數(shù)列極限與函數(shù)極限

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1、數(shù)列的極限數(shù)列的極限按按 一定次序排列的無窮多個數(shù)一定次序排列的無窮多個數(shù),21nxxx稱為無窮數(shù)列稱為無窮數(shù)列, 數(shù)列數(shù)列.可簡記為可簡記為 .nx其中的每其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項個數(shù)稱為數(shù)列的項,nx稱為稱為(一般項一般項).注注: (1) 數(shù)列可看作數(shù)軸上一個動點數(shù)列可看作數(shù)軸上一個動點, 它在數(shù)軸上它在數(shù)軸上依次取值依次取值;,21nxxx(2) 數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)數(shù)列可看作自變量為正整數(shù) 的函數(shù)的函數(shù):n).(nfxn 定義定義1設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 nx與常數(shù)與常數(shù),a如果當(dāng)如果當(dāng)n無限增無限增大時大時,nx無限接近于無限接近于 ,a則稱常數(shù)則稱常數(shù)a為為數(shù)列數(shù)列 nx收收斂于斂

2、于 ,a記為記為,nnlim xa 或或).( naxn如果一個數(shù)列沒有極限如果一個數(shù)列沒有極限, 就稱該數(shù)列是就稱該數(shù)列是發(fā)散發(fā)散的的.注注: 記號記號)( naxn常讀作常讀作: 當(dāng)當(dāng)n趨于無窮大時趨于無窮大時,nx趨于趨于.a例例1其收斂于何值其收斂于何值.若收斂若收斂, ,下列各數(shù)列是否收斂下列各數(shù)列是否收斂, ,試指出試指出;2)1(n;1)2(n;)1)(3(1 n 1(4). nn解解 (1) 數(shù)列數(shù)列2n即為即為,2 , 8 , 4 , 2n易見易見, , 當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時, ,n2也無限增大也無限增大, ,故該故該數(shù)列是發(fā)散的數(shù)列是發(fā)散的; ;(2),1,31,21

3、, 1n解解易見易見, , 當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時, ,n1也無限接近也無限接近0, ,故該故該數(shù)列收斂于數(shù)列收斂于 ; ; 0解解 (3) 數(shù)列數(shù)列 1( 1) n 即為即為,)1( , 1, 1 , 1, 11 n易見易見, , 當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時, ,)1(1 n無休止地反復(fù)無休止地反復(fù)取取11 、兩個數(shù)兩個數(shù), , 而不會無限接近于任何一個確而不會無限接近于任何一個確故該數(shù)列是發(fā)散的故該數(shù)列是發(fā)散的; ; 定的常數(shù)定的常數(shù), ,(4) 數(shù)列數(shù)列 1 nn 即為即為,1,43,32,21, 0nn 易見易見, , 當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時, ,nn1 無限接近于無限接近于

4、, ,1故該數(shù)列收斂于故該數(shù)列收斂于 . . 1 數(shù)數(shù)列列函數(shù)極限的引入函數(shù)極限的引入數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)數(shù)列可看作自變量為正整數(shù) 的函數(shù)的函數(shù):n),(nfxn 數(shù)列數(shù)列 nx的極限為的極限為,a即即: 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 n取正整數(shù)取正整數(shù)且無限增大且無限增大)( n時時, 對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值)(nf無限無限接近數(shù)接近數(shù).a若將數(shù)列極限概念中自變量若將數(shù)列極限概念中自變量n和函數(shù)和函數(shù)值值)(nf的特殊性撇開的特殊性撇開,可以由此引出函數(shù)極限的可以由此引出函數(shù)極限的一般概念一般概念: 在自變量在自變量x的某個變化過程中的某個變化過程中,如果對如果對應(yīng)的函數(shù)值應(yīng)的函數(shù)值)(xf無限接

