí)，往往借助于圖形.結(jié)合圖形求傾斜角時(shí)，應(yīng)注意傾斜角的范圍以及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用.同源異考在觸類旁通1.已知直線/向上方向與y軸正向所成的角為30。，則直線/的傾斜角為.解析：有如下兩種情況：(2)如圖，直線/向上方向與x軸正向所成的南為120°,即直線/的傾斜角為120°.答案：60?；?20°探究二根據(jù)斜率公式求斜率例2直線/過點(diǎn)P(l,0),且與以A(2,l),B(0,壽)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線/斜率的取值范圍為.分析結(jié)合圖形，根據(jù)直線斜率的變化情況，確定出其范圍.0、萬0解析如圖，,:kAP=._=1,knp=0、_|=a/3,虹(一8,U1,+8).答案|(一8,fU1,+8)變式訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)變能力1.若將本例中P(l,0)改為p(1,0),其他條件不變，求直線/斜率的取值范圍.解析：."(一1,0),A(2,l),3(),寸5),.,1一°1,壽_0仄3>2_(_1)_3，如尸_0_(_)_。3.如圖可知，直線/斜率的取值范圍為3.2. 若將本例(2)中的"點(diǎn)坐標(biāo)改為(2,-1),其他條件不變，求直線/傾斜角。的取值范圍.解析：如圖，直線欄的傾斜角為45。，直線PB的傾斜角為135。，由圖象知/的傾斜角的范圍為(a|0"Wc(W45'U«|135°<»<180°.方法提升當(dāng)已知兩定點(diǎn)坐標(biāo)求過這兩點(diǎn)的直線斜率時(shí)，可直接利用斜率公式求解.應(yīng)用斜率公式時(shí)，應(yīng)先判定兩定點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等.若相等，直線垂直于軸，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解.探究三斜率與傾斜角的應(yīng)用例3己知某直線/的傾斜角。=45。,又-(2,)，i),P2S2.5),P3(3,l)是此直線上的三點(diǎn)，求X2，1的值.分析直線/的傾斜角已知可以求出其斜率且R、P2、P3均在直線/上，故任兩點(diǎn)的斜率均等于直線/的斜率，從而可以解出為，的值.解析Va=45°,.直線/的斜率&=tan45°=1,VPi,P2,P3都在直線/上，:kPiPz=kPzP3=k.斜率是反映直線相對于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等，這正是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因.同源異考重在觸類旁通2.如果三點(diǎn)4(2,1),B(-2,m),C(6,8)在同一條直線上，則?的值為解析：知=與吉=宇，1tn7.人、B、C三點(diǎn)共線，.*睫=岫.即二j-=.，=一6.答案：一6素養(yǎng)拓展能力提升素養(yǎng)拓展能力提升課后-素養(yǎng)培優(yōu)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第34頁、“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”數(shù)形結(jié)合思想在求斜率取值范圍中的應(yīng)院直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象I典例I經(jīng)過點(diǎn)P(0,一2)作直線/,若直線與過4(一2,3),3(2,1)的線段總沒有公共點(diǎn),則直線/斜率的取值范圍是.解析設(shè)直線/的斜率為化直線AP的斜率為如，直線時(shí)的斜率為蜘,當(dāng)直線,/與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，kWkAP或空而,3-2)-2O(-一-21>或5-23-2)-2O(-一-21>或5-23(2)即當(dāng)直線,/與線段有公共點(diǎn)時(shí)，_：_,、=53所以當(dāng)直線/與線段沒有公共點(diǎn)時(shí)，一答案：加_|v炊|二、“歷史使人聰明，詩歌使人機(jī)智，數(shù)學(xué)使人精細(xì)”一分類討論在求傾斜角取值范圍中的應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象'邏輯推理典例2求經(jīng)過A(鳳3),倒1,2)兩點(diǎn)的直線的斜率，并指出傾斜角。的取值范圍.|解析當(dāng)，=1時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角a=90。.當(dāng)時(shí)，由斜率公式可得in1inI 當(dāng)m>時(shí)，A=>0,in1所以直線的傾斜角«的取值范圍是0。<。<90°. 當(dāng)ni<時(shí)，m1所以直線的傾斜角a的取值范圍是90°<a<180°.糾錯(cuò)心得未考慮兩點(diǎn)斜率公式運(yùn)用的條件，從而忽略了，=1的情況.