2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)（第1課時）拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

第1課時拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題知識點一拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)圖形性質(zhì)范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對稱軸x軸y軸頂點(0,0)離心率e1知識點二焦點弦設(shè)過拋物線焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y22px(p>0)|AB|x1x2py22px(p>0)|AB|p(x1x2)x22py(p>0)|AB|y1y2px22py(p>0)|AB|p(y1y2)1橢圓、雙曲線和拋物線都是中心對稱圖形()2拋物線和雙曲線一樣，開口大小都與離心率有關(guān)()3拋物線只有一條對稱軸和一個頂點()4拋物線的開口大小與焦點到準(zhǔn)線的距離有關(guān)()題型一由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例1已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解由題意，設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，焦點F.直線l：x，所以A，B兩點坐標(biāo)為，所以|AB|2|m|.因為OAB的面積為4，所以2|m|4，所以m2.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.引申探究等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p>0)，O為拋物線的頂點，OAOB，則AOB的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2答案B解析因為拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或所以點A的坐標(biāo)為(2p,2p)，同理可得B(2p，2p)，所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.反思感悟把握三個要點確定拋物線的幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負(fù)(2)關(guān)系：頂點位于焦點與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對稱軸(3)定值：焦點到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸重合于橢圓1短軸所在的直線，拋物線的焦點到頂點的距離為5，求拋物線的方程解橢圓1的短軸所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為x軸設(shè)拋物線的方程為y2ax(a0)，設(shè)5，a20.拋物線的方程為y220x或y220x.題型二拋物線的焦點弦問題例2已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點(1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求線段AB的中點M到準(zhǔn)線的距離解(1)因為直線l的傾斜角為60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直線l的方程為y. 聯(lián)立消去y，得x25x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x25.而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26，所以線段AB的中點M的橫坐標(biāo)是3.又準(zhǔn)線方程是x，所以M到準(zhǔn)線的距離等于3.引申探究本例中，若A，B在其準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，求A1FB1.解由拋物線定義|AA1|AF|，得AA1FAFA1，又AA1x軸，OFA1AA1F，OFA1AFA1，同理得OFB1BFB1，A1FOB1FO90，即A1FB190.反思感悟(1)拋物線的焦半徑定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點與拋物線焦點為端點的線段焦半徑公式P(x0，y0)為拋物線上一點，F(xiàn)為焦點若拋物線y22px(p>0)，則|PF|x0；若拋物線y22px(p>0)，則|PF|x0；若拋物線x22py(p>0)，則|PF|y0；若拋物線x22py(p>0)，則|PF|y0(2)過焦點的弦長的求解方法設(shè)過拋物線y22px(p>0)的焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p.然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2即可跟蹤訓(xùn)練2直線l過拋物線y24x的焦點，與拋物線交于A，B兩點，若|AB|8，則直線l的方程為_答案xy10或xy10解析因為拋物線y24x的焦點坐標(biāo)為(1,0)，若l與x軸垂直，則|AB|4，不符合題意所以可設(shè)所求直線l的方程為yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2.又AB過焦點，由拋物線的定義可知|AB|x1x2p28，即6，解得k1.所以所求直線l的方程為xy10或xy10.1以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與x軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28y答案C解析設(shè)拋物線y22px或y22px(p>0)，p4.2若拋物線y2x上一點P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標(biāo)為()A.B.C.D.答案B解析由題意知，點P到焦點F的距離等于它到頂點O的距離，因此點P在線段OF的垂直平分線上，而F，所以P點的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程得y，故點P的坐標(biāo)為，故選B.3已知過拋物線y28x的焦點作直線l，交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標(biāo)為3，則|AB|的值為_答案10解析由y28x，得p4，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦點弦公式得|AB|x1x2p2423410.4對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在y軸上；焦點在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)符合拋物線方程為y210x的條件是_(要求填寫合適條件的序號)答案解析由拋物線方程y210x，知它的焦點在x軸上，所以符合又因為它的焦點坐標(biāo)為F，原點O(0,0)，設(shè)點P(2,1)，可得kPOkPF1，所以也符合而顯然不符合，通過計算可知，不合題意所以應(yīng)填.5求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，頂點到準(zhǔn)線的距離為4；(2)頂點是雙曲線16x29y2144的中心，準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點，且垂直于坐標(biāo)軸解(1)由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的圖形易知：頂點到準(zhǔn)線的距離為，故4，p8.