5、近于某個確定的數(shù)無限接近于某個確定的數(shù),A則則A就稱為就稱為x在該變化過程中函數(shù)在該變化過程中函數(shù))(xf的極限的極限.顯然顯然, 極限極限 是與自變量是與自變量 的變化過程密切相關(guān)的變化過程密切相關(guān)Ax自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限當(dāng)當(dāng)lim( )( )() 或或xf xAf xA x定義定義2 2 如果當(dāng)如果當(dāng) 的絕對值無限增大時，函數(shù)的絕對值無限增大時，函數(shù)x( )f xA無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù) ，則稱常數(shù)，則稱常數(shù) 為函數(shù)為函數(shù)A( )f x時的極限，記作時的極限，記作 x如果在上述定義中，限制如果在上述定義中，限制 只取正無窮或負無只取正無窮或負無窮即

6、有窮即有xlim( )lim( ) 或或xxf xAf xA( )f x則稱常數(shù)則稱常數(shù) 為函數(shù)為函數(shù) 當(dāng)當(dāng) A 或或xx時的極取限時的極取限. .注意到注意到 意味著同時考慮意味著同時考慮 x 與與xx可以得到下面的定理可以得到下面的定理定理定理1 1 極限極限的充分必要條件是的充分必要條件是lim( ) xf xAlim( )lim( ) xxf xf xA例例2 求極限求極限 1lim 1. xx解解 因為當(dāng)因為當(dāng) 的絕對值無限增大時，的絕對值無限增大時，1xx無限接近于無限接近于0 0即函數(shù)即函數(shù) 無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù)1,1,11 x所以所以 1lim 11 xx例例3 討論極

7、限討論極限觀察函數(shù)觀察函數(shù)的圖形（見下圖）易知的圖形（見下圖）易知：sin( ) yx所以極限所以極限limsin( )xx不存在不存在. .當(dāng)自變量當(dāng)自變量 的絕對值的絕對值 無限增大時，對應(yīng)的無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值函數(shù)值 在區(qū)間在區(qū)間-1,1-1,1上振蕩，不接近任何上振蕩，不接近任何常數(shù)常數(shù)yx|xlimsin( )xx例例4 4 討論極限討論極限解解 當(dāng)當(dāng) 時，時， x2y 當(dāng)當(dāng) 時，時， x2 y 所以所以 不存在不存在. .limarctanxxlimarctanxx自變量趨向有限值時函數(shù)的極限自變量趨向有限值時函數(shù)的極限現(xiàn)在研究自變量現(xiàn)在研究自變量x無限接近有限值無限接近有限值

8、0 x(即即 )0 xx 時時, 函數(shù)函數(shù))(xf的變化趨勢的變化趨勢.定義定義3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點在點0 x的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義定義. 如果當(dāng)如果當(dāng))(00 xxxx 時時, 函數(shù)函數(shù))(xf無限接無限接近于常數(shù)近于常數(shù),A則稱常數(shù)則稱常數(shù)A為為函數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時的極限時的極限.記作記作Axfxx )(lim0或或).)()(0 xxAxf例例5 試根據(jù)定義說明下列結(jié)論試根據(jù)定義說明下列結(jié)論: :解解;lim)1(00 xxxx ).(lim)2(0為為常常數(shù)數(shù)CCCxx (1) 當(dāng)自變量當(dāng)自變量x趨于趨于0 x時時, , 顯然顯然, , 函數(shù)函數(shù)x

9、y 也趨于也趨于,0 x故故;lim00 xxxx (2) 當(dāng)自變量當(dāng)自變量x趨于趨于0 x時時, , 函數(shù)函數(shù)Cy 始終取相始終取相同的值同的值,C故故.lim0CCxx 函數(shù)的左極限與右極限函數(shù)的左極限與右極限函數(shù)函數(shù))(xf從左側(cè)從左側(cè)(或右側(cè)或右側(cè))趨于趨于當(dāng)自變量當(dāng)自變量x0 x時時,趨于常數(shù)趨于常數(shù)A, 則稱則稱A為為)(xf在點在點0 x處的處的左極限左極限(或或右極限右極限), 記為記為Axfxx )(lim0或或Axfxx )(lim0左極限和右極限的示意圖左極限和右極限的示意圖.注意到注意到0 xx 意味著同時考慮意味著同時考慮 0 xx與與,0 xx可以得到下面的定理可以

10、得到下面的定理:定理定理2 極限極限Axfxx )(lim0的充分必要條件是的充分必要條件是.)(lim)(lim00Axfxfxxxx 例例 6 設(shè)設(shè),0, 10,)( xxxxxf求求).(lim0 xfx解解因為因為)(lim0 xfx )1(lim0 xx, 1 )(lim0 xfx xx 0lim. 0 即有即有)(lim0 xfx ),(lim0 xfx 所以所以)(lim0 xfx不存在不存在.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義2. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限自變量趨向有限值時函數(shù)的極限自變量趨

11、向有限值時函數(shù)的極限函數(shù)的左極限與右極限函數(shù)的左極限與右極限極限運算法則極限運算法則定理定理 設(shè)設(shè),)(limAxf ,)(limBxg 則則(1)(2)(3);)()(limBAxgxf ;)()(limBAxgxf ,)()(limBAxgxf 其中其中. 0 B推論推論1)(limxf如果如果存在存在, , 而而C為常數(shù)為常數(shù), , 則則).(lim)(limxfCxCf 即即: : 常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面. .推論推論2)(limxf如果如果存在存在, , 而而n是正整數(shù)是正整數(shù), , 則則.)(lim)(limnnxfxf 例例1 求求).53(li

12、m22 xxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx 2223 5 3 注：注：設(shè)設(shè),)(110nnnaxaxaxf 則有則有)(lim0 xfxxnnxxnxxaxaxa 110)lim()lim(00nnnaxaxa 10100).(0 xf 例例 2求求.27592lim223 xxxx解解27592lim223 xxxx)275(lim)92(lim2323 xxxxx2373593222 .229 例例 3 求求.321lim221 xxxx解解分子和分母的極限都是零分子和分母的極限都是零. .1x時時,

13、 ,此此時應(yīng)先約去不為零的無窮小因子時應(yīng)先約去不為零的無窮小因子1 x后再求后再求極限極限. .321lim221 xxxx)1)(3()1)(1(lim1 xxxxx.2131lim1 xxx消去零因子法消去零因子法例例 4 計算計算.354lim4 xxx解解不能直接使用商的極限運算法則不能直接使用商的極限運算法則. .但可采用分母有理化消去分母中趨于零的因子但可采用分母有理化消去分母中趨于零的因子. .)35)(35()35)(4(lim4 xxxxx4x時時, ,當(dāng)當(dāng)),05( x354lim4 xxx4)35)(4(lim4 xxxx)35(lim4 xx. 635lim4 xx定理

14、定理2(復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xgfy 是由函數(shù)是由函數(shù))(ufy 與函數(shù)與函數(shù))(xgu 復(fù)合而成復(fù)合而成, ,若若,)(lim00uxgxx ,)(lim0Aufuu 則則)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu .A ,)(0uxg 且在且在 的某去心鄰域內(nèi)有的某去心鄰域內(nèi)有0 x注注:若函數(shù)若函數(shù))(uf)(xg和和滿足該定理的條件滿足該定理的條件,則作代換則作代換),(xgu 可把求可把求)(lim0 xgfxx化為求化為求),(lim0ufuu其中其中).(lim00 xguxx 定理定理2表明表明:例例 5計算計算.2sinlim0 x

15、x解解 令令,2xu 因為因為, 02, 0 xux. 0sinlim2sinlim00 uxux則函數(shù)則函數(shù)xy2sin 可視為由可視為由xuxy2,2sin 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù). .且且0u時時, 0sinu所以所以例例 6 計算計算.2lim1xx 解解所以所以令令,1xu 則則, 01lim xx且且, 12lim0 uu. 12lim2lim1 uxxx第一重要極限第一重要極限sinlim1xxx xsin xx1.000 0.100 0.841470 0.9983340.010 0.9999830.9999990.001 例例 7 求求.tanlim0 xxx解解. 1