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x或x216y.(2)雙曲線方程16x29y2144化為標(biāo)準(zhǔn)形式為1，中心為原點，左頂點為(3,0)，故拋物線頂點在原點，準(zhǔn)線為x3.由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p>0)，可得3，故p6.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212x.1討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用幾何性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程2解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過定義將焦點弦長度轉(zhuǎn)化為端點的坐標(biāo)問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解3設(shè)直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨討論一、選擇題1拋物線yax2(a<0)的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分別為()A.，xB.，xC.，yD.，y答案C解析yax2可化為x2y，其焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.2已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|12，點P為C的準(zhǔn)線上一點，則ABP的面積為()A18B24C36D48答案C解析由題意知|AB|2p，則SABP2ppp2，又2p12，p6，SABP6236.3拋物線C1：y22x的焦點為F1，拋物線C2：x2y的焦點為F2，則過F1且與直線F1F2垂直的直線l的方程為()A2xy10B2xy10C4xy20D4x3y20答案C解析由題意知，F(xiàn)1，F(xiàn)2.所以直線F1F2的斜率為，則直線l的斜率為4.故直線l的方程為y4，即4xy20.4過拋物線y22px(p>0)的焦點作直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PQ中點的橫坐標(biāo)為3，|PQ|10，則拋物線方程是()Ay24xBy22xCy28xDy26x答案C解析設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則3，即x1x26.又|PQ|x1x2p10，即p4，拋物線方程為y28x.5已知拋物線y28x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點，PAl，點A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF|等于()A4B8C8D16答案B解析拋物線y28x的準(zhǔn)線為x2，焦點F(2,0)，設(shè)A(2，y0)，kAF，則y04，P(x0,4)，將P點坐標(biāo)代入拋物線方程y28x，(4)28x0，得x06.由拋物線定義可知|PF|PA|x068.6設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，則|AB|等于()A.B6C12D7答案C解析設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1，)(x2，y2)F為拋物線C：y23x的焦點，F(xiàn)，AB的方程為y0tan30，即yx.聯(lián)立消去y，得x2x0.x1x2，由于|AB|x1x2p，|AB|12.7直線yxb交拋物線yx2于A，B兩點，O為拋物線頂點，OAOB，則b的值為()A1B0C1D2考點題點答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將yxb代入yx2，化簡可得x22x2b0，故x1x22，x1x22b，所以y1y2x1x2b(x1x2)b2b2.又OAOB，所以x1x2y1y20，即2bb20，則b2或b0，經(jīng)檢驗當(dāng)b0時，不符合題意，故b2.二、填空題8設(shè)拋物線y216x上一點P到對稱軸的距離為12，則點P與焦點F的距離|PF|_.答案13解析設(shè)P(x,12)，代入y216x，得x9，|PF|x9413.9拋物線yx2的焦點與雙曲線1的上焦點重合，則m_.答案13解析拋物線yx2可化為x216y，則其焦點為(0,4)，3m16，則m13.10拋物線y24x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，|AF|3，則|BF|_.答案解析由題意知F(1,0)，且AB與x軸不垂直，則由|AF|3，知xA2.設(shè)lAB：yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，所以xAxB1，故xB，故|BF|xB1.11一個正三角形的頂點都在拋物線y24x上，其中一個頂點在原點，則這個三角形的面積是_答案48解析設(shè)一個頂點為(x,2)，則tan30，x12.S12848.三、解答題12若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準(zhǔn)線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|，|AF|3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p>0)，A(x0，y0)，由題知M.|AF|3，y03.|AM|，x217，x8，代入方程x2py0得82p，解得p2或p4.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y或x28y.13已知拋物線y22x.(1)設(shè)點A的坐標(biāo)為，求拋物線上距離點A最近的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；(2)在拋物線上求一點P，使P到直線xy30的距離最短，并求出距離的最小值解(1)設(shè)拋物線上任一點P的坐標(biāo)為(x，y)(x0)，則|PA|22y222x2.x0，且在此區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)x0時，|PA|min，故距點A最近的點P的坐標(biāo)為(0,0)(2)設(shè)點P(x0，y0)是y22x上任一點，則P到直線xy30的距離為d，當(dāng)y01時，dmin，點P的坐標(biāo)為.14設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點，點F為拋物線C的焦點，以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析M到準(zhǔn)線的距離大于p，即y024，y02.15設(shè)F(1,0)，點M在x軸上，點P在y軸上，且2，0.(1)當(dāng)點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲線C上除去原點外的不同三點，且|，|，|成等差數(shù)列，當(dāng)線段AD的垂直平分線與x軸交于點E(3,0)時，求點B的坐標(biāo)解(1)設(shè)N(x，y)，由2，得點P為線段MN的中點，P，M(x,0)，.由x0，得y24x.即點N的軌跡方程為y24x.(2)由拋物線的定義，知|AF|x11，|BF|x21，|DF|x31，|，|，|成等差數(shù)列，2x22x11x31，即x2.線段AD的中點為，且線段AD的垂直平分線與x軸交于點E(3,0)，線段AD的垂直平分線的斜率為k.又kAD，1，即1.x1x3，x1x32，又x2，x21.點B在拋物線上，B(1,2)或B(1，2)