16、xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxxxcos1limsinlim00 例例 8求求.cos1lim20 xxx 解解原式原式2202sin2limxxx 2022022sinlim2122sinlim21 xxxxxx.211212 例例 9求求.2sin2sinlim0 xxxxx 解解xxxxx2sin2sinlim0 xxxxx2sin12sin1lim0 xxxxx22sin2122sin21lim0 .312121 exxx 11lim利用單調(diào)有界準(zhǔn)則可以證明這個等式利用單調(diào)有界準(zhǔn)則可以證明這個等式. 等式右端的等式右端的其值為其值為 e2.718 281

17、828 459 045,數(shù)數(shù) 是數(shù)學(xué)中一個重要常數(shù)是數(shù)學(xué)中一個重要常數(shù),e基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)xey 下表有助于讀者理解這個極限下表有助于讀者理解這個極限.以及自然對數(shù)以及自然對數(shù)xyln 中的底中的底 就是這個常數(shù)就是這個常數(shù).e x12xx 112101 000 10 0000 100 0001 000 002.25 2.594 2.7172.7181 2.71812 2.718128例例 10求求.11lim3 xxx解解311lim xxx 311lim11 xxxx311lim11lim xxxxx.1ee 例例 11求求.)1(lim10yyy 解解令令

18、,1xy 則則0y時時, , x于是于是.)11(lim)1(lim10exyxxyy 注注: : 本例的結(jié)果本例的結(jié)果,)1(lim10eyyy 今后常作為公式使用今后常作為公式使用. .9.289.28例例 12求求.)21(lim10 xxx 解解xxx10)21(lim 2210)21(lim xxx2210)21(lim xxx.2 e例例13解解求求.23lim2xxxx xxxx223lim 2211lim xxx222211lim xxx422211211lim xxxx.2e 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 掌握掌握極限的四則運算法則極限的四則運算法則設(shè)設(shè),)(lim,)(limBxg

19、Axf 則則.)()(lim BAxgxf)0( B2. 會用會用復(fù)合函數(shù)的極限運算法求極限復(fù)合函數(shù)的極限運算法求極限.)(lim)(lim00Aufxgfuuxx 其中其中).(lim00 xguxx 3.了解極限存在準(zhǔn)則了解極限存在準(zhǔn)則, 掌握兩個重要極限及其應(yīng)用掌握兩個重要極限及其應(yīng)用.11limexxx ; 1sinlim0 xxx無窮小的概念無窮小的概念定義定義極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小. .例如例如: :, 0sinlim0 xx時的無窮小時的無窮小. .函數(shù)函數(shù)xsin是當(dāng)是當(dāng)0 x, 01lim xx時的無窮小時的無窮小. .函數(shù)函數(shù)x1是當(dāng)是當(dāng) x, 0

20、)1(lim nnn時的無窮小時的無窮小. .函數(shù)函數(shù)nn)1( 是當(dāng)是當(dāng) n注意注意: :(1) 無窮小是變量無窮小是變量, , 不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆. .(2) 零是可以作為無窮小的唯一常數(shù)零是可以作為無窮小的唯一常數(shù). .無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注意注意 無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .例如例如, ,n1是無窮小是無窮小, ,n但但個個n1之和為之和為1, ,不是無窮小不是無窮小. .時時, , x性質(zhì)性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與

21、無窮小的乘積是無窮小. .例如例如 當(dāng)當(dāng)0 x時時, , 變量變量,1sinxxxx1arctan2都是無窮小都是無窮小. .性質(zhì)性質(zhì)3性質(zhì)性質(zhì)4 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小. .常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. .例例 1解解所以所以,求求.sinlimxxx 因為因為xxxxxxsin1limsinlim 而當(dāng)而當(dāng) 時時, xx1是無窮小量是無窮小量,是有界量是有界量xsin),1sin( x.0sinlim xxx無窮大的概念無窮大的概念定義定義2并記作并記作 )(lim0 xfxx).)(lim( xfx或或(或或 )時時,如果在如果

22、在0 xx x函數(shù)函數(shù))(xf的絕對值無限增大的絕對值無限增大,)(xf為當(dāng)為當(dāng)0 xx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)(或或 )時的時的無窮大無窮大. x當(dāng)當(dāng)0 xx (或或 )時為無窮大的函數(shù)時為無窮大的函數(shù) x),(xf按按通常的意義來說通常的意義來說, 極限是不存在的極限是不存在的. 但為了敘述函但為了敘述函數(shù)這一形態(tài)的方便數(shù)這一形態(tài)的方便, 我們也說我們也說“函數(shù)的極限是無窮函數(shù)的極限是無窮大大”,如果在定義中如果在定義中, 將將“函數(shù)函數(shù) 的絕對值無限增大的絕對值無限增大”)(xf無窮大舉例無窮大舉例(1) 當(dāng)當(dāng) 時時,0 xx1無限增大無限增大, 故故x1是當(dāng)是當(dāng)0 x時的無窮大時的無窮大,

23、即即.1lim0 xx(2) 當(dāng)當(dāng) 時時, 0 xxln取負值無限減小取負值無限減小, 故故xln是當(dāng)是當(dāng) 0 x時的負無窮大時的負無窮大, 即即.lnlim0 xx(3) 當(dāng)當(dāng) 0 x時時,xe1取正值無限增大取正值無限增大, 故故xe1當(dāng)當(dāng) 0 x時是正無窮大時是正無窮大, 即即.lim10 xxe無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系無窮大與無窮小之間有著密切的關(guān)系無窮大與無窮小之間有著密切的關(guān)系. 例如例如,當(dāng)當(dāng)0 x時時,函數(shù)函數(shù)x1是無窮大是無窮大, 但其倒數(shù)但其倒數(shù),x則是則是同一變化過程中的無窮小同一變化過程中的無窮小;又如又如, 當(dāng)當(dāng) x時時, 函函數(shù)數(shù)21x是無窮小是無窮

24、小, 但其倒數(shù)但其倒數(shù)2x則是同一變化過程則是同一變化過程中的無窮大中的無窮大.一般地一般地, 可以證明下列定理可以證明下列定理.定理定理2在自變量變化的同一過程中在自變量變化的同一過程中, 無窮大的無窮大的倒數(shù)為無窮小倒數(shù)為無窮小; 恒不為零的無窮小倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小倒數(shù)為無窮大.根據(jù)這個定理根據(jù)這個定理, 我們可將無窮大的討論歸結(jié)為關(guān)我們可將無窮大的討論歸結(jié)為關(guān)于無窮的討論于無窮的討論.例例 2證證求求.3214lim21 xxxx因因, 0)32(lim21 xxx, 03)14(lim1 xx又又故故, 0301432lim21 xxxx由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大

25、的關(guān)系, 得得.3214lim21 xxxx例例 3證證求求.147532lim2323 xxxxx分子和分母的極限都是無窮大分子和分母的極限都是無窮大, ,即以分母即以分母當(dāng)當(dāng) x時時, ,此時可采用所謂的此時可采用所謂的無窮小因子分出法無窮小因子分出法, ,中自變量的最高次冪除分子和分母中自變量的最高次冪除分子和分母, , 以分出無窮以分出無窮小小, , 然后再用求極限的方法然后再用求極限的方法. .對本例對本例, , 先用先用3x去除分子分母去除分子分母, , 分出無窮小分出無窮小, , 再再求極限求極限. .147532lim2323 xxxxx33147532limxxxxx 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 2. 無窮小的概念無窮小的概念無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系無窮大的概念無窮大的概念無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小無窮小無窮大無窮大